Лекция 1
Волны
1. Введение
2. Что такое волна. Какие бывают волны
2.1. Синусоидальные волны. Распространение колебаний
2.2. Волна плоская, цилиндрическая, сферическая
2.3. Волны продольные и поперечные. Поляризация
Лекция 2
3.1. Возникновение волны. Группа волн
3.2. Точечный источник волн
3.3. Множество точечных источников
Лекция 3
3.4. Периодически расположенные точечные источники волн
3.5. “Точный” расчет углового распределения
потока энергии от системы источников
3.5.1. Непрерывное распределение источников
3.5.2. Излучение пары точечных источников
3.5.3. Излучение цепочки периодически
расположенных источников
Лекция 4
4. Законы геометрической оптики
4.1. Прямолинейность распространения света. Принцип Ферма
4.2. Отражение света. Плоское зеркало
4.3. Сложение гармонических колебаний
Лекция 5
4.4. Эллиптическое зеркало.
Уточненная формулировка принципа Ферма
4.5. Сферическое зеркало
4.6. Параболическое зеркало
4.7. Закон преломления света
4.7.1. Скорость света в веществе
Лекция 6
4.7.2. Преломление света
4.7.3. Дисперсия и поглощение света
4.7.4. Групповая и фазовая скорости света в веществе
4.7.5. Аномальная дисперсия
Лекция 7
5. Распространение (плоской) волны. Некоторые “тонкости”
6.1. Отражение света на границе раздела двух сред.
Угол Брюстера
6.2. Полное отражение
Лекция 8
7. Линза
7.1. Фокусные расстояние для сферической поверхности
7.2. Фокусное расстояние линзы
7.3. Фокусное расстояние линзы. Другой подход
7.4. Построение изображения предмета. Увеличение
Лекция 9
8. Интерференция
8.1. Двухлучевая интерференция. Точечные источники
8.2. Опыт Юнга. Когерентность волн
8.3. Длина когерентности
8.4. Линии равного наклона
Лекция 10
8.5. Линии равной толщины
8.6. Интерферометры
8.6.1. Интерферометр Линника
8.6.2. Интерферометр Рэлея
8.6.3. Звездный интерфероментр Майкельсона
8.6.4. Интерферометр Фабри-Перо
Лекция 11
8.6.5 Интерферометр Фабри-Перо.
Угловое распределение амплитуды проходящей волны
9. Дифракция Фраунгофера
9.1. Дифракция на щели
9.2. Дифракционная решетка
9.3. Дифракционная решетка как спектральный прибор
Лекция 12
10. Дифракция на круглом отверстии
10.1. Зоны Френеля
10.2. Обсуждение полученных результатов. Зонная пластинка
10.3. Линза как дифракционный прибор
10.4. Пятно Пуассона
Лекция 13
11.1. Свет поляризованный и неполяризованный. Закон Малюса
11.2. Одноосные кристаллы
11.3. Скрещенные поляризаторы
11.4. Двойное лучепреломление
11.5. Поляризаторы
Лекция 14
11.6. Анализ поляризованного света
11.7. Естественное вращенние плоскости поляризации
11.8. Эффект Зеемана и поляризация
11.9. Искусственное двойное лучепреломление
Лекция 15
12. Тепловое излучение
12.1. Основные понятия. Закон Кирхгофа
12.2. Плотность лучистой энергии
12.3. Лучистая энергия
12.4. Формула Планка
Лекция 16
12.5. Закон Стефана-Больцмана и закон Вина
12.7. Оптическая пирометрия
13.1. Теплоемкость кристаллической решетки
Лекция 17
13.2. Теплоемкость кристаллической решетки. Продолжение
14.1. Преобразования Лоренца
14.2. Эффект Допплера
14.3. Поперечный эфект Допплера. Аберрация
Лекция 18
15. Фотоны
16. Примеры использования понятия фотона
16.1. Опыт Боте
16.2. Энергетические соотношения
16.3. Эффект Комптона
Лекция 19
17. Гипотеза де Бройля
18.1. Дифракция электрона на двух щелях
18.2. Соотношения неопределенностей
18.3. Уравнение Шр(дингера
Лекция 20
18.4. Стоячая волна
18.5. Физический смысл волновой функции
19.1. Как нам это объясняют
Лекция 21
19.2. Как нам это понимать
19.3. Парадокс Больцмана
19.4. Химические элементы
19.5. Нормирование волновой функции
Лекция 22
20. Стоячие волны. Рефракция
21. “Внутреннее движение” квантового состояния
22. Квантование момента импульса
23. Классический гироскоп в магнитном поле
Лекция 2
3.1. Возникновение волны. Группа волн
Пожалуй, самыми наглядными являются волны на поверхности воды. Их можно просто увидеть невооруженным взглядом. При каких условиях возникают такие волны? Проще всего бросить камень, скажем, в пруд со спокойной поверхностью воды. От места падения камня начнет распространяться волна, которую можно назвать кольцевой. Ее амплитуда в зависимости от расстояния до точки падения будет изменяться так же, как и у волны цилиндрической.
Однако, это не совсем такая волна, о которой мы говорили. Синусоидальная волна не должна иметь начала или конца, чего, конечно, нельзя сказать о волне, возникшей при падении камня в воду.
x
0 r
В этом случае будет распространяться так называемая “группа волн”. Выбрав некоторое направление, мы увидим волну с возрастающей и затем убывающей амплитудой. В оптике такую волну называют цугом. Почему она называется группой должно быть понятно из дальнейшего.
Совсем не обязательно, чтобы такая группа волн имела показанную на рисунке динамику увеличения и уменьшения амплитуды, показанный профиль. Для нас важнее понять, почему волна в этом случае имеет название “группы”. Для этого надо вспомнить возникновение биений, которые наблюдаются при сложении колебаний близких частот. Разность фаз таких колебаний
изменяется достаточно медленно. Между моментами, когда амплитуда суммарных колебаний
со средней частотой обращается в нуль, проходит достаточно много (по сравнению с периодом колебаний) времени:
; ;
,
поскольку разность частот колебаний много меньше средней частоты:. Поэтому мы наблюдаем приблизительно гармонические колебания с медленно изменяющейся амплитудой. Амплитудой в этом случае называется произведение подчеркнутых сомножителей в выписанных выше выражениях.
Предположим теперь, что вдоль некоторого направления распространяются плоские волны с близкими длинами волн. Соответственно и частоты распространяющихся с ними колебаний будут близкими. В каждой точке, например, в точке x = 0 будут наблюдаться биения:
.
С другой стороны, в фиксированный момент времени (пусть t = 0) мы получим такой профиль волны:
.
В этом выражении, k - среднее значение волнового числа. Обратите внимание на сходство выражения, описывающее профиль нашей волны, и выражения, которое описывает процесс биений.
Для произвольных значений времени и координаты мы получим такое выражение:
.
В общем то, мы просто занимались некоторыми тригонометрическими преобразованиями. Но получили весьма любопытный и очень важный результат. Хотя его важность обнаружится еще нескоро.
Зададимся вновь вопросом: чему равна скорость распространения волны? Оказывается, ответ на этот вопрос неоднозначен. Для синусоидальной волны это скорость движения точки с постоянной фазой:
.
Это так называемая фазовая скорость. Но предположим, мы хотим измерить скорость распространения волны. Вообще говоря, для этого создается некоторый импульс (группа волн, волновой пакет, цуг) и измеряется время прохождения им некоторого расстояния. Но тогда мы определим скорость волны как скорость перемещения не точки с постоянной фазой, а точки с постоянной амплитудой (подчеркнутая группа сомножителей в выписанном выражении):
;.
Посмотрим когда и почему эти скорости оказываются различными.
Продифференцируем фазовую скорость, например, по волновому числу k:
.
x
0 X
Волновые пакеты при распространении
двух синусоидальных волн с близкими
частотами (длинами волн).
Таким образом, фазовая и групповая скорости различаются, если первая зависит от волнового числа (производная отлична от нуля), а поскольку длина волны, можно сказать и иначе: эти скорости различны, если фазовая скорость зависит от длины волны. А если бы мы произвели дифференцирование по частоте, мы бы говорили о зависимости фазовой скорости от этой последней как об условии несовпадения фазовой и групповой скоростей.
Собственно, при гидролокации, радиолокации и проч. мы имеем дело именно с групповой скоростью, мы измеряем именно групповую, а не фазовую скорость, так что это очень важное понятие.
Подведем некоторый итог этой части разговора о волнах. Если наблюдается сумма колебаний различных частот, то обнаруживается изменение амплитуды во времени. Справедливо и обратное утверждение: если амплитуда колебаний непостоянна, значит мы имеем дело с суммой нескольких колебаний. Применительно к волне это означает, что при распространении некоторого волнового импульса мы наблюдаем распространение нескольких волн, некоторой их группы. Скорость распространения импульса потому и называется групповой. Количество синусоидальных волн, образующих импульс (волновой пакет, группу волн, цуг) может быть как конечным (минимум - две), так и бесконечным.
Заметим еще, что фазовая скорость может оказаться больше скорости света в вакууме, что невозможно для групповой скорости. При определенных условиях эти скорости вообще могут быть разного знака.
3.2. Точечный источник волн
Y X
Итак, чтобы получить круговые волны на поверхности воды нам необходимо создать некоторое возмущение в точке, которая будет центром кругов, образованных фронтами. Чтобы эта волна имела определенную (единственную) частоту необходимо непрерывное (периодическое) возмущение. Его можно осуществить с помощью колеблющегося в вертикальном направлении закрепленного на стержне шарика подходящих размеров. Вообще говоря, такая волна все-таки не будет синусоидальной - ее амплитуда будет обратно пропорциональной корню квадратному из расстояния до начала координат, как это следует из закона сохранения энергии. Обратите внимание на очевидное, но весьма важное для дальнейшего обстоятельство: причиной возникновения волны является не само движение шарика, а периодическое возмущение поверхности воды в точке возникновения волны.
Волны на поверхности воды, стоячие волны при колебаниях струны весьма наглядны и разговор о волнах традиционно начинается с этих волн. Но намного важнее для нас другие волны, например, электромагнитные (световые). Непосредственно увидеть их нельзя (несмотря на то, что видим мы именно свет), но для понимания и/или обсчета некоторых оптических явлений важно хорошо представлять себе волны “вообще” независимо от их природы. И поняв нечто применительно к волнам на поверхности воды, мы с большей вероятностью сознательно, а не формально-математически сможем говорить о волнах другой природы.
При каких условиях может возникнуть электромагнитная волна? Электромагнитное излучение пропорционально ускорению заряда. Если ускорение, например, направлено вдоль оси OZ, электрическое поле на перпендикулярной к оси прямой на расстоянии r пропорционально этому ускорению. Соответствующее выражение имеет вид:
.
Доказательство справедливости этого выражения достаточно сложно, и мы заниматься этим не будем. А выписано оно здесь прежде всего для того, чтобы можно было обсудить одно весьма важное обстоятельство.
Прежде всего важно, что множитель при ускорении обратно пропорционально расстоянию r. Это согласуется с выписанным нами ранее выражением для амплитуды сферической волны. Это обеспечивает выполнение закона сохранения энергии. Но особенно любопытна зависимость от времени.
Нас, естественно, интересует значение напряженности электрического поля в определенной точке в определенный момент времени. Но определяется это значение ускорением в некоторый другой, более ранний момент времени. Обусловлено это временной задержкой вызванного ускоренным движением заряда возмущения, связанной с конечностью скорости распространения света c. Эта задержка.
+
I
-
При изучении возникновения и распространения электромагнитных волн большую роль сыграл вибратор (или диполь) Герца. Он представляет собой два стержня с шариками на концах, стержни подключаются к индукционной катушке - источнику высокого напряжения. Когда напряжение между стержнями становится достаточно большим, между шариками проскакивает искра. И существенно, что вольтамперная характеристика искрового разряда имеет отрицательное дифференциальное сопротивление.
Мы с Вами рассматривали задачу о возникновении колебаний в LC - контуре при включении в него элемента с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Вибратор Герца можно рассматривать как колебательный контур, “открытый” колебательный контур. Емкостью в таком контуре является емкость между стержнями, преимущественно между их концами, на которых и накапливаются заряды при колебаниях. Сами стержни обладают индуктивностью. Контур называется открытым, поскольку в отличии от “обычного” конденсатора его поле не локализовано в ограниченном пластинами конденсатора объеме, а в окружающем стержни пространстве.
При колебаниях, разумеется, в стержнях происходит ускоренное движение зарядов (электронов), с их движением можно, разумеется, связать электромагнитное излучение. Но понятней представляется такое объяснение. В окружающем вибратор пространстве возникает переменное электрическое поле. В результате возникает изменяющееся во времени вихревое магнитное поле, оно вновь рождает также вихревое электрическое поле и т.д. Возникает электромагнитная волна.
Длина стержня примерно равна четверти длины волны, длина обоих стержней - l/2. Вспомним, что при такой некоторой длине струны на ней укладывается также половина длины волны. Удивительное, но не случайное совпадение.
3.3. Множество точечных источников
Предположим, что волны на поверхности воды возбуждаются колебаниями длинного стержня. Стержень параллелен поверхности воды и совершает колебания в вертикальном направлении. На расстояниях меньше длины стержня в таких условиях будут наблюдаться плоские волны.
q
Стержень можно представить себе как совокупность тесно друг к другу, непрерывно расположенных точечных источников волны, заменить, например, большим количеством прижатых друг к другу шариков. Вид возникающей при этом волны не изменится, но появляется возможность провести важные рассуждения.
Множество точечных источников создает, естественно, множество круговых волн. Как мы видим, при тесном расположении источников получается плоская волна. Каким образом?
l/2
d
q
При распространении плоской волны происходит движение энергии в направлении нормали к фронту. Поэтому ответ на вопрос, почему волна плоская, заключается в ответе на вопрос, почему энергия не распространяется в каком-то ином направлении, составляющем угол q с нормалью к оси стержня. Ответом на этот вопрос мы сейчас и займемся.
Если у нас имеется множество непрерывно расположенных точечных источников (круговых) волн, мы всегда можем выбрать пару источников, расположенных на некотором нужном нам расстоянии друг от друга. Выберем пару источников на таком расстоянии d, чтобы выполнялось условие. Далее, на достаточно большом расстоянии от источников малый участок фронта круговой волны можно считать плоским, как это показано на рисунке. И расстояние между гребнями волн двух источников, относящихся к одному моменту времени излучения, будет равно l/2. Это означает, что в выделенной области вызванные двумя нашими точечными источниками колебания происходят в противофазе. Амплитуды колебаний примерно одинаковые и при их сложении мы получим нуль. В этом направлении энергия распространяться не будет.
Y
r0
2
y+dy
y 1 q
Предположим теперь, что фазы колебаний точечных источников цилиндрических или кольцевых волн неодинаковы, изменяются вдоль стержня, являясь функцией координаты j(y). Запишем условие равенства фаз колебаний, приходящих с волной из точек 1 и 2 в удаленную зону наблюдения:
; ;
;
;
.
Стало быть, при изменяющейся вдоль оси OY фазе колебаний j(y) излучение будет распространяться в направлении под углом q, определяемым выписанным условием. Естественно, при неизменной фазе dj/dy = 0 и излучение направлено по нормали - в этом случае q = 0.
Лекция 3
3.4. Периодически расположенные
точечные источники волн
Рассмотрим интересный и весьма важный для практики случай, когда точечные источники волн расположены в виде цепочки. Пусть расстояние между источниками d составляет несколько длин волн и разность фаз колебаний равна нулю.
d
Применим ту же технику рассуждений, что и для случая тесного (непрерывного) расположения точечных источников. Рассмотрим сначала нормальное к цепочке направление.
На достаточно большом удалении от источников узкий (несколько расстояний между источниками) участок фронта кольцевой волны можно считать плоским (прямолинейным). Колебания от отдельных источников, расстояния до которых примерно одинаковы, будут происходить в выделенной области наблюдения в фазе, усиливая друг друга. В этом направлении будет распространяться плоская волна.
q
Но есть направления, в которых распространения волны происходить не будет. Попробует догадаться, каким может быть такое направление.
Будем постепенно увеличивать угол q. При этом в достаточно удаленной от цепочки источников области наблюдения станет нарастать разность фаз колебаний, вызванных разными источниками. Пусть при некотором значении угла q будет выполняться условие
;,
где N - количество источников в цепочке. Если расстояние между источниками d порядка нескольких l и количество источников велико (например, более ста), значение угла q будет очень маленьким. На рисунке этот угол показан достаточно большим, правдоподобно маленьким изобразить его нам не удастся.
При этом условии колебания от первого источника волн и от источника с номером N/2 в области наблюдения будут происходить в противофазе, погасят друг друга. Колебания от второго источника будут погашены колебаниями от источника с номером N/2+1 и т.д. Следовательно, такая цепочка будет излучать волну в пределах чрезвычайно малого угла ±q. Мы получим практически плоскую волну.
Однако, при выбранной нами величине расстояния d порядка нескольких длин волн это не будет единственным направлением распространения волны и, соответственно, потока энергии. Действительно, если выполняется условие
,
где k - целое число, то колебания от отдельных источников в области наблюдения будут происходить с разностью фаз 2pk, т.е. будут складываться, усиливать друг друга. В этих направлениях, как и в направлении нормали к линии расположения источников (q = 0), будет распространяться примерно плоская волна. Эти направления называют направлениями на главные максимумы k-того порядка.
Большим значениям k соответствуют большие разности расстояний до области наблюдения. Естественно, эта разность (разность хода) не может стать больше чем d. Поэтому максимальное значение порядка максимума k определяется условием
.
Для получения узкого пучка радиоизлучения используется антенна с расположенными в ряд дипольными излучателями. Если создать некоторую разность фаз колебаний соседних осцилляторов, направления главного максимума нулевого порядка будет отличаться от нормали (этот эффект мы обсуждали для тесного, непрерывного расположения точечных источников). Таким способом может быть осуществлено изменение направления радиоизлучения (сканирование) без поворота антенны.
3.5. Расчет углового распределения
потока энергии от системы источников
3.5.1. Непрерывное распределение источников
X
b
dx
0
DL q
В случае возбуждения волн на поверхности воды такое расположение точечных источников, колебания которых происходят в фазе, обеспечивается вертикальными колебаниями параллельного поверхности воды стержня. Рассмотрим излучение, вызванное колебаниями стержня конечной длины, равной b.
Положение точечного источника определяется его координатой x, амплитуда колебаний пропорциональна dx. Чтобы найти амплитуду колебаний в удаленной от стержня области наблюдения необходимо провести сложение колебаний от всех источников (интегрирование по отрезку 0b):
.
У нас получилось довольно громоздкое “многоэтажное” выражение, в смысле которого нам надо разобраться. Во-первых, из этого выражения видно, что, как и должно было быть, в некоторой области (точке) наблюдения происходят колебания с частотой w и некоторой начальной фазой. В выражение для амплитуды этих колебаний входит множитель x0. В принципе, он может быть выражен через амплитуду колебаний вблизи стержня с помощью закона сохранения энергии. Но он не представляет для нас особого интереса, как и начальная фаза колебаний. Нужное же нам угловое распределение потока энергии определяется множителем
.
0 q 0 q 0 q
В числителе этого выражения стоит синус знаменателя. Поэтому, если знаменатель обращается в нуль при q = 0, будет A = 1. При изменении q в пределах ±p/2 величина периодически принимает нулевое значение и затем достигает максимумов. Величина модуля A в максимуме по мере увеличении модуля q уменьшается, поскольку синус от некоторой величины изменяется медленнее, чем сама эта величина. Вид зависимости при разных отношениях b/l представлен на рисунке.
3.5.2. Излучение пары точечных источников
Ранее мы рассматривали суммарные колебания от системы точечных источников в некоторой достаточно удаленной области наблюдения. При этом мы не определяли, по сравнению с чем это удаление велико. Собственно, рассматривая параллельные лучи, мы неявно считали, что область наблюдения находится на бесконечности.
Рассмотрим теперь колебания от уединенного источника в точках плоскости, отстоящей от него на большое, но конечное расстояние l. При этом мы ограничимся небольшим по сравнению с l смещением точки наблюдения от точки падения перпендикуляра, проведенного от источника волн S к плоскости, при малых значениях x.
X
l x
S q DL
xS
l q/2
Проведем от источника волн отрезок прямой в точку наблюдения с координатой x и перпендикуляр к оси координат. Величина xS - это x-координата источника. Мы получили прямоугольный треугольник. Отложим от точки расположения источника вдоль гипотенузы треугольника отрезок длиной l и соединим конец этого отрезка с точкой xS, точкой падения перпендикуляра. Угол при вершине построенного таким образом равнобедренного треугольника, а основание составляет с осью 0X угол q/2. Таким образом, разность хода лучей
.
Соответственно, разность фаз колебаний в этих точках
.
В этом выражении - разность x-координат точки наблюдения и источника волн.
X
x
S’
d 0
S”
Полученное выражение является для нас вспомогательным. Применим его для решения задачи об амплитуде колебаний, созданных двумя точечными источниками, расположенными на расстоянии d друг от друга и на расстоянии l от плоскости наблюдения.
Разность фаз колебаний, созданных нашими источниками в точке x,
.
В круглых скобках записаны разности x-координат точки наблюдения и источников волн. После возведения в квадрат мы получаем:
Dj
x
x0
.
Произведем сложение этих колебаний с помощью векторной диаграммы. Фаза результирующих колебаний нас не интересует, а амплитуда
принимает максимальные значения 2x0 в точках, отстоящих друг от друга на
(при изменении аргумента косинуса на p). Центральный максимум наблюдается при x = 0.
3.5.3. Излучение цепочки периодически
расположенных источников
d q
Пусть теперь у нас имеется N точечных источников волн, отстоящих один от другого на расстояние d порядка нескольких длин волн. В достаточно удаленной от цепочки источников области наблюдения вызванные соседними источниками колебания будут происходить с разностью фаз
.
На векторной диаграмме представляющие колебания от соседних источников векторы будут повернуты по отношению друг к другу на такой угол.
j/2 x
Nj/2
R j
x0
Эти векторы образуют ломаную, вписанную в окружность радиуса R. Если амплитуда колебаний от одного источника в области наблюдения равна x0, то
и для амплитуды суммарных колебаний мы получаем выражение:
.
При q = 0 будет j = 0 и x0S = Nx0 - векторы расположены вдоль прямой, поскольку разность фаз колебаний от соседних источников равна нулю. Но при больших значениях N уже при малых q (и, соответственно, j) амплитуда суммарных колебаний обращается в нуль:
;.
Таким образом, в направлении j = 0 будет распространяться практически плоская волна.
Но будут и другие направления распространения практически плоских волн. Для этих направлений должны выполняться условие
; -
разность расстояний до некоторой (любой!) точки достаточно удаленной области наблюдения должна равняться целому числу длин волн. При такой разности хода векторы на фазовой диаграмме вновь выстроятся вдоль прямой.
Этот результат мы получили ранее, но теперь мы можем просто определить направления ближайших к данному максимуму k-того порядка минимумов. Для минимумов должны выполняться условия
.
Эти выражения справедливы при
;
(выполняется первое условие), причем (выполняется второе условие). При таких значениях k’ разность хода от соседних источников равна целому числу волн:
, k = 0,1,2...
и наблюдаются максимумы излучения.
x0S
0 q
На рисунке показана зависимость амплитуды колебаний от угла q. Линии настолько узки и дополнительные максим столь малы, что их на рисунке не видно. Кривая получена для количества источников N=200 и отношения d/l=3,5.
Обратите внимание: при увеличении модуля q расстояние между линиями увеличивается. Это обстоятельство в дальнейшем будет для нас существенно.
Лекция 4
4. Законы геометрической оптики
4.1. Прямолинейность распространения света.
Принцип Ферма
Физика в разных своих разделах часто занимается вопросами весьма несхожими. В частности оптика никак не представляется логическим продолжением предыдущих разделов, которыми мы с Вами занимались. И хотя свет представляет собой электромагнитную волну, разговором о которой мы закончили предыдущий раздел “Электричество и магнетизм”, вопросами электромагнитной природы света мы будем заниматься не слишком много, нас скорее будет интересовать собственно волновая природа света, а не то, что это волна электромагнитная.
В свою очередь мы не станем подробно говорить об оптике геометрической. Но основные ее законы, видимо, обсудить необходимо. Первым из них является закон прямолинейности распространения света. Выглядит он чрезвычайно простым - между двумя точками свет распространяется вдоль прямой. И достаточно естественно возникает вопрос такого рода: “А как же иначе?”
Действительно, такой “способ” распространения света кажется более чем естественным. Но в дальнейшем возникнут достаточно серьезные трудности для понимания - когда мы встретимся с отклонениями от этого закона. Да и едва ли Вам часто приходилось наблюдать прямолинейное распространение волны - прямолинейность распространения и волновая природа, пожалуй, представляются скорее несовместимыми. Разве что такие два примера.
Примерно плоскими являются морские волны, рожденные ветром и пришедшие к нам с очень большого расстояния. Большое расстояние и плоский характер волны представляются неразрывно связанными. И еще такой пример. Возможно, в кинофильмах о войне Вам случалось обратить внимание на непривычную для современного взгляда форму “динамиков” (тогда они назывались репродукторами) - этакая плоская “тарелка”. В те времена еще не было создано мощных источников звука и достаточно хорошая слышимость достигалась за счет создания по возможности узко направленной в нужном направлении плоской звуковой волны, амплитуда колебаний которой слабо уменьшается с расстоянием.
Прежде всего следует подробнее поговорить о том, что именно мы понимаем под направлением или путем распространения света. Важным здесь оказывается понятие луча. Часто говорят, что, например, солнечный луч можно легко увидеть в слегка запыленном затемненном помещении, если свет проникает в него через небольшое отверстие. Или в тени дерева мы можем видеть отдельные солнечные “зайчики” - места падения лучей, прошедших через промежутки между листьями кроны дерева. Такой “наблюдаемый” луч оказывается прямолинейным и о его отражении и преломлении обычно идет речь при постановке экспериментов.
Но мы знаем, что свет имеет волновую природу и более строго лучем называется кривая (прямая в частном случае), проведенная перпендикулярно касательным к фронтам волны в разных точках. Это уже достаточно абстрактное понятие, то, что мы можем увидеть в слегка запыленной комнате, лишь приблизительно соответствует такому пониманию луча.
A *
* B
Итак, если нет никаких препятствий и среда однородна, то луч света прямолинеен. На рисунке мы соединяем точки A и B прямой и говорим, что свет распространяется вдоль этой прямой. Изображенные пунктирными отрезками касательные к фронтам волны перпендикулярны лучу. Сами фронты не обязательно плоские.
Заметим, что фронт волны образуют точки, в которых фазы колебаний одинаковы. (Вспомним также, что фазой называется аргумент гармонической функции.) Обычно рисуют линии пересечения плоскости рисунка фронтами, на которых достигается максимум амплитуды колебаний. В таком случае говорят о гребнях волн.
Вдоль прямой расстояние между двумя точками минимально. Оказывается, что и в других случаях, когда, например, имеется отражающая поверхность, путь распространения света оказывается таким, что вдоль него время движения волны минимально. Это утверждение называют принципом Ферма - в простейшей, можно сказать, первоначальной формулировке. Эту формулировку нам еще предстоит в дальнейшем уточнять.
4.2. Отражение света. Плоское зеркало
Отражение света происходит на границе сред с различными (фазовыми) скоростями распространения волны. Особый интерес представляет собой граница металл - вакуум. Внутри металла распространение света, вообще говоря, невозможно.
Рассмотрим процесс отражения света от зеркальной металлической поверхности подробнее.
Сложности при анализе оптических явлений возникают из-за сложности самих процессов. По мере углубления их анализа нам будет необходимо учитывать все больше разного рода тонкостей и особенностей. К таковым относится, например, поляризация света.
Мы говорили, что электромагнитная (световая) волна называется поперечной - в ней колеблющееся электрическое поле направлено перпендикулярно лучу, перпендикулярно направлению распространения света. При этом возникает достаточно много разных возможностей изменения направления вектора электрического поля вдоль луча света, типов поляризации. Простейшим является случай линейно или плоско поляризованного света, когда направление вектора в некоторой точке или вдоль направления распространения остается неизменным. Им мы пока и ограничимся. Более того, будем считать вектор направленным перпендикулярно плоскости чертежа, параллельно поверхности зеркала. В этом случае (согласно граничным условиям для вектора электрического поля) вблизи зеркальной поверхности равно нулю, что существенно упрощает наши рассуждения. А рассуждения наши будут такими.
В направлении от точки A к точке B’ распространяется электромагнитная волна, встречающая на своем пути металлическое зеркало. Под действием электрического поля в металле возникает ускоренное (колебательное) движение электронов, и в результате возникает вторичное излучение. Результирующая волна (или волны) есть результат сложения (суперпозиция) волны, пришедшей от точки A, и волны, которая излучается электронами зеркала. Эта последняя такова, что справа от зеркала электрическое поле равно нулю - колебания этих двух волн противоположны по фазе, они “гасят” друг друга.
A A’
a1
a2
C
B B’
Вспомним результат, который мы получили для излучения цепочки непрерывно расположенных точечных источников - при линейном изменении фазы колебаний вдоль цепочки излучение происходит под некоторым отличном от p/2 направлении. При “косом” падении волны на поверхность зеркала фаза колебаний электронов, естественно, изменяется от точки к точке - расстояния от источника света до этих точек различны. Поэтому и вторичная волна, излучаемая колеблющимися электронами, направлена под некоторым углом к норамали к поверхности зеркала. И именно под тем, под которым она на него падает.
Можно быть уверенными, что справа и слева от зеркала излучение колеблющихся электронов симметричны. Излучаемая вправо волна гасит исходную волну, а излучаемая влево как раз и является волной отраженной. Как мы видели, фаза этой волны должна быть противоположна фазе волны падающей.
Волну, идентичную отраженной, мы могли бы получить поместив в точку A’ такой же источник света как в A, но излучающий волну с противоположной фазой. И этом случае в плоскости зеркала (в плоскости симметрии) напряженность электрического поля равна нулю - такие волны “гасят” друг друга в плоскости симметрии, в плоскости зеркала. Амплитуда электромагнитных колебаний равна нулю.
При взаимодействии электромагнитной волны с веществом с этим последним взаимодействует именно электрическое, а не магнитное поле. Поэтому, если из точки A’ происходит излучение волны с противоположной фазой и мы просто уберем зеркало, картина колебаний не изменится.
В связи с изменением фазы колебаний при отражении от зеркала на p вводится новый для нас термин - “потеря полуволны”. Он будет достаточно понятен, если вспомнить, что при распространении волны в отстоящих на l/2 точках колебания происходят в противофазе.
Закон отражения утверждает, что при отражении света луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к поверхности зеркала в точке отражения лежат в одной плоскости. При этом угол падения равен углу отражения - a1 = a2. Этот закон можно считать следствием принципа Ферма: длина ломаной ACB, равная длине отрезка A’B, представляет собой минимальный путь между точками A и B для распространения света с отражением от зеркала. При смещении точки отражения C вверх или вниз длина пути увеличивается.
4.3. Сложение гармонических колебаний
E
0 x
Из всех разнообразных видов волн мы ограничиваемся здесь лишь волнами, которые представляют собой процесс распространения гармонических или почти гармонических колебаний. Нам придется достаточно много заниматься сложением большого числа колебаний и потому представляется полезным еще раз вспомнить о сущности используемого метода - метода векторных диаграмм.
Сначала посмотрим, как могут быть представлены или описаны волновой процесс и происходящие при этом колебания.
На рисунке представлен график зависимости напряженности электрического поля световой волны от координаты. Естественно, это график зависимости E(x) в некоторый момент времени. Эту картинку следует представлять себе движущейся со скоростью света вдоль оси OX. Если по оси абсцисс будет отложено времени, тот же график будет представлять собой колебания электрического поля в некоторой точке.
E0
wt+j
Такие способы представления волны достаточно наглядны, но неудобны для сложения колебаний или волн. Для этих целей часто используется представление колебаний в виде векторной диаграммы.
Предположим, что в некоторой точке происходят колебания по закону E = E0cos(wt+j). Эти колебания можно представить таким способом.
E0
ji
j
Нарисуем некий вспомогательный вектор длины E0 таким образом, чтобы его угол с осью абсцисс при t=0 был равен j. Если мы теперь будем вращать вектор с угловой скоростью w, его проекция на ось абсцисс будет равна E0cos(wt+j), т.е. будет представлять собой наше колебание.
Предположим теперь, что в некоторой точке происходит несколько колебаний вида Ei=E0icos(wt+ji). Для прямого нахождения их суммы нужно решить достаточно сложную тригонометрическую задачу. Но векторная диаграмма позволяет достаточно просто решить эту проблему геометрически.
Для этого достаточно нарисовать векторы длиной E0i так, как это показано на рисунке. Легко найти сумму этих векторов - обозначим длину суммарного вектора E0, его угол с осью абсцисс в начальный момент времени j. Поскольку проекция суммы векторов равна сумме их проекций, при вращении суммарного вектора со скоростью w его проекция на ось абсцисс будет представлять собой сумму колебаний Ei.
При практическом использовании векторной диаграммы обычно “забывают” о том, что вектора вращаются: определив длину суммарного вектора E0 и начальную фазу j, можно записать выражение для суммарных колебаний:
.
Таким образом, тригонометрическая задача сводится к задаче геометрической, которая обычно оказывается проще, а результат - более наглядным.
Но то обстоятельство, что этот вектор вращается, в некоторых задачах неожиданно становится существенным и приходится вспоминать об этом вращении.
Применим этот метод для анализа отражения волны от плоского зеркала. Предположим, что в точке A находится некоторый источник света. В разных точках зеркала (C и C’, например) колебания электронов будут происходить с разными начальными фазами. С разными фазами будут происходить и колебания электрического поля в точке B, вызванные колебаниями расположенных в разных точках электронов.
Разность фаз этих колебаний определяется разностью длин ломаных ACB и AC’B. Обозначим их как L и L’. Тогда разность фаз колебаний
.
A Z
C’
C
B
Здесь c - скорость света, Dt - разность времен распространения света вдоль ломаных AC’B и ACB, время запаздывания одного сигнала по отношению к другому. Появление знака “минус” связано с тем, что вдоль ломаной AC’B волна проходит большее расстояние, в сложении участвуют колебания волны, излученной в более ранний момент времени.
Длина ломаной ACB минимальна. Поэтому при прохождении луча через эту точку
.
Это означает, что при малом смещении от точеи C вверх или вниз фаза колебаний в точке B из-за колебаний отдельных электронов остается примерно одинаковой, амплитуды соответствующих колебаний складываются. Но при отклонении точки от положения z = 0 (точки C) производная dt/dz и, стало быть, будет возрастать по модулю и “скорость” изменения (модуль производной) будет тем больше, чем сильнее отличается значение координаты z от нуля. На векторной диаграмме это проявляться в быстром изменении разности фаз колебаний (в точке B), вызванных даже близко друг другу расположенных электронов. Соответствующие векторы E0i на диаграмме поворачиваются и при больших значениях z собираются в тесный “клубок”, т.е. дают все меньший вклад в суммарное колебание напряженности электрического поля в точке B.
Так вот, при рисовании векторной диаграммы необходимо решить, в какую сторону поворачивать векторы, отвечающие опережающим по фазе колебаниям. Иначе говоря, выбрать положительное направление отсчета угла, и тем самым - направление вращения вектора.
В механике и электричестве за положительное направления отсчета угла принимается направление против часовой стрелки. Но в оптике традиционно за положительное направление выбирается противоположное направление, по часовой стрелке. Это изменяет вид векторной диаграммы и будет существенно при решении некоторых задач.
В этой связи полезно запомнить такое простое правило для рисования векторных диаграмм: если путь распространения света больше, то соответствующий вектор на диаграмме оказывается повернутым на некоторый угол против часовой стрелки.
Произведем некоторые оценки для конкретного взаимного расположения зеркала, источника света A и точки наблюдения B. Будем считать, что a1 = a2 » 450, а координаты точек zA = 20 см, и zB = -15 см. Нас будет интересовать, при каком смещении точки C фаза электромагнитных колебаний в точке B изменится на p/2.
При такой геометрии длина пути распространения света
и
.
Изменение фазы колебаний на p/2 (и, соответственно, поворот вектора на фазовой диаграмме на такой угол) отвечает разности путей распространения света l/4. Приняв длину волны l = 0,5 мкм, мы получаем:
;
.
Таким образом, согласно нашей оценке заметный вклад в электромагнитные колебания в точке B дают лишь колебания электронов, расположенных на расстояниях меньше ± 0,2 мм в окрестности точки C.
Лекция 5
4.4. Эллиптическое зеркало.
Уточненная формулировка принципа Ферма
A B
Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до некоторых двух точек (фокусов эллипса) постоянна. Благодаря этому зеркало, сечение которого представляет собой эллипс, оказывается исключительно интересным. При отражении от такого зеркала каждый луч, вышедший из фокуса A после отражения попадает в фокус B.
Мы рассматривали отражение от плоского зеркала, тогда путь распространения был минимальным. В случае эллиптического зеркала все пути распространения света одинаковы. Как и в случае плоского зеркала, отраженная волна представляет собой результат излучения колеблющихся электронов, колебания которых вызвала падающая волна Будем считать, что источник волн, излучатель находится в точке A. Но теперь вызванные движением разных электронов электромагнитные колебания в точке B будут происходить с одинаковыми фазами. Векторная диаграмма будет выглядеть иначе - отдельные векторы не будут повернуты один по отношению к другому, будут лежать на одной прямой.
A B
С
Естественно, при таком отражении для каждого луча также будет справедлив закон отражения.
Если кривизна зеркала в точке отражения будет больше кривизны эллиптического зеркала, длина пути распространения (длина ломаной ACB) будет не минимальной, а максимальной. Но отражение в точке C будет происходить так же, как от эллиптического зеркала. Это вынуждает нас уточнить формулировку принципа Ферма: для пути распространения света определяющей оказывается не минимальность, а экстремальность этого пути. Или же длина пути не должна изменяться при смещении точки отражения.
В этой связи можно провести такие более доказательные рассуждения.
B”
A B
С B’
Луч CB проходит также через точки B’ и B”. И если длины разных лучей, приходящих из точки A в точку B одинаковы, такого утверждения нельзя сделать для точек B’ и B”. Соответственно, и векторные диаграммы для сложения колебаний от отдельных электронов в этих точках будут выглядеть иначе - эти векторы не будут выстраиваться по одной прямой, станут скручиваться в “клубки”. Попробуйте самостоятельно разобраться, какая из приведенных на рисунке диаграмм относится к точке B’, а какая к точке B”.
Если Вам понятен смысл векторных диаграмм, Вы поймете и то, что такое различие их вида означает весьма существенное различие амплитуд колебаний в точке B (амплитуда велика) и точках B’ и B” с другой стороны. Говорят, что свет “фокусируется” в точке B, в этой точке находится изображение источника света A.
4.5. Сферическое зеркало
A B
R
C F
2q R/2
D O
Свойством сферического зеркала является то, что после отражения от него лучи собираются в некоторой точке, называемой фокусом зеркала.
Рассмотрим падение плоской волны на сферическое зеркало радиуса R. При этом мы ограничимся рассмотрением отражения параксиальных лучей, расстояние которых от оптической оси на малое расстояние, равное длине отрезка AB
После отражения луч пересечет оптическую ось в некоторой точке F. При малых q будут справедливы выражения:
;,
из которых следует, что фокусное расстояние зеркала OF равно половине радиуса.
Собственно, мы решили задачу о сферическом зеркале. Но более важной задачей для нас является детальное знакомство с процессами излучения, распространения волн. Поэтому поговорим о процесс фокусировки подробнее.
Y
d
q
Ранее мы получили связь между характером изменения фазы колебаний непрерывно расположенных точечных источников при переходе от точки к точке и направлением излучения q:
.
При малых значениях q будет:
.
C
R
a q
O
Применим это выражение к случаю отражения плоской волны от сферического зеркала. Обозначим на этот раз угол падения через a и вместо дифференцирования по y нам нужно будет провести дифференцирование фазы по расстоянию x(a) от точки O.
Почему при переходе от точки к точке вдоль поверхности зеркала изменяется фаза вызванных волной колебаний электронов? Видно, что чем дальше точка падения от центра зеркала, тем меньше путь луча, попадающего в эту точку. Если разность хода равна DL, то для подсчета разности фаз необходимо разделить эту величину на l и умножить на 2p. Таким образом (по модулю),
;.
Теперь мы можем найти зависимость угла направления излучения (по отношению к нормали, радиусу) от угла a:
;.
Мы не получили нового результата. Как и должно быть, в чем мы убедились еще раз, угол отражения q равен углу падения a. Но для нас важно, что этот результат для отражения от сферического зеркала может быть получен и с помощью анализа зависимости фазы колебаний электронов, излучающих вторичную, отраженную волну, от x - расстояния от точки падения луча до оптической оси OC.
4.6. Параболическое зеркало
При отражении от сферического зеркала происходит фокусировка только параксиальных лучей. Попробуем теперь найти такое сечение зеркала, чтобы в его фокусе собирались все лучи независимо от расстояния до оптической оси.
У
F
f
y
x 0 X
Для определения вида сечения зеркала воспользуемся принципов ферма.
Пусть соответствующая кривая описывается функцией y(x), координаты точки падения x и y. Обозначим буквой F фокус зеркала, его координата (фокусное расстояние) - f.
От точки падения луч пройдет до фокуса расстояние
.
Чтобы у всех параллельных лучей была одинаковая длина пути, необходимо чтобы выполнялось условие
-
после пересечения с горизонтальной пунктирной линии до фокуса совпадающий с оптической осью луч пройдет сначала путь y до точки отражения и затем - f в обратном направлении. Этот путь должен быть равен L, Только в этом случае все лучи соберутся в фокусе зеркала.
Таким образом, мы получаем:
;
;
.
Это парабола и, значит, необходимым нам свойством обладает параболическое зеркало.
4.7. Закон преломления света
4.7.1. Скорость света в веществе
Мы с Вами убедились в свое время, что из уравнений Максвелла следует волновое уравнение. Электромагнитные волны с длиной волны примерно в пределах 0,4 ? 0,7 мкм, воспринимаемые глазом, называют светом. И среди множества веществ есть такие, в которых свет может распространяться без заметного уменьшения амплитуды электромагнитных колебаний, прозрачные вещества. Однако, скорость света в веществе отличается от скорости света в вакууме, выражение для которой мы в свое время получили. Повторим теперь проведенные ранее преобразования уравнений Максвелла, но теперь не для вакуума, а для некоторого вещества.
Выпишем уравнения Максвелла для случая отсутствия свободных зарядов и токов проводимости:
Мы будем также использовать выражения
,
считая вещество однородным.
Как и раньше, ограничимся случаем плоской волны, когда электрическое и магнитное поля зависят от одной координаты - от координаты x, т.е. в последующих выражения из производных по координатам отличны от нуля только производные по x:
.
Как видно из этого уравнения,. Это означает, что x - составляющая магнитного поля не зависит от времени. Положим ее равной нулю, поскольку стационарное поле (магнитное как и электрическое) к распространению волны отношения не имеет.
Далее, вектор имеет некоторое направление, и если мы вдоль этого направления направим ось 0Z, то будет и, следовательно, (см. уравнение). Таким образом,
. (*)
Аналогично получим
;
(поскольку ) и
. (**)
Продифференцируем уравнение (*) по координате x, а уравнение (**) по времени:
.
Тогда
.
Мы получили волновое уравнение, и скорость распространения света в веществе. При распространении световой волны с большой степенью точности можно считать m = 1, и скорость света в веществе. Таким образом, для нахождения значения скорости v необходимо знать значение диэлектрической проницаемости e.
Заметим, что на больших частотах, характерных для световой волны, значение e существенно отличается от стационарного, которое входит в уравнения электростатики, и - зависит от частоты. Соответственно, от частоты зависит и (фазовая) скорость распространения световой волны в веществе. В таком случае говорят, что вещество обладает дисперсией.
Самым существенным, что происходит при взаимодействии поля с веществом, это “подвижка” электронов, поляризация молекул. При этом поляризованность оказывается пропорциональной полю, что свидетельствует о квазиупругом характере действующих на электрон “возвращающих” сил. Поэтому при взаимодействии электронов со световой волной будет:
.
Этому уравнению удовлетворяет решение вида. Подставив x в уравнение, получим:
;.
Итак, при смешении под действием электрического поля волны на электрон образуется диполь с моментом p = ex. Обозначив через N концентрацию электронов, мы получим такие выражения для поляризованности, для поляризуемости вещества k и диэлектрической проницаемости e:
;
;.
В зависимости от соотношения между w и w0 и от величины N величина e больше или меньше единицы и даже отрицательной. Соответственно мы должны сказать, что скорость света в веществе
будет либо меньше скорости света в вакууме, либо больше ее, либо мнимой. Эти возможности нам нужно будет обсудить более подробно. А пока сделаем одно уточнение.
В каком-то конкретном веществе входящие в атомы электроны могут иметь различные частоты свободных колебаний w0k, разными могут быть и их концентрации Nk. Все они будут вносить свой вклад в поляризованность вещества и, соответственно, в величину e. поэтому в более общем случае выражение для скорости волны запишется в виде
.
Таким получается выражение для фазовой скорости волны в веществе.
Лекция 6
4.7.2. Преломление света
Преломление луча света происходит при переходе из одной среды в другую. Причина преломления - изменение скорости распространения. Применим для получения закона преломления принцип Ферма.
Пусть скорость распространения света в некоторой среде равна v, в вакууме - c. Обычно скорость распространения света в среде меньше скорости в вакууме. Это означает, что для прохождения некоторого пути l в веществе потребуется несколько большее время
Z
A
a1 z
0 a2 X
B
.
Мы ввели обозначение n = c/v, эта величина называется показателем преломления. Произведение ln называют оптической длиной пути. Для вакуума n = 1. Если n > 1, то время распространения света от точки A до точки B будет уменьшаться при отклонении пути распространения от прямолинейного, причем при таком отклонении, когда длина пути в вакууме несколько увеличивается, а в веществе - уменьшается.
Подсчитаем время распространения света между точками A и B. Пусть (xA,zA) и (xB,zB) - координаты точек, z - координата точки преломления луча. В вакууме и в веществе свет проходит расстояния
и,
время распространения -
.
Согласно принципу Ферма
.
Используя введенное ранее обозначение, мы можем записать закон преломления в виде:
.
Получим теперь закон преломления иначе, анализируя пересечение границы плоской волной.
a1
a1 l0
ln a2
a2
Нарисуем фронты волны таким образом, чтобы они проходили через максимумы напряженности электрического поля при одинаковом их направлении. Они будут совпадать с гребнями волн. Тогда расстояние между фронтами будет равно длине волны света.
Частота колебаний в вакууме и в оптически более плотной среде (n > 1), естественно, одинакова. Значит, длины волны в этих средах различаются так же, как различаются скорости, - в n раз. Это приводит к “излому” фронтов на поверхности оптически плотной среды, причем углы между фронтами и этой поверхностью a1 и a2 равны углам падения и преломления (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами).
Треугольники, в которых отрезки длиной ln и l0 являются катетами, имеют общую гипотенузу. Поэтому,
.
Мы вновь получили закон преломления.
4.7.3. Дисперсия и поглощение света
Полученное нами ранее выражение для скорости распространения света является достаточно грубым приближением. Однако, оно позволяет в принципе понять причину зависимости скорости света от частоты.
Заметим, что удовлетворительное описание зависимости фазовой скорости от частоты полученное нами выражение дает лишь при не слишком малой величине разности w0 и w. Иначе амплитуда колебаний электронов становится слишком большой и некоторые наши утверждения оказываются неверными. Так, мы считали, что при колебании электронов не происходит диссипации механической энергии, что при больших амплитудах оказывается неверным. Кроме того, возникают некоторые проблемы с фазой колебаний.
Мы знаем, что при резонансе разность фаз колебаний вынуждающей силы (электрического поля ) и координаты равно p/2. Это легко понять и запомнить после такого рассуждения.
При резонансе максимальны амплитуда и диссипация энергии. Значит, при резонансе максимальна мощность вынуждающей силы. Для этого необходимо, чтобы сила изменялась в фазе со скоростью:
.
Умножение экспоненты на мнимую единицу как раз и означает изменение фазы колебаний на p/2. В таких условиях не будет пропорциональности между электрическим полем и поляризованностью вещества - они просто не совпадают по фазе, например, обращаются в нуль в разные моменты времени.
X
0
При малых потерях даже при не слишком большом различии w0 и w разность фаз колебаний электрона и электрического поля можно считать равной нулю (при w < w0) или p (при w > w0). Это обстоятельство важно для нас по нескольким причинам.
Зависимость разности фаз от частоты мы в свое время обсуждали. Тем не менее представляется уместным сказать здесь об этом несколько слов.
Рассмотрим этот вопрос на примере движения грузика на пружине. При действии медленно изменяющейся силы (w < w0) наличие грузика, собственно, несущественно - внешняя сила уравновешивается упругой силой деформированной пружины, и в соответствии с законом Гука эта сила пропорциональна смещению грузика. Поэтому изменение координаты, смещение происходит в фазе с силой.>
n
1 w
w01 w02
Более удивительным представляется случай, когда частота вынуждающей силы больше резонансной частоты, когда смещение и сила изменяются в противофазе: не просто понять, почему грузик смещается, например, вверх, тогда как сила направлена вниз, “тянет” его в противоположную сторону. Для этого может быть предложено такое объяснение.
При большой частоте несущественным оказывается наличие пружины. Движение грузика определяется законом Ньютона, т.е. в фазе с силой изменяется ускорение, а это последнее - изменяется в противофазе со смещением.
Общий ход показателя преломления от частоты показан на рисунке. При частотах w01, w02 происходит поглощение света, при частотах меньших или больших этих значений показатель преломления оказывается больше или меньше единицы. Это означает, что скорость распространения волны в веществе оказывается больше или меньше скорости света в вакууме. И это обстоятельство непосредственно связано с фазами колебаний электронов. Сколько-нибудь точный расчет, приводящий к такому результату, провести с нашим уровнем знаний не представляется возможным. Попробуем, тем не менее, понять причины изменения скорости распространения волны хотя бы качественно.
Дело в том, что, вообще говоря, скорость распространения электромагнитной волны и в веществе равна скорости волны в вакууме. Но при этом, проходя некоторый тонкий слой вещества, волна возбуждает в нем колебания электронов. В свою очередь, колебания электронов создают некоторую вторичную волну, которая складывается с волной, приходящей к этому слою. И здесь нам нужно провести достаточно тонкое рассуждение.
Сказанное означает, что за слоем колебания представляют собой сумму двух колебаний: колебаний проходящей волны и другой, “вторичной” волны, излученной колеблющимися электронами. Естественно, мы будем рассматривать (бесконечно) тонкий слой и амплитуда колебаний вторичной волны (бесконечно) мала. Но при этом амплитуда результирующих колебаний должна остаться прежней. Это возможно только в том случае, если эти колебания различаются по фазе на ±p/2. И это приводит к удивительному результату.
dE dE
E’ E
E E”
wt+d-kx wt-d-kx
wt-k’x wt-k”x
Обратимся к векторной диаграмме, которую мы уже неоднократно использовали для сложения колебаний. Пусть на этой диаграмме колебания проходящей волны представлены вектором длиной E, а вторичной волны dE. Как мы выяснили, эти векторы перпендикулярны и на рисунке показаны возможные взаимные расположения этих векторов.
С одной стороны в каждой точке частота колебаний одинакова. Но при переходе от точки к точке изменяется фаза колебаний, изменяется на kDx. Таким образом, для этих колебаний в разных точках слагаемое -kx имеет смысл начальной фазы. Но при распространении света в веществе при переходе от точки к точке мы “подключаем” все новые и новые слои вещества, которые добавляют к начальной фазе колебаний плюс или минус d. Иначе говоря, при одной и той же частоте в веществе при переходе от точки к точке фаза колебаний изменяется либо больше, чем на -kx, либо меньше чем в вакууме. Говоря иначе, волновое число k в веществе другое, не такое, как в вакууме. Поэтому и наблюдаемая фазовая скорость в веществе v = w/k другая, отличная от скорости в вакууме c.
Вспомним еще раз, что мы говорим о частотах, достаточно сильно отличающихся от резонансной, и при этом в зависимости от знака разности w0-w фаза колебаний электронов по отношению к фазе электрического поля принимает либо значение 0, либо - p. Поэтому, в зависимости от w0-w фазовая скорость либо меньше, либо больше c.
4.7.4. Групповая и фазовая скорости света в веществе
Человека, хоть немного сведущего в физике, сильно шокирует утверждение, что скорость света в веществе может быть больше скорости света в вакууме c. Такой человек обычно знает, что согласно теории относительности Эйнштейна скорость c - это максимальная скорость движения физического объекта. Но фазовую скорость нельзя связать с движением какого-нибудь объекта, это лишь скорость движения точки с постоянной фазой колебаний:
.
Иное дело групповая скорость v = dw/dk - она не может быть больше c.
Обратимся к зависимости фазовой скорости световой волны от частоты:
;
и рассмотрим в качестве примера распространение рентгеновских лучей. Для них характерна очень большая частота колебаний, так что в выписанном выражении можно пренебречь частотой w0, величина e < 1. В этом случае>
;.
Запишем выражение для квадрата волнового числа:
и возьмем дифференциал от обеих частей полученного выражения:
.
Таково соотношение между скоростью света в вакууме, фазовой и групповой скоростями. При этом
;.
Таким образом, хотя фазовая скорость электромагнитной волны в рентгеновском диапазоне больше c, групповая скорость оказывается меньше этой величины.
4.7.5. Аномальная дисперсия
Присмотримся внимательнее к выражению для скорости света в веществе:
.
Слагаемые под знаком суммирования велики при частотах w~w0. При резонансной частоте такое слагаемое меняет знак, причем при меньшей по отношению к резонансной частоте фазовая скорость больше скорости света в вакууме, а при большей v < c. Такую зависимость фазовой скорости от частоты называют аномальной дисперсией.>
Нормальная дисперсия наблюдается в промежутке между соседними резонансными частотами w0k и w0k+1. Аномальная дисперсия наблюдается в узком диапазоне частот, это объясняет тот факт, что, как правило, прозрачные вещества обладают нормальной дисперсией.
Для наблюдения дисперсии может быть использована призма, при прохождении которой лучи света отклоняются к ее основанию. При нормальной дисперсии в видимой области показатель скорость распространения красного цвета больше, а показатель преломления больш меньше, чем фиолетового. Поэтому красный и фиолетовый цвета будут наблюдаться в разных точках экрана, как это показано на рисунке.
Кр
Ф
1 2 Y
Кр
Y=Y(n1)
X=X(n2) Ф
0
X
Для наблюдения аномальной дисперсии можно воспользоваться методом скрещенных призм. В этом случае отклонение по вертикали определяется дисперсией одной призмы, а по горизонтали - другой. Выбрав одну из призм такой, что дисперсия ее материала нормальная, мы сможем наблюдать на экране зависимость показателя преломления материала другой призмы от частоты.
Ниже на рисунках показаны получающиеся при этом картинки. И более узкой области аномальной дисперсии происходит сильное поглощение света, что и определяет разрыв наблюдаемой кривой.
Кр ф Кр Ф
Как мы видели, ничего ненормального в аномальной дисперсии нет. Просто в некоторых диапазонах частот показатель преломления увеличивается, а в некоторых - уменьшается. Теперь мы понимаем, почему это так происходит.
Лекция 7
5. Распространение (плоской) волны.
Некоторые “тонкости”
по фронту
j = const
q q излучение при
q = 0
Мне бы хотелось еще раз подчеркнуть, что колебания в некоторой области пространства вызывает колебания в соседних областях, они в свою очередь вновь вызывают колебания и так происходит распространение волны. Рассмотрим на примере плоской волны этот вопрос несколько подробнее.
На рисунке показана плоскость, параллельная фронту волны, распространяющейся направо. Колебания в этой плоскости происходят с постоянной (по осям координат) фазой, и мы выяснили, что в такой ситуации излучение происходит по направлению q = 0. Но таких направлений два - налево и направо. И представляется довольно естественным вопрос: почему волна распространяется только в одном направлении? Почему колебания электрического поля плоской волны в некоторой плоскости, параллельной фронту, вызывает распространение колебаний лишь в одном направлении, в направлении распространении волны? Попробуем ответить на этот вопрос.
4 1 2 3
Dx
X
Рассмотрим некоторую протяженную узкую область, например, в виде цилиндра, ось которой перпендикулярна фронту плоской волны. Выберем в этой области две произвольные точки на расстоянии Dx. В этих точках, как и в любой другой точке внутри выделенной области, происходят колебания вида. При этом разность фаз колебаний j2-j1 = -kDx - мы уже говорили, что для разных точек вдоль оси 0X величина -kx имеет смысл начальной фазы.
Эти точки (области малого объема) являются (не “могут считаться”, а именно “являются”!) источниками волн, распространяющихся во времени колебаний. И эти колебания в точке 3 происходят в фазе, складываются. Действительно, колебания в точке 1 опережают колебания в точке 2 на kDx, но из этой точки колебания до точки 3 распространяются дольше на. Поэтому разность фаз колебаний волн, приходящих в точку 3 из точек 1 и 2
.
Естественно, из точек 1 и 2 колебания распространяются и назад, к точке 4. Но теперь дольше распространяются колебания от точки 2. Поэтому
и всегда найдутся такие две точки, что будет выполняться равенство 2kDx = p, - колебания будут гасить друг друга.
Этим и объясняется, то обстоятельство, что если в некоторой области распространяется плоская волна, то в противоположном направлении распространения колебаний возникать не будет.
6.1. Отражение света на границе раздела двух сред
Рассмотрим несколько подробнее процесс отражения на границе двух сред.
Прежде всего вспомним, что мы говорили при анализе отражения света от металлического зеркала. При падении на поверхность металла волна, естественно, вызывает колебания находящихся в нем электронов. Эти колеблющиеся электроны, в свою очередь, влево и вправо от поверхности излучают плоские волны с амплитудой, равной по модулю амплитуде падающей волны и противоположной по знаку. То, что эти вторичный волны одинаковы следует из соображений симметрии, а изменение знака амплитуды следует из такого элементарного рассуждения. В направлении распространения падающей волны (в металле) волна не распространяется. Но она равна сумме волны падающей и излученной колеблющимися электронами. Значит, их амплитуды противоположны по знаку.
Обратите внимание - мы не анализируем характер движения электронов, не подсчитываем амплитуду их колебаний и амплитуду излучаемых волн и проч. Мы судим о одной из волн по результату сложения другой с падающей волной.
E0 E1^ E1??
E2^ E2??
a a b a b
E0 E0^ E0??
При падении луча света на границу раздела двух сред, когда возможно распространение волны (в отличии от металла) в обеих средах, происходят достаточно сложные процессы. И прежде всего сложности связаны с тем, что процесс отражения происходит по-разному для волн, колебания вектора электрического поля которых происходят перпендикулярно плоскости падения (E0^) и параллельно ей (E0??). Любая волна представляет собой сумму волн с такими направлениями колебаний электрического вектора, но процессы отражения и преломления их мы рассматриваем по отдельности, одновременно их сравнивая.
Введенные обозначения должны быть понятны из рисунка.
Отражение двух компонент с разными направлениями линейной поляризации происходит по-разному. Отраженная волна, как и в случае металлического зеркала, излучается колеблющимися электронами Среды, и их колебания происходят в направлении, перпендикулярном преломленному лучу.
Вспомним особенности зависимости амплитуды излучаемой диполем в перпендикулярной и параллельной направлению его колебаний плоскостях. В первой амплитуда волны не зависит от направления, как это и следует из соображений симметрии. Иначе обстоит дело в параллельной направлению колебаний плоскости.
q q
dE/dq = 0 E = E0cos(q)
Дело в том, что в направлении, совпадающим с направлением колебаний, диполь волну не излучает. Для произвольного направления, составляющим угол q с направлением колебаний диполя, амплитуда колебаний E = E0cos(q). Это будет понятным, если вспомнить, что диполь можно представить как сумму двух диполей - параллельного направлению излучения (амплитуда излучаемой волны нулевая) и перпендикулярного -.
a b
a
Таким образом, в перпендикулярном преломленному лучу направлении и при параллельной плоскости падения поляризации свет отразиться не может: амплитуда отраженной волны в этом случае пропорциональна - угол между преломленным лучем, который направлен перпендикулярно направлению колебаний диполя, и лучем отраженным равен 1800-a-b, и.
Это обстоятельство приводит к любопытному эффекту: при a+b=p/2 отражения света при такой поляризации не происходит. Такой угол падения называется углом Брюстера:
.
Коэффициентом отражения называют отношение интенсивности отраженного луча к интенсивности луча падающего. Они, в свою очередь, пропорциональны квадратам амплитуд колебаний соответствующих волн. Их значения даются формулами Френеля. Мы опустим вывод этих формул, но упомянуть о них необходимо:
;.
Знак ’-’ перед отношениями тригонометрических функций означает, что при отражении от границы с оптически более плотной средой (a>b) отражение происходит с потерей полуволны.
Соответственно, коэффициенты отражения
;.
При a+b=p/2 будет и.
6.2. Полное отражение
До сих пор мы рассматривали падение луча на границу вакуум - некоторое вещество, в вакууме n=1. При падении света на границу раздела двух сред, для которых n1?1 и n2?1 вид закона преломления несколько изменится:
.
При падении света на границу с оптически менее плотной средой (n1>n2) относительный показатель преломления n12a, и если sin(a)=n12, то b=p/2. При дальнейшем увеличении угла a преломленного луча наблюдаться не будет.
Такой предельный угол падения называется углом полного отражения - при таком и больших значениях a коэффициент отражения равен единице.
450
1
2
2’
1’
Явление полного (внутреннего) отражения используется в так называемой обращающей призме. Обычно это прямоугольная призма, угол падения на границу равен a=450. Чтобы происходило полное внутреннее отражение необходимо, чтобы коэффициент преломления n был больше.
При отражении от металлического зеркала мы говорили, что отраженная волна генерируется в результате колебаний электронов металла вблизи поверхности. Но при отражении от поверхности, разделяющей некую среду и вакуум, справа от поверхности электронов нет. Тогда возникновение отраженной волны можно объяснить только таким образом.
Электромагнитное поле проникает правее поверхности отражения, в вакуум, и там происходят электромагнитные колебания. Эти колебания и вызывают появление волны, которая гасит волну падающую (справа от границы отражения), и создает волну отраженную. И вот здесь, для понимания физики отражения оказывается существенным прежнее наше замечание, что при колебаниях электронов причиной излучения является, собственно, не сами колебания электронов, а колебания электромагнитного поля, которые обусловлены колебаниями электронов. В рассматриваемом случае электронов справа от поверхности отражения нет, но есть колебания электромагнитного поля как причина излучения отраженной волны.
Обратимся вновь к отражению световой волны на границе раздела вакуум-металл. В этом случае также происходит проникновение электромагнитного поля за границу отражения - в металл. При этом диэлектрическая проницаемость
.
При таком условии распространения волны наблюдаться не будет. Формально при отрицательном значении e скорость распространения становится величиной мнимой как и показатель преломления n=c/v.
Давайте также формально воспользуемся выражением для фазовой скоростью в случае мнимого ее значения:
.
Вместо действительного волнового числа k в знаменателе теперь стоит мнимая величина ik’. Запишем выражение для колебаний в “волне” при мнимом волновом числе:
.
Мы получили выражение для колебаний, амплитуда которых экспоненциально зависит от координаты. Физический смысл это выражение может иметь только при k’
Металлы часто бывают окрашенными. Мы наблюдаем их в отраженном свете и причина окрашенности отраженного света в том, что при некоторой частоте (частотах) электромагнитные колебания поглощаются в металле. Это согласуется с утверждением, что электромагнитная волна проникает на некоторую глубину внутрь металла. Об этом свидетельствует и то, что (весьма) тонкий слой металла может пропускать свет, коэффициент отражения r тонкого слоя зависит от его толщины. Такое зеркало называют полупрозрачным и оно используется на практике достаточно часто. Коэффициент пропускания такого зеркала равен 1-r зависит от того, как сильно уменьшается амплитуда колебаний. Вспомним еще раз, что в этом выражении k’
Цвет металла в проходяшем свете оказывается дополнительным к цвету, наблюдаемому при его (света) при отражении.
6.3. Затухание волны
При частотах, близких к резонансной, происходит поглощение волны. Сколько-нибудь точный обсчет этого процесса для нас затруднителен. Ограничимся поэтому лишь качественным обсуждением того, что при этом происходит.
Объясняя, каким образом фазовая скорость может быть больше или меньше скорости света в вакууме, мы рассматривали сложение распространяющейся (со скоростью c), так сказать, первичной волны и другой, излучаемой колебаниями электронов некоторого слоя вещества. При этом соответствующая “добавка”, вектор был направлен перпендикулярно вектору. И направление вектора либо совпадало с направлением вращения вектора, либо противоположно. Связано это было со значением разности фаз между вынуждающей силой (действующим на электроны электрическим полем) и смещением электронов. Эти два случая соответствуют разности фаз 0 или p.
При резонансе разность фаз равна p/2. Поэтому вектор оказывается направлен вдоль вектора или составляет с ним некоторый угол, отличный от p/2. В результате изменяется амплитуда колебаний. При затухании волны, поглощении энергии, естественно, должно наблюдаться уменьшение амплитуды.
Соответствующее выражение для затухающей плоской волны можно получить, введя комплексное выражение для волнового числа:
;
.
Мы получили выражение для волны с экспоненциально убывающей амплитудой.
Отметим, что векторы и - это вспомогательные векторы векторной диаграммы, не векторы электрических полей.
Лекция 8
7. Линза
7.1. Фокусные расстояние для сферической поверхности
A b
a s’
O s R O’
B C
n=1 n>1
Рассмотрим прохождение световой волной сферической поверхности, разделяющей вакуум и некоторую среду, например, стекло, показатель которой равен n. Пусть в точке O находится источник света.
Ранее мы получили соотношение между углом излучения (падения) луча света и производной начальной фазы вдоль поверхности раздела двух сред:
.
В данном случае справа и слева у нас разные углы q - это углы падения a и b, и разные длины волн - l0 в вакууме и l в стекле. Прямая OO’ обозначает оптическую ось и мы ограничиваемся параксиальными лучами, т.е. лучами, проходящими через преломляющую поверхность вблизи оптической оси. Это означает, что углы a и b малы.
С учетом этих замечаний мы можем записать:
;.
Здесь h - расстояние точки A от оптической оси.
Из этих уравнений следует:
;.
Собственно, мы здесь записали закон преломления для малых углов
и из него получили выражение, с помощью которого можно подсчитать радиус сферической поверхности, необходимой для того, чтобы вышедшие из точки O лучи собирались в точке O’.
Ограничиваясь лишь рассмотрением параксиальных лучей, мы можем не делать различия между величинами s и s’ с одной стороны и длинами отрезков OB и O’B с другой. Обозначим длины этих отрезков как x и x’.
Устремив теперь величину x к бесконечности (на сферическую поверхность падает плоская волна), мы получим
;.
Иначе говоря, при падении на сферическую поверхность параллельного пучка параксиальных лучей они соберутся в точке O’ на расстоянии x’=f’ от поверхности. Величина f’ называется фокусным расстоянием.
Если мы хотим, чтобы вышедшие из точки O лучи после преломления на сферической поверхности были параллельны оптической оси, нам в полученном выражении нужно положить равной бесконечности величину x’»s’ и тогда
;.
Таким образом, слева и справа фокусные расстояния неодинаковы и различаются в n раз.
С учетом полученных выражений мы можем записать такие соотношения:
или.