примерный перечень экзаменационных вопросов
АНАЛИТИчЕСКАя ГЕОМЕТРИя
1. ЛИНИя НА ПЛОСКОСТИ. ЕЕ УРАВНЕНИЕ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ТЕКУЩИЕ
КООРДИНАТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОчКИ ЛИНИИ.
2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на плоскости Oxy.
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.
4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.
5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.
6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или каноническое уравнение прямой.
7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.
8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы направляющие векторы.
9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы нормальные векторы.
10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициентом.
11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера.
12. Вычисление определителей второго и третьего порядков.
13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности.
14. Общее уравнение плоскости.
15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке.
16. Уравнение плоскости в отрезках.
17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов.
19. Смешанное произведение трех векторов.
20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей.
22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.
23. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве.
27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.
28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах).
30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой второго порядка на плоскости?
31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости.
32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве?
33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?
34. Вырожденные поверхности второго порядка.
35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения.
36. Метод параллельных сечений.
37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы.
38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы.
39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма.
40. Какая поверхность называется поверхностью вращения?
41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма.
42. Эллиптический параболоид вращения и его форма.
43. Конус вращения и его вид.
44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy.
45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма.
46. Линейчатые поверхности второго порядка.
47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей.
48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (.
49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с центром в начале координат.
50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы?
51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы?
52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка.
53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа?
54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0, используя формулы Крамера.
55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (2, 5) и [pic]= (-4, -10) - их направляющие векторы.
56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если [pic] = (-
2, 3) и [pic] = (3, 4) - их нормальные векторы.
57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z +
1= 0.
58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5) на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3, 3).
59. При каком значении a прямая [pic] будет лежать на плоскости 3x – y – z
– 3 = 0?
60. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора [pic] = (1, 6, 0) и вектора [pic](1, -1, -1).
61. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3,
0, 2).
62. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку М(3,
0, 2).
63. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
64. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.
65. Найти направляющий вектор прямой: [pic].
66. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1(0,
0, 0), М2(2, -1, 2), М3(0, -1, 1).
67. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов [pic] = (1, 2, 3), [pic] = (-1, 2, 4), [pic] = (1, 1, 0).
68. Меридиан 4x2 - z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
69. Меридиан 2y = x2 вращается вокруг оси Оy. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
70. Меридиан [pic]= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
71. Меридиан x2 + z2 = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
72. Докажите, что прямая [pic] лежит на гиперболоиде [pic].
1 Найдите точки пересечения прямой:[pic] и сферы х2 + у2 + z2 = 100.
73. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта поверхность?
74. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид [pic]?
75. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2?
76. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?
77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.
78. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.
79. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x2
+ y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 1
1. Какое число называется смешанным произведением трех векторов [pic],
[pic], [pic] (
2. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов [pic] = (1, 1, 3), [pic] = (-1, 0, 4), [pic] = (2, 1,
0).
3. Перечислите вырожденные поверхности второго порядка.
4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
х = 1 пересекает гиперболоид [pic]+ у2 - z2 = 1? Напишите уравнение этого сечения.
5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
х2 + 3у2 - z2 + 6zу - 4 = 0.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 2
1. Как вычисляется определитель третьего порядка [pic]?
Вычислить определитель третьего порядка [pic].
6. Найти координаты точки пересечения прямых у = 5х - 4 и [pic].
7. Какая поверхность называется поверхностью второго порядка?
8. Меридиан [pic]= 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
9. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
4х2 + 2у2- 4ху-2yz- 4=0. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 3
2. Напишите условие параллельности прямых [pic], [pic].
10. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.
11. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида вращения.
12. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.
13. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
х2 + 2у2 + 3z2 - 4хz - 3 = 0.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 4
3. Что называется направляющим вектором прямой на плоскости или в пространстве?
14. Найти смешанное произведение трех векторов [pic](1, 2, 3), [pic](-1,
1, 0),
[pic](0, 3, 1).
15. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения.
16. Какие плоскости симметрии имеет эллипсоид [pic]?
17. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
–x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz = 6. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 5
4. Напишите условие параллельности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2.
18. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(2,
0,1).
19. Дайте определение прямолинейной образующей поверхности второго порядка.
20. Найдите точки пересечения прямой [pic]
[pic]и эллипсоида х2 + у2 +[pic].
21. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x2 – 4y2 + z2 + 6xz =10?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 6
5. Что называется нормальным вектором прямой на плоскости?
22. Найти нормальный вектор [pic] плоскости, в которой лежат векторы
[pic](2, 5, 0) и [pic](3, 0, 2).
23. Какой цилиндр является цилиндром второго порядка?
24. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.
25. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
3х2+4у2+6z2-2xz и найдите ее характеристические числа.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 7
6. Какой угол могут образовывать нормальные векторы двух параллельных плоскостей?
26. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(0,
-1,1).
27. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?
28. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид [pic]?
29. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: 9х2 + 3у2 + 6z2 - 12ху.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 8
7. Как найти нормальный вектор к плоскости, проходящей через два неколлинеарных вектора?
30. Найти каноническое уравнение прямой [pic]
31. Напишите каноническое уравнение конуса вращения.
32. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.
33. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
14х2 + 12у2 + 10z2 - 8ху - 8zу - 17 = 0.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 9
8. Напишите уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору.
34. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора [pic] = (1, 0, 1) на вектор [pic](3, 1, -1).
35. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида вращения?
36. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2у = [pic]?
37. Ось Оz является осью вращения конуса с вершиной в начале координат, точка М (0, 1, 2) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 10
9. Известно, что прямая в пространстве с направляющим вектором [pic] параллельна плоскости с нормальным вектором [pic]. Как расположены векторы [pic] и [pic] по отношению друг к другу?
38. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости х + у -3z + 17 = 0.
39. Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида.
40. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.
41. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х2 + у2 + z2 - 2ху = 10.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 11
10. Дайте определение векторного произведения векторов [pic] и [pic].
42. Точка М1 (1, -2, 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М2 (3, 0, -1) на плоскость. Найти уравнение плоскости.
43. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?
44. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.
45. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 12
11. Напишите условие параллельности прямых в пространстве.
46. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (1, 2) и [pic]= (-2, -4) - их направляющие векторы.
47. Что называется уравнением второй степени относительно х, у?
48. Доказать, что двухполостный гиперболоид х2 + у2 - z2 = -1 имеет одну общую точку с плоскостью [pic]х + 2z + 1 = 0, и найти ее координаты.
49. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
2x2 + y2 + z2 –8zy = 30. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 13
12. Что называется углом между прямой и плоскостью?
50. Найти направляющий вектор прямой [pic].
51. Какая поверхность называется линейчатой?
52. Меридиан [pic]= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
53. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
6x2 + 5y2 + 6z2 – 8xz = 20. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 14
13. Что называют смешанным произведением трех векторов?
54. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости
3x – 4y – z – 4 = 0.
55. Напишите каноническое уравнение эллипсоида вращения.
56. Доказать, что эллиптический параболоид 2z = [pic] + у2 имеет одну общую точку с плоскостью 2х - 2у - z - 10 = 0, и найти ее координаты.
57. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
2(z - 1) = [pic]? Как называется эта поверхность?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 15
14. Что называется текущими координатами на линии F(х, у) = 0?
58. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника
ABC, если вершины известны: A(1, 1); B(2, 4); C(0, -1).
59. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида вращения.
60. Какие плоскости симметрии имеет конус [pic]?
61. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х2 + у2 - 2уz = 12.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 16
15. Какой угол могут образовывать направляющие векторы двух параллельных прямых в пространстве?
62. Найти каноническое уравнение прямой [pic]
63. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Что называется полуосями этого гиперболоида?
64. Меридиан у2 + z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
65. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 6x2 + 2y2 – 6z2 – 2xy =10?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 17
16. Что называется нормальным вектором плоскости?
66. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(1,1) на прямую, проходящую через точки A(1, 0) и B(2, -1).
67. Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида.
68. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.
69. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
-2х2 + 6у2 + 6z2 + 4zу - 1 = 0.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 18
17. Напишите условие параллельности двух плоскостей.
70. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (2, 7) и [pic] = (4, 14) - их нормальные векторы.
71. Каким преобразованием можно привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: [pic]?
72. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.
73. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
2х2 + у2+3z2-4yz+1=0. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 19
18. Как найти направляющий вектор прямой в пространстве, заданной как пересечение двух плоскостей?
74. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,1) на прямую, проходящую через точки A(1, 1) и B(2, 1).
75. Какого типа существуют цилиндры второго порядка?
76. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
z = [pic] пересекает эллипсоид х2 + у2 + [pic]? Напишите уравнение этого сечения.
77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
2x2 + 3y2 + 2z2 + 2xz = 9. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 20
19. Как вычисляется определитель второго порядка [pic]? Вычислить[pic].
78. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
79. Какая поверхность называется цилиндрической (цилиндром)?
80. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
у = 1 пересекает гиперболоид х2 + [pic]? Напишите уравнение этого сечения.
81. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: -2х2 + 2у2 + 6z2 +12хz .
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 21
20. Напишите условие перпендикулярности прямой и плоскости.
82. Докажите, что прямая [pic] лежит на плоскости х + у - z +1 = 0.
83. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида? Какие величины называют полуосями эллипсоида?
84. Найдите точки пересечения прямой [pic]
[pic] и параболоида 2z = х2 + у2 .
85. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: [pic].
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 22
21. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
86. Найти координаты вектора, представляющие собой векторное произведение вектора [pic](1, 1, 3) на вектор [pic](0, 2, 1).
87. Какой вид имеет каноническое уравнение однополостного гиперболоида?
Какие величины называют полуосями однополостного гиперболоида?
88. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.
89. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x2 + 2y2 + z2 + 8zy =3?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 23
22. Напишите условие перпендикулярности прямых у = к1х + b1, y = к2х + b2.
90. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М1 (1, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 2).
91. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей.
92. Докажите, что прямая [pic], лежит на конусе [pic].
93. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта поверхность?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 24
23. Какой угол образуют нормальные векторы двух перпендикулярных плоскостей?
94. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz.
95. Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра.
96. Какие плоскости симметрии имеет однополостный гиперболоид [pic]?
97. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
–x2 + 4y2 - z2 + 4xz = 24. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 25
24. Что называется углом между прямыми на плоскости?
98. Найти нормальный вектор [pic] плоскости, в которой лежат векторы
[pic](2, -1, 2)и [pic](0, 3, 1).
99. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (.
100. Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.
101. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 26
25. Напишите условие параллельности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.
102. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М1 (3, 0, 0), М2 (0, 1, 0), М3 (0, 0, 1).
103. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?
2 Найдите точки пересечения прямой [pic]
[pic] и сферы х2 + у2 + z2 = 16.
104. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 27
26. Напишите условие параллельности прямой и плоскости.
105. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
М1 (3, 1, 0), М2 (1, 2, 0), М3 (0, 0, 0).
106. Напишите каноническое уравнение двухполостного гиперболоида. Что называется полуосями этого гиперболоида?
107. Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2z =[pic]?
108. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
х2-5у2-z2-10xz и найдите ее характеристические числа.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 28
27. Что называется уравнением линии на плоскости Оху?
109. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость
5х + 3у - 7z + 1= 0.
110. Какие сечения называют коническими?
111. Докажите, что прямая [pic] лежит на гиперболоиде [pic].
112. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
x2 + y2 + z2 – 6yz = 4. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 29
28. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве.
113. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора [pic] = (2, -1, 1) на вектор [pic](1, 1, 0).
114. Какая поверхность называется поверхностью вращения?
115. Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.
116. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 30
29. Напишите условие перпендикулярности прямых в пространстве.
117. Найти координаты основания высоты, опущенной из вершины B треугольника
ABC, если вершины известны: A(0, 5); B(1, 3); C(3, 0).
118. Дайте определение конического сечения (коники).
119. Меридиан [pic] вращается вокруг оси Oz. Какая поверхность второго порядка получается?
120. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
x2 + y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 31
30. Какой вектор называется векторным произведением вектора [pic] на вектор [pic]?
121. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если
[pic] = (3, -1) и [pic] = (2, 6) - их нормальные векторы.
122. Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?
123. Докажите, что прямая [pic], лежит на цилиндрической
поверхности [pic].
124. Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
х2+4у2-2z2-2xz и найдите ее характеристические числа.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 32
31. Известно, что [pic] - направляющий вектор прямой в пространстве, [pic]
- нормальный вектор плоскости. Какой угол могут образовывать векторы
[pic] и [pic], если прямая и плоскость перпендикулярны?
125. Найти точку М0 (x0, y0, z0) пересечения плоскости 5x – 2y + z = 1 и
прямой [pic]
126. Что называется текущими координатами на поверхности F(х, у, z) = 0?
127. Докажите, что прямая [pic] лежит на параболоиде [pic].
128. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4ху + 2х2 + 5у2 + 7z2 = 70.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 33
32. Что называется уравнением первой степени относительно х, у, z?
129. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и точку М(1,
1,0).
130. Напишите каноническое уравнение эллипсоида.
3 Найдите точку пересечения прямой [pic]
[pic]и гиперболоида х2 + у2 - z2 = 1.
131. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта поверхность?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 34
33. Напишите условие перпендикулярности двух плоскостей.
132. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если
[pic] = (3, 4) и [pic] = (-8, 6) - их направляющие векторы.
133. Дайте определение полуосей гиперболоида и эллипсоида.
134. Меридиан у2 - z2 = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
135. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
3x2 + 3y2 - z2 + 2xy = 12. Определить вид этой поверхности.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 35
34. Напишите условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.
136. Найти точку пересечения прямых 2х + 3у - 5 = 0 и х - у = 0, используя формулы Крамера.
137. Напишите уравнение второй степени относительно х, у, z.
138. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость [pic] пересекает эллипсоид [pic]? Напишите уравнение этого сечения.
139. Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: 12х2 + 12z2 - 4у2 + 8ху.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------