--------------------------------------------------------------------------¬
¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦
¦Пример 1. ¦
¦ Решим неравенство х6>20 ¦
¦ Это неравенство равносильно неравенству х6-20>0. Так как функция ¦
¦f(x)=х6-20 непрерывна, можно воспользоваться методом интервалов. ¦
¦ 6|\ 6| ¦
¦ Уравнение х6-20=0 имеет два корня : ? 20 и - ? 20 . Эти числа разби- ¦
¦вают числовую прямую на три промежутка. Решение данного неравенства - ¦
¦ 6|\ 6|\ ¦
¦объединение двух из них : (-4; -? 20 ) (? 20 ;4) ¦
¦ ¦
¦Пример 2. 3| 5| ¦
¦ Сравним числа ? 2 и ? 3 ¦
¦ 3| 5| ¦
¦ Представим ? 2 и ? 3 в виде корней с одним и тем же показателем: ¦
¦ ¦
¦ 3| 15| 15| 5| 15| 15| ¦
¦ ? 2 = ? 25 = ?32 а ? 3 = ? 33 = ? 27 из неравенства ¦
¦ 15| 15| 3| 5| ¦
¦ 32 > 27 следует, что ?32 и ? 27 ,и значит, ? 2 > ? 3 ¦
+-------------------------------------------------------------------------+
¦ Иррациональные уравнения. ¦
¦ ¦
¦ Пример 1. |\ ¦
¦ Решим уравнение ? x2 - 5 = 2 ¦
¦ Возведем в квадрат обе части уравнения и получим х2 - 5 = 4, отсюда ¦
¦следует, что х2=9 х=3 или -3. ¦
¦ Проверим, что полученные части являются решениями уравнения. ¦
¦Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные ¦
¦равенства |\ |\ ¦
¦ ? 32-5 = 2 и ? (-3)2-5 = 2 ¦
¦ ¦
¦ Пример 2. | ¦
¦ Решим уравнение ? х = х - 2 ¦
¦ Возведя в квадрат обе части уравнения, получим х = х2 - 4х + 4 ¦
¦После преобразований приходим к квадратному уравнению х2 - 5х + 4 = 0 ¦
¦корни которого х=1 и х=4. Проверим являются ли найденные числа реше- ¦
¦ниями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получаем вер- ¦
¦ное равенство ?4 = 4-2 т.е. 4 - решение данного уравнения. При подста- ¦
¦новке же числа 1 получаем в правой части -1, а в левой 1. Следователь- ¦
¦но, 1 не является решением уравнения ; говорят, что это посторонний ¦
¦корень, полученный в результате принятого способа решения . ¦
¦ О Т В Е Т : Х=4 ¦
+-------------------------------------------------------------------------+
¦ Степень с рациональным показателем. ¦
¦ Пример 1. ¦
¦ 3| 4|\ 4| ¦
¦Найдем значение выражения 81/3 = ? 8 = 2 ; 813/4 = ? 813 = (?81)3= 33= ¦
¦=27 ¦
¦ ¦
¦ Пример 2. ¦
¦ Сравним числа 2300 и 3200 . Запишем эти числа в виде степени с ра- ¦
¦циональным показателем : ¦
¦ 2300 = (23)100 = 8100 ; 3200 = (32)100 = 9100 ¦
¦ Так как 8<9 получаем : ¦
¦ 8100 < 9100 т.е. 2300 < 3200 . ¦
¦ ¦
L--------------------------------------------------------------------------