Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.

Схема закрепления пластины.



Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой
Ф (х,у)=а1х3у+а2х3+а3х2у+а4х2+а5ху+а6у2+а7ху2+а8у3+а9ху3
Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.
Найти общие выражения для напряжений ?х, ?у, ?ху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.
Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.

Расчет.
Дано: а3=1/3, а4= 1
Е=0,69*106 кг/см2
?=0,33

Решение:
1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.
Ф(х,у)=
Поскольку производные

-бигармоническое уравнение удовлетворяется.
2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.
?х=
?у=
?ху=
3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.



4.Проверяем равновесие пластины



Уравненения равновесия:

?х=0 -Т5+Т6=0 > 0=0
?y=0 Т4+Т3+Т2-Т1-N2+N1=0 > 0=0
?M=0 M (T4T3)=-M(T2T1) > 0=0

удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.

5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.
В этой точке напряжения в основных площадках. ?х=0, ?у=-1,33, ?ху=3,33,
Найдем главное напряжение по формуле:

=-0,665?3,396 кгс/см2
?max=?I=2,731 МПа

?min=?II= -4,061 МПа

Находим направление главных осей.


?I=39,36o
?II=-50,64o

6.Определяем компоненты деформации



7.Находим компоненты перемещений


Интегрируем полученные выражения

?(у), ?(х) –некоторые функции интегрирования


или



После интегрирования получим

где с1 и с2 – постоянные интегрирования
С учетом получения выражений для ?(у) и ?(х) компоненты перемещений имеет вид


Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины:
1) v =0 или


2) v =0 или

3) u =0 или

Окончательные выражения для функций перемещений u и v


Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.


1 2 3 4 5 6 7 8 9
координаты Х(см) -10 0 10 10 10 0 -10 -10 0
У(см) 10 10 10 0 -10 -10 -10 0 0
V*10-4 3,8 0,77 0,58 -0,19 0 0,19 3,2 3,1 0
U*10-4 -3,1 -3,5 -3,9 -1,9 0 -0,23 -0,45 -1,8 -1,9




Масштаб
* длин: в 1см – 2см

* перемещений: в 1см - 1*10-4см
*




2