| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|на тему: |
| |
|"Об интегральных формулах Вилля-Шварца |
|для трехсвязных областей и ее применение |
|к краевым задачам Дирихле". |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |

Оглавление.

Введение.
§1. О задачах Дирихле. а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона (классическая формулировка). б) Обобщенная задача Дирихле в) Видоизмененная задача Дирихле. г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей. д) Общая формулировка задачи Дирихле. е) Задача Неймана.

§2. О задачах Шварца-Пуассона. а) Интеграл Шварца для круга. б) Интегральная формула Пуассона. в) Интеграл Пуассона для внешности круга. г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости. д) Задача Дирихле для кругового кольца.

§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца (1912). а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля. б) Функции Вейерштрасса (I(u), [pic](u), [pic](u)).

§4. О некоторых изменениях теории конформного отображения к краевым задачам. а) Об структурном классе интегральных представлений. б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей. в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение задачи

Дирихле для соответствующих областей.

§5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле для заданных областей.

§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.

Литература.

Введение.

В данной дипломной работе исследованы некоторые интегральные формулы
(классические представления) аналитических и гармонических функций в заданных многосвязных областях.

Даны новые методы решения классических краевых задач методом интегральных представлений аналитических функций, используя метод конформного отображения канонической области [pic](z) на соответствующие области G[pic](w).

Используя фундаментальные интегральные формулы для круга и кругового кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини, Шварца, Кристофеля-
Шварца и Чизотти для многосвязных областей.

В частности, найдены интегральные формулы для эксцентрического кругового кольца, двух-трехсвязных областей. И нашли применение их к решению классических краевых задач типа Дирихле-Неймана.

Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:
1. Разобраться в вышеуказанных (непростых) известных классических задачах типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7].
2. Творчески изучая и классифицируя их, найти обобщение и решение этих задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).

Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.

В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность рассматриваемой темы дипломной работы, дается краткий анализ и перечень работ по данному исследованию (1 – 24).

Параграфы (§1, §2) не только вспомогательные материалы, необходимые для понимания основного содержания дипломной темы, но и являются справочной классификацией о задачах Дирихле (классическая, обобщенная, общая, видоизмененная) для любой связности заданной области G[pic]= G[pic](w) и задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности кругов, для полуплоскости).

В §3 интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца в форме Ахиезера преобразована и получена новая компактная, контурная, структурная формула А.Вилля для кругового кольца. Здесь же, ввиду важности трех функций I(u), [pic](u) и [pic](u) для практического приложения и простоты реализации на ЭВМ, мы рассмотрели все варианты представления рядов данных функций (37) – (48) по справочникам [19] – [22] специальных функций (а), б)).

Параграфы §4 - §6 – основное содержание самостоятельной работы автора: рассмотрены применение теории комфорного отображения к краевым задачам – решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).

В §5 – интегральные представления Пуассона-Дирихле для круга, кругового кольца и, наконец, §6 – интегральная формула Чизотти-Шварца-
Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.

Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач и о содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).

В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном виде и параметры, фигурирующие в постановке задачи, определяются явно и однозначно.

Основное содержание дипломной работы являются некоторыми обобщениями курсовых работ и самостоятельной работы автора.

§1. О задачах Дирихле.

а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона

(классическая формулировка).

1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой области была названа Риманом задачей Дирихле. В классическом виде эта задача формулируется следующим образом.

Пусть на границе [pic] области D+ задана непрерывная функция f([pic]).
Найти непрерывную в [pic] и гармоническую внутри области D+ функцию U(z), принимающую на границе значения f([pic]). Таким образом, требуется, чтобы
U(z) стремилась к f([pic]), когда z [pic] D+ стремится к [pic][pic][pic], u(z) > f([pic]), при z > [pic].

Задача Дирихле представляет интерес для физики. Так, потенциал установившегося движения несжимаемой жидкости, температура, электромагнитные и магнитные потенциалы – все являются гармоничными функциями.

Примером физической задачи, приводящей к задаче Дирихле, служит определение температуры внутри пластинки при известных ее значениях на контуре.

Из других физических задач возникла формулировка задачи Неймана. Найти гармоническую в области D+ функцию U(z) по заданным значениям ее нормальной производной [pic] на [pic], а также смешанной задачи Дирихле-Неймана.

Найти гармоническую в D+ функцию по известным ее значениям на некоторых дугах границы [pic] и значениям нормальной производной на остальной части [pic].

Смешанная задача встречается главным образом в гидродинамике.
Различные приложения этих задач можно найти, например, в книге Лаврентьев
И.А. и Шабат Б.В. [1].

Итак, по многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле занимает исключительное место в математике. К ней непосредственно сводится основная задача в гидродинамике – задача обтекания, задачи кручения и изгиба в теории упругости. С нею же тесно связаны основные задачи статистической теории упругости. Мы будем заниматься плоской задачей, которая представляет для нас особый интерес как по обилию приложений, так и по большей разработанности и эффективности методов решения.

2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех решений уравнения Лапласа

[pic], (1) которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.

Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так и для полного определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде так называемых краевых условий, т.е. заданных соотношений, которым должно удовлетворять искомое решение на границе области.

Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы приходим к первой краевой задаче или задаче Дирихле:

Найти гармоническую в области D и непрерывную в [pic] функцию u(z), которая на границе D принимает заданные непрерывные значения u([pic]).

К задаче Дирихле приводится еще, кроме вышеперечисленных, отыскание температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе области. К ней сводятся и краевые задачи других типов.

б) Обобщенная задача Дирихле.

В приложениях условие непрерывности граничных значений [pic], является слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле
[1]:

На границе [pic] области D задана функция [pic], непрерывная всюду, кроме конечного числа точек [pic], где она имеет точки разрыва первого рода. Найти гармоническую и ограниченную в области D функцию u(z), принимающую значения u(z) = [pic] во всех точках непрерывности этой функции.

Если заданная функция [pic] непрерывна, то обобщенная задача Дирихле совпадет с обычной, ибо условие ограниченности функции u(z) следует из условия ее непрерывности в [pic].

Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:

В данной области при заданной граничной функции [pic] существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле.

Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной задачи Дирихле.

Можно доказать, что:
1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции [pic] решение обобщенной задачи

Дирихле существует.
2. решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается интегралом Пуассона

[pic] , [pic], [pic]) (2)
3. для произвольной области D, мы получим искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:

[pic] , (3)

где [pic] - производная в направлении внутренней нормали к С, ds - элемент длины [pic], соответствующей [pic],

[pic] - элемент внутренней нормали к [pic], [pic]- фиксированная произвольная точка области D, а функция [pic]; [pic], реализующая отображение D на единичный круг [pic] и [pic] - функция Грина для области D, гармоническую всюду в D кроме точки [pic], где имеет плюс.

Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой области D через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И обратное верно.

Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.

в) Видоизмененная задача Дирихле.

Пусть S+ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми непересекающимися гладкими контурами [pic], из которых первый охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность этих контуров [pic], ([pic]). Через [pic] - мы обозначим совокупность конечных областей [pic] заключенных, соответственно, внутри контуров [pic] и бесконечной области [pic], состоящей из точек расположенных вне [pic]. На контуры [pic] мы наложим еще следующее условие: угол, составляемый касательной к [pic] с постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].

Функция [pic] удовлетворяет условию H на этом множестве, если для любых двух [pic] переменной [pic] на этом множестве

[pic] , (4) где A и [pic] - положительные постоянные показатели Гельдера, А – коэффициент, а [pic] - показатель условия Н и при [pic]=1 – условие

Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности.

г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].

Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в [pic], по граничному условию u=f(t) на L,

(5) где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в случае бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к вполне определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.

Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга [pic] в ряд.

[pic], [pic]) абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса [pic] поэтому u>[pic] при r>[pic].

Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая задача, которая называется "видоизмененной задачей Дирихле". Термин этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].

Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле для многосвязных областей.

Найти функцию u(x,y), гармоническую в S+, непрерывную в [pic], по следующим условиям:

1. u(x,y)=[pic]Ф(z) является действительной частью функции Ф(z), голоморфной в S+;

2. она удовлетворяет граничному условию u=f(t)+[pic](t) на L,

(6) где f(t) – заданная на [pic] непрерывная функция [pic], [pic],

(7) где [pic] постоянные не задаваемые заранее; в случае бесконечной области требование u(x,y)=f(t)+[pic] на [pic] заменяются требованием ограниченности u(x,y) на бесконечности.

Можно показать, что постоянные [pic] вполне определяются условиями самой задачи, если (произвольно) фиксировать одну из них.

Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два случая: а) р=0. Тогда S+ представляет собой конечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic]; б) р=1, а контур [pic] отсутствует. Тогда область S+ представляет собой бесконечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic].

Легко видеть, что в случае а) задачи А и В совпадают (если считать

[pic]=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к другой.

Каждая из задач А и В не может иметь более одного решения (если

[pic]=0).

д) Общая формулировка задачи Дирихле.

Задача Дирихле – задача отыскания регулярной в области D гармонической функции и которая на границе Г области D совпадает с наперед заданной функцией [pic]. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического уравнения 2-го порядка, принимающего на перед заданные значения на границе области, также называется задачей

Дирихле, или первой краевой задачей.

Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а затем Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г решение задачи Дирихле можно представить интегральной формулой

[pic], (8) где [pic] - производная по направлению внутренней нормали в точке

[pic] функции Грина [pic], характеризуемой следующими свойствами:

1. [pic], при [pic] 3 или

[pic], при [pic] 2, где [pic] - расстояние между точками [pic] и [pic], [pic] - площадь единичной сферы в [pic], [pic] - регулярная в [pic] гармоническая функция как относительно координат [pic], так и относительно координат [pic];

2. [pic], когда [pic], [pic].

Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название формул Пуассона.

Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала – теории гармонических функций.

Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона

[pic], (9) являющейся обобщением формулы (8). Здесь [pic] - гармоническая мера множества [pic] в точке [pic]. Отсюда возникает возможность рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для произвольных граничных функций [pic], при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в некоторой ослабленной форме.

Например, если [pic] - область [pic] с достаточно гладкой границей Г, а граничащая функция [pic] имеет только точки разрыва 1-го рода, то можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках непрерывности [pic], для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется ограниченность решения.

е) Задача Неймана.

Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:

Найти гармоническую в области [pic] функцию [pic], зная значения ее нормальной производной на границе С:

[pic] (10) и значение [pic] в какой-либо точке [pic] в области [pic].

Для определенности мы будем предполагать, что в (10) рассматривается внешняя нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью с осью х. Функция [pic] может иметь на [pic] конечное число точек разрыва 1-го рода, функция и ее частные производные первого порядка предполагаются ограниченными.

Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической функции:

Если функция [pic] гармонична в односвязной области [pic] и непрерывна вместе со своими частными производными в [pic], то

[pic], (11) где [pic] - граница области [pic] обозначает производную в направлении нормали к [pic], а [pic] - дифференциал дуги.

Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо выполнения соотношения

[pic]. (12)

Доказывается единственность решения задачи Неймана и при доказательстве единственности решения задачи Неймана можно ограничиться случаем, когда область [pic] представляет собой полуплоскость ([pic]z, > 0).

В дополнительном предположении непрерывности частных производных в

[pic] решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции.

Две гармонические в области [pic] функции [pic] и [pic], связанные условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.

Как мы знаем, для всякой функции [pic]гармонической в односвязной области [pic], можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию

[pic]. Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций [pic] сопряженных с [pic] дает формула:

[pic], (13) где С – произвольная действительная постоянная.

Заметим, что в многосвязной области [pic] интеграл (13) по контуру

[pic], определяет, вообще говоря, многозначную функцию:

[pic], (14) где [pic] - произвольные целые числа, а [pic] - интегралы вдоль замкнутых контуров [pic], каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы [pic]:

[pic]. (15)

Постоянные [pic] называются периодами интеграла (13) или циклическими постоянными.

Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится к решению задачи

Дирихле для сопряженной гармонической функции [pic], где [pic],

[pic] носят название соответственно силовой функции и потенциала поля.

Функции [pic] и [pic], представляющие собой регулярные решения системы

Коши-Римана [6]:

[pic] , [pic] [pic] (16) имеют частные производные всех порядков, т.е. аналитические функции

[pic] являются решением уравнения [pic]. (17)

Условие (17) – условие комплексной дифференцируемости функции [pic].

§2. О задачах Шварца-Пуассона.

а) Интеграл Шварца для круга

Как известно, по данным значениям вещественной (мнимой) части функции находится с точностью до чисто мнимого слагаемого. Аналитический аппарат, дающий выражение функции [pic], регулярной в области, через значения [pic] на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса [pic], известен – это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:

[pic] , ([pic], [pic]) (18)

Полагая здесь [pic], мы найдем для [pic] чисто вещественное значение
[pic], для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.

Чтобы получить общее решение, мы должны добавить к правой части произвольное мнимое число [pic]:

[pic], [pic]. (19)

Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как вещественная

[pic]

часть даст нам интеграл Пуассона для [pic] и мнимая же часть доставляет выражение [pic] через [pic].

Для единичного круга [pic], имеет вид:

[pic], (20)

где [pic], [pic] - представляет значение вещественной части искомой функции в точке [pic].

б) Интегральная формула Пуассона.

Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно, интегралом Пуассона:

[pic], (21) где [pic] - полярные координаты точки, где ищется значение решения; [pic] - радиус окружности и [pic] - функция полярного угла [pic], дающая граничные значения [pic] [9].

Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что

[pic],

([pic], [pic])

Поэтому [pic] представима рядом:

[pic]

[pic] (22) где [pic] и [pic] - коэффициенты Фурье [pic]:

[pic]; [pic]; [pic]

В центре окружности при [pic] мы получаем:

[pic] (23)

Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на самой окружности.

в) Интеграл Пуассона для внешности круга.

Найти функцию, гармоническую и ограниченную вне окружности [pic] и принимающую на самой окружности заданные значения [9]:

[pic], [pic] ([pic]).

Покажем, что искомую функцию [pic] может быть представлена интегралом типа Пуассрна, который может быть получен из (1).

Пусть [pic], а [pic],
Функция [pic], гармоническая вне окружности [pic], перейдет в функцию
[pic], гармоническую внутри круга радиуса [pic], принимающую на его границе значения

[pic].

По формуле (1) она при [pic] представима интегралом Пуассона:

[pic].

Если в этом равенстве подставить вместо [pic] и [pic] их выражения через [pic] и [pic] и заменить переменную интегрирования, положив [pic], то мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:

[pic], (24) решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней
[pic] и [pic] переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком.

Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду

(22), представляющей ее вне окружности:

[pic]. (25)

Если в (25) [pic]([pic], то получим теорему Гаусса для внешности окружности:

[pic],

(26) т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее арифметическое значений на граничной окружности.

г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.

Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси, можно получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга [pic] плоскости [pic] на верхнюю полуплоскость [pic] при помощи функции

[pic]

Граничные значения на окружности [pic] перейдут в граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую формулу в виде [1]:

[pic], ([pic]) (27)

При неточных графических расчетах формулу (27) удобнее употреблять в ином виде, взяв за переменную интегрирования не [pic], а угол [pic], который образует прямая [pic] с перпендикуляром [pic] к оси [pic], опущенным из точки [pic], имеем:

[pic], [pic] и окончательно имеем:

[pic]. (28)

д) Задача Дирихле для кругового кольца.

Граничные значения гармонической функции [pic] на окружности кольца
[pic] мы будем предполагать заданными в форме функций от полярного угла
[pic] и обозначим их соответственно через [pic] и [pic].

Сопряженная с [pic] гармоническая функция [pic] будет вообще говоря, не однозначной, и фкп [pic] будет состоять из двух слагаемых: однозначной составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана в кольце, и логарифм
[pic] с вещественным коэффициентом:

[pic], [pic]. (29)

Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто.

Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула Вилля для кругового кольца [2], [3].

§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца (1912).

Пусть в плоскости комплексного переменного [pic] дано круговое кольцо

[pic], ограниченное окружностями

[pic], [pic], где заданное положительное число [pic]0.

Если [pic], то [pic] и [pic] - две интегральные формулы Пуассона для заданных трехсвязных областей.

Если [pic], то

[pic]

[pic], где [pic], [pic] (Шварц, 1869),

[pic], [pic] (Вилля, 1921), (96)

[pic], [pic] (Александров-Сорокин, 1972),

Формулу (87) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для рассмотренных областей [pic], а формулы (88) – интегралами типа Шварца, а реальные и мнимые части от функции [pic] - интегральными формулами типа
Пуассона.

Аналогичные формулы мы получим и для неконцентрического кругового кольца, и для внешности [pic] и [pic] окружностей [4].

Рассмотренные выше формулы (86) – (88) – очень эффективны, когда [pic]
- правильные многоугольники (формулы Кристоффеля-Шварца-Дирихле для рассмотренных областей).

Замечание 1. Так как заданные функции [pic] - являются быстро сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то все рассмотренные интегральные формулы можно с успехом использовать и для приближенного решения соответствующих граничных задач.

Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы рассмотрели только задачу Дирихле.

Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными случаями задачи:

Найти регулярное в области [pic] решения эллиптического уравнения

[pic], (97) удовлетворяющие на границе [pic] условию

[pic], (98) где [pic] - производная по некоторому направлению, а [pic] - заданные непрерывные на [pic] функции, причем [pic] всюду на [pic] и

1. при [pic], [pic] - задача Дирихле;

2. при [pic], [pic] - задача с косой производной, которая переходит в задачу Неймана, если направление [pic] совпадет с направлением по нормали.

Литература.

1. М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. "Методы теории функции комплексного переменного". М. 1965.
2. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для кругового кольца". Труды ВЦАН Груз.

ССР 1973. т.XII вып.I, стр.218-222.
3. Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для многосвязных круговых областей". ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260.
4. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для (n+1) – связных бесконечных областей". Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224.
5. И.А.Александров, А.С.Сорокин. "Задача Шварца для многосвязных областей".

СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001.
6. А.В.Бицадзе. "Основы ТАФКП". М. 1984.
7. Н.И.Ахиезер. "Элементы теории эллиптических функций". М. 1970, стр.9-34;

179-190; 224-229.
8. В.И.Смирнов. "Курс высшей математики". т.3 часть вторая, изд. 6. М.

1956, стр.182-184.
9. Л.В.Канторович, Крылов. "Приближенные методы высшего анализа". М.-Л.,

1962, стр.584-645.
10. Ф.Д.Гахов. "Краевые задачи". М. 1977. изд. 3.
11. И.И.Привалов. "Граничные свойства аналитических функций". М.-Л. 1950.
12. Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85.
13. В.А.Змарович. "О структурных формулах теории специальных классов АФ".

Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148.
14. Х.Т.Тлехугов. "О применении формулы Чизотти к приближенному отображению с особой нормировкой". Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101. 1., стр.21-

24.
15. Х.Т.Тлехугов. "О приближенном конформном отображении методом растяжения". Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40.
16. Х.Т.Тлехугов. "Применение формулы Чизотти к приближенному отображению".

Сообщения АН Груз. ССР, 1974. т.73. 3., стр538-540.
17. Н.И.Мусхелишвили, Д.З.Авазошвили. "Сингулярные и интегральные уравнения". М. 1956.
18. С.Г.Михлин. "Интегральные уравнения". ОГИЗ. М.-Л. 1947.
19. Бейтмен и Эрдейн. "Высшие трансцендентные функции". М. 1967. стр.294.
20. Градштейн, Рыжик. "Таблицы интегралов и произведений". М. 1962. стр.931-

935.
21. М.Абрамович, И.Стиган. "Справочник по специальным функциям". М.

"Наука", 1979. стр.442-445.
22. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. "Специальные функции". М. 1968. стр.120-143.
23. Д.А.Квеселова, Х.Т.Тлехугов. "Формула Дини-Шварца для кругового кольца". Труды ВЦ. АН Груз. ССР, т.12. вып.1, 1973, стр.214-219.
24. Н.И.Мусхелишвили. "Сингулярные интегральные уравнения". М. 1962. стр.245-269.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

(40)

(47)

(53)

[pic]

(54)

(55)

(56)

(59)

(71)

[pic]

[pic]

[pic]

(86)

(88)

[pic]

(89)

[pic]

(92)

(95)

[pic]