В. В. Афанасьев, Е. И. Смирнов

Ученик французской начальной школы на вопрос, “сколько будет 2+3”, ответил: “3+2, так как сложение коммутативно”. Он не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашивают.

В.И.Арнольд

О преподавании математики

Изменения в структуре высшего педагогического образования России, появление средних школ разного профиля: лицеев, гимназий, колледжей и т.п., демократизация общественной жизни имеют в своей основе коренной поворот к гуманистическим позициям функционирования современного образования. Способность и готовность учителя XXI века дать личности возможность получения образования необходимого уровня и глубины на любом отрезке ее жизнедеятельности становится теперь одной из основных тенденций развития современного образования. Современный этап развития среднего образования выдвигает повышенные требования к профессиональной (особенно предметной) подготовке учителя, вооруженного новейшими методиками и технологиями обучения, творчески мыслящего созидателя учебного процесса.

Одной из ведущих задач педагогического процесса подготовки учителя математики средней (полной) школы является преобразование личности студента в учителя-профессионала, способного решать все многообразие задач, связанных с обучением и воспитанием школьников. Улучшение профессиональной подготовки учителя математики требует не только новых, более эффективных путей организации учебно-воспитательного процесса в педвузе, но и пересмотра структуры и содержания математической подготовки студентов, поднятия ее на технологический уровень преподавания и учения.

В немалой степени эта тенденция коснулась преемственности содержания математического образования в среднем и высшем звене, равно как и авторского подхода к развитию теорий, концепций и методов обучения математике. Индивидуализация обучения, дифференцированный подход, использование новейших исследований в психологии, физиологии человека, педагогике для совершенствования процесса обучения, поиск оптимальных условий для усвоения сложного математического содержания требуют от учителя математики не только высокой компетентности в предметной области, но и достаточной подготовленности к самообразованию, к проявлению творческой активности на основе профессиональной идентичности личности учителя и требований профессии.

В современных условиях интенсивного применения математических методов в естествознании, технике и смежных науках, которые непременно находят свое отражение в изменяющихся программах школьного и вузовского математического образования, важной является также проблема более активного включения психофизиологических механизмов целостного восприятия информации личностью обучаемого, развития его математических способностей, мышления и культуры.

Потребности общества в математическом образовании граждан сильно изменились за последние десятилетия. Теория игр и искусственный интеллект, стохастика и теория информации становятся все более доступными для изучения массового исследователя ввиду логики развития самих наук, которые становятся все более значимыми в практическом приложении, но фактически еще не представленными в математическом образовании школьника.

С другой стороны, именно эти новые знания дают мощный мотивационный заряд изучения математических дисциплин и, как следствие, повышение интереса к профессии учителя математики, поскольку математическое образование наиболее приспособлено к развитию качеств мышления, развитию теоретического мышления (сравнение, эвристика, аналогия, интуиция, анализ, синтез и т.п.). Математическое мышление отличают доминирование логической схемы рассуждений, лаконизм, четкая распределенность хода рассуждений, умение выделить главное, способность к обобщению, анализу, синтезу. Не случайно известный математик и педагог А.Я. Хинчин считал, что высокий уровень математического мышления является необходимым элементом общей культуры человека [3].

Математика, являясь дисциплиной естественно-научного цикла, представляет своим предметом методологию и язык других дисциплин, связи между идеализированными объектами, далеко не однозначно отражающими реальную действительность. В этом смысле место математики – особое даже среди дисциплин естественно-научного цикла.

Математика не только способствует появлению нового знания о природе, обществе и человеке, но и находит в родственных науках реальные стимулы для своего развития. Так, развитие теории локально выпуклых пространств в функциональном анализе стимулировалось физическими проблемами квантовой электродинамики и задачами нахождения обобщенных решений уравнений математической физики, теория неограниченных операторов в банаховом пространстве – проблемами квантовой механики, тензорный анализ – проблемами механики упругих сред, теория функций многих комплексных переменных – проблемами квантовой теории поля и т.п.

С другой стороны, в самой математике в последние десятилетия возникли разделы, имеющие относительно самостоятельный предмет и специфические методы исследования: искусственный интеллект и теории массового обслуживания, теория случайных процессов и функциональный анализ, теория игр и математическое программирование, алгебраическая геометрия и теоретико-множественная топология и другие.

Поэтому последствия все более усиливающейся тенденции к фундаментализации математического знания связаны именно с интенсивным применением математических методов в других науках (в том числе гуманитарных), часть из которых непосредственно влияет на жизнедеятельность и социализацию личности в современном мире.

Математический аппарат предназначен, в том числе, и для описания целостных систем, функционирующих в реальном мире; он описывает их структуру и динамику, статику и интегральные характеристики. Глубокие взаимосвязи, выражающиеся в математической модели целого, описываются функциональным анализом и теорией автоматов, алгеброй и теорией случайных процессов, статистическими и вероятностными методами. В то же время математические понятия, теоремы, алгоритмы, доказательства и т.п., будучи математическими объектами педагогического процесса обучения математике, должны приобретать свойства и характеристики целостности как основы сохранения, обработки и переноса информации новому поколению.

В последние десятилетия математика как педагогическая задача испытывает беспрецедентное давление со стороны общественности как по поводу содержания обучения, так и относительно методов ее преподавания. Дело в том, что глубина ее формализации даже в естественных приложениях и следование внутренним закономерностям строения здания математики входят в противоречие как с онтогенезом развития и социализации отдельного индивидуума, так и с потребностями общества по обеспечению своей жизнедеятельности. Поэтому обучение математике и содержание математического образования как в средней, так и в высшей школе должны пересматриваться в направлении большей визуализации, наглядного моделирования и раскрытия социального статуса математики.

Важным обстоятельством при этом является то, что основным средством, способствующим появлению новообразований, является моделирование как высшая форма знаково-символической деятельности, ведущая к появлению нового знания о природе и технологических процессах в производстве, о законах общественного развития и закономерностях мышления, восприятии и памяти человека.

В последние годы усиливается также роль математики как средства гуманизации и социализации образования личности в современном обществе, как необходимого атрибута образовательной парадигмы личности XXI века.

Более того, математика как образовательный предмет все больше рассматривается как гуманитарная (общекультурная), а не естественно-научная дисциплина. Продуктивность мышления и восприятия, развитие предметной речи, логическая полноценность аргументации, развитие умственных способностей могут быть реальным результатом математического образования при условии его разумной организации.

Таким образом, социально-культурная роль математики представляется в следующем виде (рис. 1).

Рис. 1. Личность и математика

В последние десятилетия весь мир с упоением окунулся в море информационных технологий в образовании: мультимедиа, дистанционное обучение, телекоммуникации, графические калькуляторы и т.п. На представительном международном форуме по проблемам математического образования в Греции (Самос, 1998) большинство докладов, сообщений и “круглых столов” в той или иной мере трактовали вопросы внедрения информационных технологий в учебный процесс. Сотни университетов в мире (например, American Distance Education Consortium, в состав которого входят 55 университетов) ведут информационный обмен образовательными программами через Internet, осуществляя подготовку специалистов на основе дистанционного обучения (remote education): по последним данным таких студентов уже сотни тысяч. Но в данной связи необходимо четко расставить акценты относительно возможности профессиональной подготовки учителя: информационные технологии как средство обучения – да, информационные технологии как структурообразующий фактор педагогической системы – да, дистанционное обучение как парадигма в подготовке учителя, альтернативная личности преподавателя, – нет (по крайней мере, на данном этапе развития средств коммуникации и информационного обмена).

В обоснование последнего положения приведем, например, следующие аргументы:

“неуправляемое становление приемов мыслительной деятельности”. Именно этот фактор привел к неудовлетворительным результатам реализации идей программированного обучения (Э. Торндайк, Б. Скиннер, Н. Краудер и др.) в 60–70-х годах XX века. В основе неудач лежал необоснованный перенос принципов научения животных на процесс обучения человека со своими специфическими особенностями. Н.Ф. Талызина видит причины неудач скиннеровского подхода в выборе неадекватной психологической теории, обосновывая использование деятельностной теории учения с получением качественно новых результатов, доказывающих возможность управления становлением рациональных приемов мышления у человека. Однако в данном случае речь уже пойдет о принципах программирования процесса обучения с реальным взаимодействием учителя и ученика [4];

“отсутствие реального (а не интерактивного) взаимодействия учителя с учениками, между учениками”, несущее в себе возможности активизации направленных и взаимообуславливающих полифункциональных факторов адекватного восприятия новой информации: перцептивных, мнемических, эмоциональных, волевых и т.п.;

“нарушение целостности интериоризации” визуально-логического ряда перцептивных образов новой информации ввиду искусственного ограничения поля восприятия и динамики обращения с репертуаром кратковременной и долговременной памяти.

Все вышесказанное относится к вопросу эффективности дистанционной и очной форм обучения и притом в области профессионально-предметного блока подготовки учителя математики; естественно, что увеличение временных периодов для дистанционных форм обучения, равно как и создание специфических дидактических методов и усовершенствование средств коммуникации способны компенсировать отмеченные недостатки.

В то же время, рассматривая математику как педагогическую задачу, приходится сталкиваться с проблемами адекватного представления, различения, становления, устойчивости восприятия и воспроизведения математического знания и выявления специфических особенностей феномена математического мышления во всех трех ипостасях математики (рис. 1), тем более, что в последние десятилетия возникла принципиально новая ситуация, благоприятствующая реальным шагам возрастания интереса к математике, в том числе как педагогической задаче и эффективному средству развития интеллекта школьников и студентов. Этому способствовали, на наш взгляд, следующие факторы:

глубокая озабоченность учеников, родителей, педагогов содержанием математического образования и его влиянием на развитие личности;

демократизация и гуманизация образовательных процессов в школе и вузе, выдвижение на первый план проблем личностного развития школьников, особенно в период формирования онтогенетических новообразований в мышлении;

расширение информационных средств обеспечения учебного процесса: дисплейные классы, Internet, сервисные программные продукты, мультимедиа, дистанционное обучение и т.д.;

интенсивное развитие методологических основ обеспечения педагогических процессов: психология и физиология человека, искусственный интеллект, инженерная психология и психология индивидуальной и совместной деятельности, теория управления и теория образовательных систем и т.д.

Как рассказать школьнику, что большая теорема Ферма (над которой триста лет бились лучшие умы человечества) доказана А.Вайлсом в 1995 году, а трисекция угла и квадратура круга невозможны с помощью циркуля и линейки? Как наиболее эффективно развить мыслительные операции ученика (логику, анализ, синтез, обобщение, конкретизации, аналогии и т.п.) в процессе обучения математике, которая объективно должна являться самым мощным развивающим средством (и что не наблюдается в настоящее время)? Как должна быть отражена в обучении математике ее роль в жизнедеятельности общества и в развитии других наук, в том числе в обосновании космических полетов и безопасности воздушных перевозок? Как показать, что физика – мощный поддерживающий компонент жизнедеятельности и мировоззрения, который без знания и использования математики есть просто наблюдение и эксперимент, а психология без использования статистических методов обработки и анализа экспериментальных данных и моделирования психических процессов есть тенденция к внешней феноменологии и эмпиризму без вскрытия внутренних, сущностных механизмов психических процессов?

Все эти вопросы – только часть необходимого и далеко не разрешенного состояния отдельных проблем школьной математики как в российских, так и в зарубежных образовательных системах.

Анализ образовательных систем школьной математики позволяет выделить в качестве ведущих следующие противоречия:

между целостностью математики как системы научных знаний и ее представлением в школьных учебных планах и программах отдельными дисциплинами: алгеброй, геометрией, началами анализа, стохастикой и другими;

между значимостью и ролью математики в жизни общества, развитии науки и техники и отражением этой функции математики в процессе формирования мотивационной и эмоционально-волевой сферы учения;

между сущностью формируемых в процессе обучения математике знаний, умений, навыков, математических методов и процедур и их реальным формализованным проявлением в педагогическом процессе;

между объективным и интенсивным развитием психических процессов в переходном возрасте (1216 лет) и методами (средствами, технологиями) внешнего воздействия на личность ученика в образовательном пространстве.

Разнообразие педагогических систем и теорий обучения математике создает широкую палитру мирового опыта, ставящего сложные насущные проблемы осмысления и универсализации передовых методических идей и концепций. Взаимопроникновение методологий и эффективный мониторинг образовательных систем в настоящее время еще не соответствуют потребностям в адекватном отражении существа и целостности математических знаний.

Однако некоторые выводы о состоянии математических достижений школьников в разных странах мира можно сделать. Например, в школах Шотландии весь цикл учебных предметов разбивается на 2000 модулей трех типов: общих, специальных, интегративных. Тем не менее исследования, проведенные авторами в рамках Кассель-проекта под руководством профессора Д. Берджеса (Англия) по проблеме математических достижений школьников в различных странах мира (в том числе и в России), дали следующие результаты на репрезентативных выборках и идентичных тестах с интервалом в 1 год (одни и те же школьники):

Таблица 1

Средний прирост показателей по трем тестам: число, алгебра, геометрия

(из расчета 50 баллов за каждый тест)

Страна	Число	Алгебра	Геометрия
Возраст	13+	14+	Прирост	13+	14+	Прирост	13+	14+	Прирост	13+	14+	Прирост
Россия	26,5	31,2	4,7	19,5	29,7	10,2	17	24,5	7,5	63	85,4	22,4
Польша	24	29,2	5,2	16,6	24,9	8,3	13,6	22,4	8,8	54,2	76,5	22,3
Сингапур	33,4	34,6	1,2	23,9	30,7	6,8	18,1	26,9	8,8	75,4	92,2	16,8
Англия	17,6	20,2	2,6	11,3	14,4	3,1	15,4	19,9	4,5	44,3	54,5	16,2
Германия	23,5	26,9	3,4	12,5	17,6	5,1	11,3	17,3	6	47,3	61,8	14,5
Шотландия	18,2	22,1	3,9	8,8	12,7	3,9	14	18,6	4,6	41	53,4	12,4

В обследовании было задействовано 6 школ г. Ярославля с репрезентативной выборкой из 425 школьников 6–8 классов. Им был предложен тест потенциала и дважды (с разницей в один год) три математических теста (число, алгебра, геометрия) достижений, по содержанию покрывающих объем учебного материала 5–8 классов основной школы.

Результаты показывают существенный прогресс российских школьников, несмотря на преимущественное использование традиционных методов обучения. Из таблицы видно, что российские школьники опережают сверстников всех европейских стран как по абсолютным показателям, так и по динамике прироста математической подготовленности даже при условии, что средний возраст наших школьников был несколько ниже, чем европейских. В этих результатах на самом деле нет ничего удивительного: хорошо известны наши традиции в определении объема и насыщенности математической информации для образовательной области “математика”, равно как и хороший уровень профессиональных умений наших педагогов.

Однако в ласкающих глаз цифрах наших успехов есть несколько тревожных тенденций, скрытых от взора даже внимательного и знающего аналитика. Во-первых, конечно же, назрела необходимость в переструктуризации содержания обучения математике (и других образовательных областей!), начиная с 1 по 11 (или 12) классы. До 5 класса математика должна максимально способствовать социализации и развитию личности, создавая необходимый знаниевый фундамент для основной школы. В основной школе математика должна быть универсальной и единой, показывая свою роль и место в жизни общества и использовании в других науках. При этом особое внимание должно уделяться формированию у школьников средствами математики вычислительной и алгоритмической культуры, функционального и модельного мышления. Старшая школа, сохраняя образовательное ядро, должна быть профильной, способной дать углубленную подготовку в различных направлениях: гуманитарном, инженерном, математическом, экономическом и др.

При этом будет, видимо, сокращен общий объем математических знаний и осуществлена их переструктуризация в начальной и основной школах при сохранении и усилении развивающего эффекта. Это может быть достигнуто только за счет использования в практике школы современных теорий и технологий обучения и повышения качества подготовки учителей математики в высших учебных заведениях.

Во-вторых, реальная перегрузка наших школьников возникает не столько во время учебного процесса (который в какой-то мере может контролироваться), а, как правило, во внеучебное время (выполнение домашних заданий, дополнительное образование и т.п.). Иной школьник затрачивает больше времени на домашнее задание, чем на работу в классе. Конечно же, это дает в конце концов образовательный эффект, но за счет личного времени школьника, которое он мог бы использовать для укрепления здоровья, расширения коммуникативных возможностей, повышения культуры.

Данные также свидетельствуют о том, что необходим интенсивный обмен передовым опытом функционирования различных образовательных систем в XXI веке с целью выявления эффективных методов, форм и технологий обучения математике, определения оптимального содержания обучения и формирования математической культуры полноценных членов мирового сообщества.

В то же время в последней четверти XX века наши ученые и педагоги озабочены некоторым падением уровня математического образования в педвузах России. Усугубилась ситуация, о которой знаменитый немецкий математик Ф. Клейн еще в 1924 году писал как о “двойном разрыве” между школьной и вузовской математикой, указывая на необходимость преподавания элементарной математики с точки зрения высшей. И дело не только в реальном уменьшении учебных часов на математику или объективно сложившейся ситуации, когда педвузы обучают основную массу средних по интеллектуальным способностям студентов (средние и низкие значения IQ, что нисколько не умаляет возможности подготовки в будущем хороших, творчески мыслящих учителей математики), а в качестве и действенности усвоения студентами математического содержания, формировании опыта творческой деятельности в сочетании с выработкой ценностных ориентаций, в том, что фундаментальность содержания математического образования еще слабо увязывается с будущей профессиональной деятельностью студентов педвузов.

В связи с этим улучшение профессиональной подготовки учителя математики требует не только новых, более эффективных путей организации учебно-воспитательного процесса в педвузе, но и пересмотра структуры и содержания математической подготовки студентов в направлении оптимизации ее фундаментального и гуманитарного компонентов, поднятия теоретического обоснования дидактических процессов на технологический уровень.

Таким образом, реализуемое в настоящее время математическое образование в педагогических вузах требует серьезных качественных изменений, которые могут определить этап в его развитии в условиях современной России, вступающей в XXI век.

Список литературы

Новиков С.П. Уроки истории. Вопросы истории естествознания и техники. 1997. №1.

Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. М.: Академия, 1998. 288 с.

Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М., 1963. 204 c.

Шадриков В.Д. Психология деятельности и способности человека: Учебное пособие. М.: Логос, 1996. 320 c.