Дано:

Пирамида SABC,

пирамида A1B1C1ABC,

Sосн=S, Sсеч=S1

Доказать, что V=1/3h(S + Ö ` SS1)

Доказательство.

Объем пирамиды SABC равен: V=1/3Sh1, а пирамиды SA1B1C1 равен: V=1/3S1h2. Vу=Vп – Vм= 1/3(Sh1 – S1h2) (*)

(1) h1=h + h2Þ h= h1 - h2

S1 : S = h2 : h Þ S1 /S = h /h Þ h = Ö S h/S (2)

h – h =Ö S /S h Þ h - Ö S /S h = h (3)

из (*) с учетом (1) и (2) V = 1/3 (Sh - S Ö Sh /S)

(3) h = h - Ö S /S h = hÖ S - Ö S h /Ö S = h(Ö S - Ö S )/Ö S Þ h = hÖ S /(Ö S - Ö S)

Тогда: V = 1/3 ( S*(h Ö S/(Ö S - Ö S) – S Ö S /S *(h Ö S /Ö S - Ö S ) = 1/3h ((SÖ S /Ö S-Ö S ) - SÖ S Ö S /Ö S(Ö S - Ö S))= 1/3h (S – S Ö S S /Ö S(Ö S - Ö S ))= 1/3h ( SÖ S - SÖ S/(Ö S - Ö S)) = 1/3h ((Ö S ) – (Ö S ) /Ö S - Ö S = 1/3h ( (Ö S - Ö S)(S + Ö SS + S)/Ö S - Ö S = 1/3h (S = S1 + Ö SS1) Ч. Т. Д.