К.Маркс назвал Аристотеля (384-322 гг. до н.э.) "величайшим фи-
лософом древности". Основные вопросы философии, логики, психологии,
естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в
науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее
освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных ис-
следований, однако важнейшие стороны математического познания были
подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методо-
логической основой деятельности многих поколений математиков.
Ко времени Аристотеля теоретическая математика прошла значи-
тельный путь и достигла высокого уровня развития. Продолжая традицию
философского анализа математического познания, Аристотель поставил
вопрос о необходимости упорядочивания самого знания о способах усво-
ения науки, о целенаправленной разработке искусства ведения познава-
тельной деятельности, включающего два основных раздела: "образован-
ность" и "научное знание дела". Среди известных сочинений Аристотеля
нет специально посвященных изложению методологических проблем мате-
матики. Но по отдельным высказываниям, по использованию математичес-
кого материала в качестве иллюстраций общих методологических положе-
ний можно составить представление о том, каков был его идеал постро-
ения системы математических знаний.
Исходным этапом познавательной деятельности, согласно Аристоте-
лю, является обучение, которое "основано на (некотором) уже ранее
имеющемся знании... Как математические науки, так и каждое из прочих
искусств приобретается (именно) таким способом". Для отделения зна-
ния от незнания Аристотель предлагает проанализировать "все те мне-
ния, которые по-своему высказывали в этой области некоторые мыслите-
ли" и обдумать возникшие при этом затруднения. Анализ следует прово-
дить с целью выяснения четырех вопросов: "что (вещь) есть, почему
(она) есть, есть ли (она) и что (она) есть".
Основным принципом, определяющим всю структуру "научного знания
дела", является принцип сведения всего к началам и воспроизведения
всего из начал. Универсальным процессом производства знаний из на-
чал, согласно Аристотелю, выступает доказательство. "Доказательством
же я называю силлогизм, - пишет он, - который дает знания". Изложе-
нию теории доказательного знания полностью посвящен "Органон" Арис-
тотеля. Основные положения этой теории можно сгруппировать в разде-
лы, каждый из которых раскрывает одну из трех основных сторон мате-
матики как доказывающей науки: "то, относительно чего доказывается,
то, что доказывается и то, на основании чего доказывается". Таким
образом, Аристотель дифференцированно подходил к объекту, предмету и
средствам доказательства.
Существование математических объектов признавалось задолго до
Аристотеля, однако пифагорейцы, например, предполагали, что они на-
ходятся в чувственных вещах, платоники же, наоборот, считали их су-
ществующими отдельно. Согласно Аристотелю:
1. В чувственных вещах математические объекты не существуют,
так как "находиться в том же самом месте два тела не в состоянии";
2. "Невозможно и то, чтобы такие реальности существовали обо-
собленно".
Аристотель считал предметом математики "количественную опреде-
ленность и непрерывность". В его трактовке "количеством называется
то, что может быть разделено на составные части, каждая из кото-
рых ...является чем-то одним, данным налицо. То или другое количест-
во есть множество, если его можно счесть, это величина, если его
можно измерить". Множеством при этом называется то, "что в возмож-
ности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною -
то, что делится на части непрерывные". Прежде чем дать определение
непрерывности, Аристотель рассматривает понятие бесконечного, так
как "оно относится к категории количества" и проявляется прежде все-
го в непрерывном. "Что бесконечное существует, уверенность в этом
возникает у исследователей из пяти оснований: из времени (ибо оно
бесконечно); из разделения величин..; далее, только таким образом не
иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда
берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с
чем-нибудь, так как необходимо, чтобы одно всегда граничило с дру-
гим. Но больше всего -...на том основании, что мышление не останав-
ливается: и число кажется бесконечным, и математические величины".
Существует ли бесконечное как отдельная сущность или оно является
акциденцией величины или множества? Аристотель принимает второй ва-
риант, так как "если бесконечное не есть ни величина, ни множество,
а само является сущностью..., то оно будет неделимо, так как делимое
будет или величиной, или множеством. Если же оно не делимо, оно не
бесконечно в смысле непроходимого до конца". Невозможность математи-
ческого бесконечного как неделимого следует из того, что математи-
ческий объект - отвлечение от физического тела, а "актуально недели-
мое бесконечное тело не существует". Число "как что-то отдельное и в
то же время бесконечное" не существует, ведь "...если возможно пе-
ресчитать счислимое, то будет возможность пройти до конца и беско-
нечное". Таким образом, бесконечность здесь в потенции существует,
актуально же - нет.
Опираясь на изложенное выше понимание бесконечного, Аристотель
определяет непрерывность и прерывность. Так, "непрерывное есть само
по себе нечто смежное. Смежное есть то, что, следуя за другим, каса-
ется его". Число как типично прерывное (дискретное) образование фор-
мируется соединением дискретных, далее неделимых элементов - единиц.
Геометрическим аналогом единицы является точка; при этом соединение
точек не может образовать линию, так как "точкам, из которых было бы
составлено непрерывное, необходимо или быть непрерывными, или ка-
саться друг друга". Но непрерывными они не будут: "ведь края точек
не образуют чего-нибудь единого, так как у неделимого нет ни края,
ни другой части". Точки не могут и касаться друг друга, поскольку
касаются "все предметы или как целое целого, или своими частями, или
как целое части. Но так как неделимое не имеет частей, им необходимо
касаться целиком, но касающееся целиком не образует непрерывного".
Невозможность составления непрерывного из неделимых и небходи-
мость его деления на всегда делимые части, установленные для величи-
ны, Аристотель распространяет на движение, пространство и время,
обосновывая (например, в "Физике") правомерность этого шага. С дру-
гой стороны, он приходит к выводу, что признание неделимых величин
противоречит основным свойствам движения. Выделение непрерывного и
прерывного как разных родов бытия послужило основой для размежевания
в логико-гносеологической области, для резкого отмежевания арифмети-
ки от геометрии.
"Началами... в каждом роде я называю то, относительно чего не
может быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает
первичное и из него вытекающее, принимается. Существование начал не-
обходимо принять, другое - следует доказать. Например, что такое
единица или что такое прямое или что такое треугольник (следует при-
нять); что единица и величина существует, также следует принять,
другое - доказать". В вопросе о появлении у людей способности позна-
ния начал Аристотель не соглашается с точкой зрения Платона о врож-
денности таких способностей, но и не допускает возможности приобре-
тения их; здесь он предлагает следующее решение: "необходимо обла-
дать некоторой возможностью, однако не такой, которая превосходила
бы эти способности в отношении точности". Но такая возможность, оче-
видно, присуща всем живым существам; в самом деле, они обладают при-
рожденной способностью разбираться, которая называется чувственным
восприятием. Формирование начал идет "от предшествующего и более из-
вестного для нас", то есть от того, что ближе к чувственному воспри-
ятию к "предшествующему и более известному безусловно" (таким явля-
ется общее). Аристотель дает развернутую классификацию начал, исходя
из разных признаков.
Во-первых, он выделяет "начала, из которых (что-либо) доказыва-
ется, и такие, о которых (доказывается)". Первые "суть общие (всем
начала)", вторые - "свойственные (лишь данной науке), например, чис-
ло, величина". В системе начал общие занимают ведущее место, но их
недостаточно, так как "среди общих начал не может быть таких, из ко-
торых можно было бы доказать все". Этим и объясняется, что среди на-
чал должны быть "одни свойственны каждой науке в отдельности, другие
- общие всем". Во-вторых, начала делятся на две группы в зависимости
от того, что они раскрывают: существование объекта или наличие у не-
го некоторых свойств. В-третьих, комплекс начал доказывающей науки
делится на аксиомы, предположения, постулаты, исходные определения.
Выбор начал у Аристотеля выступает определяющим моментом пост-
роения доказывающей науки; именно начала характеризуют науку как
данную, выделяют ее из ряда других наук. "То, что доказывается",
можно трактовать очень широко. С одной стороны, это элементарный до-
казывающий силлогизм и его заключения. Из этих элементарных процес-
сов строится здание доказывающей науки в виде отдельно взятой тео-
рии. Из них же создается и наука как система теорий. Однако не вся-
кий набор доказательств образует теорию. Для этого он должен удов-
летворять определенным требованиям, охватывающим как содержание до-
казываемых предложений, так и связи между ними. В пределах же науч-
ной теории необходимо имеет место ряд вспомогательных определений,
которые не являются первичными, но служат для раскрытия предмета те-
ории.
Хотя вопросы методологии математического познания и не были из-
ложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в
совокупности они образуют полную систему. В основе философии матема-
тики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражения
объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе Арис-
тотеля с платоновым идеализмом; ведь "если в явлениях чувственного
мира не находится вовсе математическое, то каким образом возможно,
что к ним прилагаются его свойства?" - писал он. Разумеется, матери-
ализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в
большей степени соответствовали потребностям математического позна-
ния, сем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристо-
теля одним из источников формирования ряда разделов его философской
системы.