Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:
Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.
На практике широкое применение нашли два способа динамического представления.
Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени ? . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени ?. В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.
рис. 1
При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом случае исходный
Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического представления по первому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :
0, t < -?,>
u(t) ? ? 0.5(t/?+1), -? ? t ? ?, (1)
t > ?.
Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.
Переход совершается по линейному закону за время 2?. Теперь если параметр ? устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала
В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t
?
s(t)?s0?(t)+(s1-s0)?(t-?)+...=s0?(t)+?(sk-sk-1)?(t-k?).
k=1
* Если теперь шаг ? устремить к нулю. то дискретную переменную k? можно заменить непрерывной переменной ?. При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/d?)d? , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда
?
? ds
S(t)=s0 ?(t) + ? ?(t-?) d? (4)
? d?
0
Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие - понятие дельта-функции.
ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .
Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :
При любом выборе параметра ? площадь этого импульса
равна единице :
?
П = ? u dt = 1
- ?
Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с.
Теперь устремим величину ? к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при ? ? 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака1 :
(t) = lim u (t;?)
Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 2 дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции :
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :
?k(t) = Sk [ ?(t - tk) - ?(t - tk - ?) ] (6)
В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых :
?
S(t) = ? ? (t) (7)
k= - ? k
В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t :
tk < t < tk+1>
Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага ?, то
Переходя к пределу при ? ? 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной ?, дифференциал которой d? ,будет отвечать величине ? .
получим искомую формулу динамического представления сигнала
?
S (t) = ? s (?) ?(t - ?) d?
- ?
Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен ? - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.3
Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно, интеграл дельта-функции от - ? до t есть единичный скачок , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :
?(t) = 1’ (t) ;
?(t-t0) = 1’ (t-t0) .
Обобщенные функции как математические модели сигналов.
В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция ?(t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции.
В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ?(t) может служить, например, значение интеграла
при известной функции ?(t) , которую называют пробной функцией.
Каждой функции ?(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций ?(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций ?(t) задана обобщенная функция ?(t) 4. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.
И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.