Дополнительные вопросы планиметрии

Мендель Виктор Васильевич, доцент кафедры геометрии ХГПУ

Введение

Нашим читателям наверняка знакомы такие обороты речи как «мыслить штампами», «выполнять работу по сложившемуся стереотипу». К сожалению, многие ребята, при решении задач действуют по стереотипу. Если же условия задачи не подходят под известный алгоритм, то они нередко вольно или невольно изменяют (или дополняют) условия задачи так, чтобы она подходила под этот алгоритм.

При проверке решений задач на олимпиадах и вступительных экзаменах, автору нередко приходится сталкиваться с тем, что ученик произвольный треугольник заменяет правильным или равнобедренным. Часто, рассматривая четырехугольник с перпендикулярными диагоналями, учащиеся объявляют его ромбом (а ведь для этого нужно, чтобы диагонали в точке пересечения делились пополам). Список таких «превращений» можно продолжать и продолжать.

Кроме того, очень ценным качеством умного человека является умение нестандартно мыслить, решать нестандартные задачи.

Для вас «нестандартные» – это такие задачи, способ решения которых не изучался ранее. Само слово «нестандартный» не должно вас пугать. Очень часто нестандартное решение проще, понятнее и красивее (но отнюдь не сложнее), чем стандартное, шаблонное решение.

Дадим несколько практических советов, которые помогут вам избежать ошибок, связанных со стереотипами и позволят находить решения нестандартных задач на уроках геометрии.

Итак, во-первых, внимательно вдумайтесь в описание геометрической фигуры, о которой идет речь в условиях задачи. Проанализируйте, достаточно ли «хороших» признаков для того, чтобы рассматриваемая фигура (например, треугольник) была «хорошей» (правильной).

Если окажется, что данные в условии признаки не совпадают с известными условиями «правильности» фигуры, то, во-вторых, попытайтесь вывести (доказать) недостающие признаки.

Если же и это не поможет, тогда попробуйте (в-третьих) придумать пример «неправильной» фигуры, обладающей описанными в задаче свойствами (это называется контрпример).

Например, чтобы убедиться, что перпендикулярность диагоналей, далеко не все, что нужно ромбу, постройте два перпендикулярных, пересекающихся отрезка. При этом постарайтесь, чтобы точка пересечения этих отрезков не делила пополам ни один из них. Легко убедиться (см. рис.1), что концы отрезков будут вершинами четырехугольника, не являющегося ромбом.

Теперь о том, как находить нестандартные решения.

Для этого бывает полезно вспомнить всевозможные свойства той или иной фигуры, не совпадающие с определением этой фигуры.

Например, мы знаем, что центр описанной окружности треугольника это точка пересечения его серединных перпендикуляров. Однако есть и еще одна ценная характеристика этой точки. Дело в том, что центр описанной окружности удален от всех вершин на одинаковое расстояние.

Кроме того, нередко удается найти решение новой задачи, применяя общие математические принципы и подходы.

Далее вашему вниманию предлагается несколько задач (некоторые с указаниями и советами), которые помогут вам (я надеюсь) побороть некоторые штампы и стереотипы. Кроме того, решение некоторых из них потребует нестандартных подходов.

Задачи для самостоятельного решения

Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

М10.9.1. Определите, какие признаки достаточны для указанной фигуры, а какие нет. Придумайте контрпримеры. Если признаков недостаточно, дополните их.

Если у многоугольника все стороны равны, то он – правильный.

Если у многоугольника все углы равны, то он – правильный.

Если у треугольника все высоты равны – он правильный.

Если у треугольника высоты и медианы, проведенные из одной вершины, равны, то он правильный.

Если четырехугольник вписан и описан вокруг окружности, то он квадрат.

Если медианы треугольника равны, то он правильный.

Если все высоты четырехугольника равны, то он: а) квадрат; б) ромб; в) параллелограмм.

Замечание: высота в данном случае есть перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

Если медианы и высоты, проведенные из двух вершин треугольника соответственно равны, то он правильный.

Если биссектрисы поделили треугольник на 6 равных по площади треугольников, то он правильный.

Следующие задачи – на нестандартные ситуации

на уроках.

М10.9.2. У школьника Пети нет циркуля, зато есть бумажный кружок. Пете нужно построить окружность (ну хоть какую-нибудь) и найти ее центр.

Помогите Пете.

(Указание: кружок можно обвести. А для того, чтобы найти диаметр, бумажный кружок можно перегнуть пополам.)

М10.9.3. У Петиной соседки Вики есть циркуль, и она построила окружность. Но вот теперь не может найти, где ее центр (см. рис. 2). Помогите Вике построить центр, тем более что у нее есть еще и линейка.

Указание: Центр окружности есть пересечение двух его диаметров, а диаметр – это серединный перпендикуляр к хорде. Дерзайте!

(Совет: всегда перед тем, как построить окружность, отмечайте на бумаге ее центр, и вам не придется страдать как Вика).

М10.9.4. Ученица Валя взяла у Вики циркуль и построила окружность с отмеченным центром. Затем она провела диаметр (АВ) этой окружности и отметила на листочке точку М (см. рисунок 3). Тут Вика потребовала циркуль назад, но дала Вале линейку. Сможет ли Валя, пользуясь только линейкой, провести из точки М перпендикуляр к прямой АВ.

Рассмотрите случаи, когда М лежит: а) внутри, б) вне; в) на окружности.

М10.9.5. Отличник Вовочка помог одноклассникам решить все задачи и попросил у учителя чего-нибудь оригинального. Учитель посоветовал Вовочке взять глобус, найти на нем г. Хабаровск и построить точку, симметричную Хабаровску относительно центра глобуса.

Вова пришел домой, взял свой глобус – награду на олимпиаде (он не на оси, а на подставке, как у капитана корабля). Затем отыскал старую красивую готовальню своей мамы, в которой лежал очень хороший циркуль. У этого циркуля не только ножки двигаются, но есть специальные шарниры, позволяющие перегибать каждую ножку.

Как вы думаете, сможет ли Вова с помощью этого циркуля решить поставленную задачу?

Указания: чтобы найти симметричную точку, Вове потребуется через точку, изображающую Хабаровск, провести две окружности* большого круга. Второй раз они пересекутся в искомой точке (это надо доказать).

Сможет ли Вова циркулем определить размер этой окружности?

Имейте ввиду, что на глобусе отмечены параллели, меридианы, полюсы, экватор.