Задание 1. Выполнить моделирование на ЭВМ базовой случайной величины (БСВ) Х. Получить выборки реализаций БСВ объемом n = 170, 1700. Для каждого случая найти минимальное и максимальное значения, оценить математическое ожидание и дисперсию. Сравнить полученные числовые характеристики с теоретическими значениями.

Решение

Базовой называют случайную величину, равномерно распределенную на интервале (0,1). Моделирование производится при помощи функции rnd(m) пакета MathCad 2000, возвращающей значение случайной величины, равномерно распределенной в интервале 0xm.

а) для выборки объемом 170 (рис. 1.1): Xmin = 0.0078, Xmax = 0.996.
Первый начальный момент (математическое ожидание) равен среднему арифметическому значений выборки:

МХ = 0.502, (1.1)

второй центральный момент (дисперсия):

D = 0.086, (1.2)

среднеквадратичное отклонение:

? = 0.293. (1.3)

Рисунок 1.1 Выборка объемом 170.

Для выборки объемом 1700 (рис. 1.2): Xmin = 0.0037, Xmax = 0.998,

МХ = 0.505, (1.4)

D = 0.085, (1.5)

?????????????
?????????????????????????????????????????????????????????????? = 0.292. (1.6)

Рисунок 1.2 Выборка объемом 1700.

Теоретически значения математического ожидания и дисперсии БСВ рассчиты-ваются из определения плотности распределения вероятности:

pравн(x) = , (1.7)

математическое ожидание:

Mx = 0.5, (1.8)

дисперсия:

Dx =
=0.083, (1.9)

что хорошо совпадает с результатами моделирования (1.1) – (1.5).

Задание 2. Получить выборку реализаций БСВ объемом n = 1700. Построить гистограмму распределений и сравнить ее с плотностью распределения равномерно распределенной случайной величины.

Решение

а) выборка получается аналогично Заданию 1(рис. 2.1):

Рисунок 2.1 Выборка объемом 1700

Приняв Xmin = 0, Xmax = 1, разбиваем интервал на q = 10 равных промежутков, каждый из которых равен:

?X = . (2.1)

Количества выборок, попадающих в каждый из интервалов, частоты попадания, оценки плотности сведены в табл. 2.1. Гистограмма распределений представлена на рис. 2.2. Как видно, она достаточно хорошо совпадает с равномерным законом распределения (1.7).

Таблица 2.1 Результаты оценки плотности распределения
Номеринтер-вала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Диапа-зон значе-ний 0-0.1 0.1-0.2 0.2-0.3 0.3-0.4 0.4-0.5 0.5-0.6 0.6-0.7 0.7-0.8 0.8-0.9 0.9-1
Коли-чество попа-даний 151 174 149 189 190 161 166 182 177 161
Часто-та по-пада-ния Pi 0.089 0.102 0.088 0.111 0.112 0.095 0.098 0.107 0.104 0.095
Оцен-ка плот-ностиpi 0.888 1.024 0.876 1.112 1.118 0.947 0.976 1.071 1.041 0.947


Рисунок 2.2 Гистограмма распределений

Задание 3. Получить выборку БСВ объемом n = 1700, По этой выборке проверить свойства независимости полученной случайной последовательности (вычислить 10 значений коэффициента корреляции).

Решение

а) снова получим выборку значений БСВ объемом n = 1700 (рис. 3.1):

Рисунок 3.1 Выборка объемом 1700

б) значения математического ожидания и дисперсии:

M = 0.512, (3.1)

D = 0.088. (3.2)

в) функция корреляции:

R(j) = , (3.3)

значения R(j) для j = 1…10 приведены в табл. 3.1, значение R(0) = 0.088 совпадает с дисперсией.
Таблица 3.1 Значения функции корреляции:
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R(j) -9.6·10-4 3.53·10-3 2.7·10-4 4.24·10-3 -1.73·10-3 6.61·10-4 4.11·10-4 6.74·10-5 3.95·10-4 1.12·10-3


Задание 4. Выполнить моделирование случайной величины, распределенной по закону Релея. Объем выборки n = 17, ?2 = 27.

Решение

Ддя получения случайной величины с заданным законом распределения из БСВ применим метод обратной функции:

а) для распределения Релея
p(x) = (4.1)

случайная величина

? = F(x) = (4.2)

равномерно распределена в интервале 0…1, и может быть задана с помощью БСВ. Решив уравнение (4.2) относительно x, получаем случайную величину, распределенную по закону (4.1):
?i = ,

xi = , (4.3)

где ?i – значения выборки БСВ

Результат моделирования случайной величины xi представлен на рис. 4.1:

Рисунок 4.1 Выборка случайной величины, распределенной по закону Релея

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М. Физматгиз, 1962. – 246 с.

2. Тихонов В. И. и др. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. М. – Сов. радио, 1970. – 600 стр.

3. Трохименко Я.К., Любич Ф.Д. Радиотехнические расчеты на ПК: Справочник. М. – Радио и связь, 1988. – 304 с.
4.
1


3