Управление - относится к математической теории управления движением технической системы.
Необходимо написать алгоритм, по которому некоторая система управляется с помощью энергетического воздействия, например : летательный аппарат управляется с помощью рулевой машины. Оказывается создать управление это не очень сложно и это можно сделать интуитивно. Однако создать оптимальное управление чрезвычайно сложно.

Теория оптимизации - это наука о наилучших алгоритмах (управления) созданных по некоторому критерию качества

Критерий качества - создание (абстрактное) некоторой функции риска, которая должна быть в процессе оптимизации минимизированна (экстремальная задача).

Управление бывает оптимальным и квазиоптимальным.
Оптимальное - на бумаге,
Квазиоптимальное - реальное, стремится к идеальному.

Управление бывает :

1) Программное
2) С помощью отрицательной обратной связи

Программное управление – требуется создать программу, которая дает оптимальную траекторию (заложена в ЭВМ) движения некоторой системы.

Пример 1 : Перевод летательного аппарата из точки А в точку В.

Критерий - минимизировать расход горючего.
Для реализации такой задачи создано две системы - Novstar
(США) и Глонасс (Россия), стоимость их очень высока.

Пример 2 : Надо создать такую траекторию, чтобы шарик скатился из точки ‘А’ в точку ‘В’ за минимальное время.

А

А - Оптимальная

В

В траектория

Управление с помощью отрицательной обратной связи

Отрицательной обратной связью - называется передача энергии с выхода на вход некоторой управляемой системой

вх + Система вых

обратная связь
Бывает два вида обратной связи : Положительная ОС и отрицательная ОС.

Отрицательная ОС уменьшает входное воздействие на систему пропорционально выходному отклику (демпфирует систему в целом).

Автоматика - наука изучающая теорию анализа и синтеза

систем управления (корректировка движения, оптимизация переходных процессов) и создание оптимального управления.

Радиоавтоматика - наука, изучающая вопросы управления движением радиотехнических систем.

Структурная схема системы радиоуправления :

Радио- ((( Устройство (-(( Объект (( Датчик приемник Управления Управления

ООС

Радиоприемное устройство - устройство выделения сигнала

по некоторому радиоканалу.

Особенность выделения сигнала состоит в том, что сигнал выделяется на фоне внутренних шумов и помех.

Внутренние шумы - тепловые шумы, которые всегда имеют место в радиоприемном устройстве.

Таким образом в радиоавтоматике случайные процессы изучаются особо (шум, помеха, сама траектория движения)

Устройство управления - как правило - вычислительная сис- тема с приводом и энергетической установкой.

Привод - преобразователь механических колебаний в элек- трические.

Объект управления - некоторая динамическая система.

Динамическая система - система, которая описывается ли- нейными и нелинейными дифферен- циальными уравнениями высокого порядка.

Датчик - устройство, которое измеряет положение летатель- ного аппарата в пространстве.
Глава 1 Стохастическое управление

В случае стохастического управления, управляемые процессы являются случайными (стохастическими). Начальная точка управления А и конечная В не известны. В этом случае сам управляемый процесс описывается стохастическими уравнени- ями, которые, как правило, апроксимируются марковскими процессами.

Примеры систем автоматического управления

Системы автоматического управления можно описать прибли- женно используя линейные или нелинейные дифференциальные уравнения (детерминированный подход без учета шумов).Это было до 60х годов: все подходы были стохастические линейные и нелинейные дифференциальные уравнения.

Пример 1 (детерминированный)

Управление движением космического аппарата в грави- тационном поле земли (задача двух тел).

В геоцентрической системе координат

Z r - расстояние от центра земли

З - центр земли (вся ее масса)

К.А. r К.А. - космический аппарат

X На космический аппарат действует

З притяжение :

Y F2 [pic] ; [pic]

К.А. F2 - управляющая сила

F3 - сопротивление среды

[pic] ; [pic]

Третий закон Ньютона :

F3 F1 [pic]
Если это уравнение спроектировать на оси ко- ординат, то получим следующие три уравнения :

(1) [pic]

(1)- система линейных дифференциальных уравнений 2-го по- рядка, которая описывает движение космического аппа- рата.

Силы U1,U2,U3 - силы управления.

{x(t),y(t),z(t)}[pic] r(t) - траектория

Оказывается, что в зависимости от начальных условий и па- раметров K1,K2,K3 траектория r(t) может быть круговая, эллипсоидная, параболическая.

Пример 2 : Нелинейная система. Описывается нелинейным дифференциальным уравнением.

Генератор колебаний :

Можно показать, что процесс x(t) описывается дифферен- x(t) циальным уравнением 2-го

M порядка с нелинейным членом [pic].

R

C L L [pic]

C Если емкость варьировать, то [pic] может стать ну- лем и тогда мы получим си- нусоидальное колебание: x(t)=a sin((t+()

(автоколебания)
Если [pic]- положительно, то амплитуда колебаний увели- чивается с течением времени.
Если [pic]- отрицательно - амплитуда колебаний уменьша- ется с течением времени до нуля.

Глава 2
Математическое описание систем (детерминированная терия) (идеальный случай)

Линейные системы, которые описываются дифференциальными уравнениями называются динамическими системами.
Если система описывается алгебраическими уравнениями -
- это описание состояния равновесия (статические системы)

По определению [pic]

[pic] (1)

(1)- линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.

Правая часть - это дифференциальное уравнение воз- действия. Если Ly=0 (2) ,то Ly=Px.

(2)- однородное дифференциальное уравнение - описывает линейные динамические системы без воздействия на них. Например колебательный контур.
Правая часть уравнения (1) описывает воздействие на ли- нейную систему или называется управлением.

Ly=x - управление.
Если есть часть Px - то это сложное управление, учитыва- ющее скорость, ускорение.

Передаточная функция линейной системы

От дифференциального уравнения (1) можно перейти к линей- ной системе, т.е. к некоторому четырехполюснику.

Вх W(p) Вых

Этот четырехполюсник можно создать на элементной базе или смоделировать на ЭВМ.
От дифференциального уравнения (1) к W(p) можно перейти двумя путями - используя символический метод и 2-е прео- бразование Лапласа.

[pic] Сивмолический метод Хиви Сайда.
Применив символический метод к (1) получим :

[pic]

[pic] (3)

Формула (3) представляет собой отношение двух полиномов - описание передаточной функции.

Использование преобразования Лапласа

[pic] - преобразование Лапласа, p=j(
Если мы применим преобразование Лапласа к левой части (1) и учитывая, что [pic], получим :

[pic] (4)

X(p) Y(p)

W(p)

Если правая часть передаточной функции простейшая -
[pic], то воздействие обычное. Передаточ- ная функция будет иметь вид :
(5) [pic] , где знамена- тель дроби есть характеристическое уравне- ние.

Пример : Дифференциальное уравнение 2-го порядка описы- вается передаточной функцией :

[pic] (6)
Для нахождения решения дифференциального уравнения снача- ла необходимо решить следующее уравнение :

[pic]
Известно, что дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет решение в виде комплексной экспоненты или действий над ней. (Это зависит от корней характеристического урав- нения). Если корни комплексные, тогда решение будет :
(7) [pic](t+[pic](t)

Если корни (( ( j( решение будет [pic] (7)(

(7) и (7)’ - решение в виде нарастающей или затухающей синусоиды, либо обычной синусоиды, если (=0.

Устойчивость линейных систем

Линейная система полностью описывается передаточной функ- цией, которая представляет собой :

[pic] в комплескной плоскости p=(+j( . Эти полиномы получены из дифференциальных урав- нений путем преобразования Лапласа.
Ставится проблема: как исследовать систему с помощью W(p)
Оказывается, что это проще сделать чем исследовать диффе- ренциальные уравнения. Исследование по W(p) производится с помощью анализа полюсов и нулей.

Полюсом называется то значение корня уравнения в знаменателе, при котором
Q(p)=0.

Количество корней определяется степенью полинома. Если корни комплексно-сопряженные, то в точке, где Q([pic])=0,
W(p)=( - полюс.

Нулями W(p) называются точки на комплексной плоскости, где полином P(p)=0.

Количество нулей определяется порядком поли- нома. j(

( > 0 полюсы

сопряж. пара ( [pic] [pic]

( > 0

[pic]

[pic] - полюсы (корни характеристического урав- нения). Если корни комплексные, то они сопряженные.

Выводы :

1. Если корни характеристического уравнения Q(p) находятся в левой полуплоскости , то система ус- тойчива. [pic]((t(() - решение для комплексных корней.

2. Если ( >0 , то решение будет [pic]((t(().

Система неустойчива.

Расположение нулей определяет корректирующие свойства системы, т.е. оказывают воздействие на переходной процесс

Если нули в левой полуплоскости, то такая система называется минимально фазовой.

Если нули в правой полуплоскости - нелинейно фазовая система.

Если полюсы на мнимой оси, т.е. (=0, то система нахо- дится в колебательном режиме (Система без потерь).

Передаточная функция линейной системы на мнимой оси

В этом случае после преобразований получим:

W(j()=A(()+jB(() -
Передаточная функция есть комплексное число.
Замечание: Не путать с корнями на мнимой оси.

Оказывается очень удобно исследовать W(j()на мнимой оси не с помощью нулей и полюсов, а с использованием комплек- сной передаточной функции.

Комплексная функция :

АЧХ - четная функция: [pic]
ФЧХ - нечетная функция: [pic]

АЧХ

ФЧХ

АЧХ показывает селективность системы по амплитудному спектру.
ФЧХ показывает - какой сдвиг фаз получает на выходе фильтра каждая гармоника.

Замечание: Известно, что спектр сигнала (по

Фурье) удобно представлять в ком- плексной виде, т.е. у спектра есть АЧХ (рас- пределение гармоник по амплитуде от частоты), и ФЧХ (рас- пределение фаз).

Выводы: Комплексное представление спектра или передаточ- ной функции W(p) очень удобно радиотехнике. Это позволяет компактно записать АЧХ и ФЧХ.

Передаточная функция систем радиоавтоматики

1) вх [pic] [pic] (( [pic] вых

Передаточная функция последовательно соединенных звень- ев : [pic]

2)

[pic] Передаточная функция парал- лельно соединенных звеньев:

[pic] вх вых

[pic]

: :

: :

: :

[pic]

3) y(t) Передаточная функция системы x(t) ((((( [pic] (((( с обратной связью:

[pic]

[pic]

Типовые звенья радиоавтоматики

1) Инерционное звено

Передаточная функция :

C вх R вых [pic] ; [pic]

W(() АЧХ

K
[pic]

( (()= - arctgT( ФЧХ

0

(

-45(

-90(

2) Интегрирующее звено

Передаточная функция :

W(() АЧХ W(p)=[pic]

[pic] ; ФЧХ : [pic]

0 (

3) Дифференцирующее звено

C

R

R L

W(() АЧХ Передаточная функция :

W(p)=Kp

АЧХ: W(()=K(

ФЧХ: ((()=[pic]
0 (

4) Форсирующее звено

W(() АЧХ

Передаточная функция:

[pic] [pic][pic]
K АЧХ : [pic]

( ФЧХ : [pic]

0

( (()

[pic]

[pic]

0 (

5) Запаздывающее звено

АЧХ: [pic]=1 Передаточная функция :
ФЧХ: ((()=(t [pic]

((() ФЧХ

АЧХ

1

Запаздывающее звено называется линией задержки, где t=T - время запаздывания ЛЗ. ((()=(T; [pic]

5) Колебательное звено

Передаточная функция:

[pic]

АЧХ [pic] - параметр затухания

[pic]1 - самовозбуждающаяся система

ФЧХ

6) Неминимально фазовое звено

Передаточная функция:

АЧХ при a=b : [pic]

[pic]; W(()=1

ФЧХ при а=b : [pic] АЧХ

ФЧХ

Цифровые системы автоматического управления

Задан процесс: Будем рассматривать про- y(t) цесс y(t) в дискретные мо- менты времени.

Такой процесс называется с дискретным временем.

[pic]

Значения этого процесса в

дискретные моменты :

[pic]

[pic]

[pic] - значения

Существуют два типа процесса с дискретным временем :

1)Процесс с дискретным временем и непрерывным множеством состояний. Это означает, что функция [pic] является непре- рывной ( если это случайный процесс, то [pic] непрерывна в среднем квадратическом).

ПЗС

y(t) Преобразователь [pic] [pic]- непрерывные функции

ПЗС - прибор с зарядовой связью
[pic] - интервал дискретизации во времени (квантование по времени)

Для таких процессов составляются разностные уравнения :

[pic] - 1-е приращение, конечная разность

[pic] - 2-я разность

2) Процесс с дискретным временем и дискретным множеством состояний.

y(t) АЦП [pic]

Процесс 2 отличается от процесса 1 тем, что [pic] записы- вается в цифровом виде - дискретная функция, вся база исследований другая. Квантование идет и во времени и по уровню.

Очень часто делается бинарное квантование 0;1. В этом случае аппаратура сильно упрощается.

Замечание :

1) В первом случае (ПЗС) если y(t)([pic], то выход- ной процесс [pic] , т.е. такой же, но дискрет- ный.

2) [pic] - биномиальное распределение.

Оказывается, если число уровней квантования ( 8,то их можно отождествить с непрерывными системами.

Представление дифференциальных уравнений, описывающих системы автоматического управления конечных разностей

(1) [pic]

[pic] - первая разность, аналог пер- вой производной n - непрерывное время, непрерывное множество состо- яний.

[pic] - аналог 2й производной

.......................................

[pic] - аналог К-той производной
Если это подставить в непрерывное дифференциальное урав- нение то получим следующее :

(2) [pic]

Если подставить в (2) разности, то получим :

(3) [pic] -

- разностное уравнение с дискрентным временем.

Z -преобразования

Аналогичны преобразованию Лапласа. Это очень удобный аппарат для исследования систем с дискретным временем в частотной области. Для этого вместо экспоненты (для упро- щения) вводится [pic]- это есть Z-преобразование. Для того, чтобы ввести Z-преобразование используется сле- дующий прием связи непрерывного процесса X(t)и дискретно- го [pic] (1)
X(1),X(2) - выборка с дискрет-

ным временем

([pic]

[pic]
Рассмотрим преобразование Лапласа :
[pic] (2)
Формально введем новую переменную :

[pic] (3)
Используя (2) и (3) получим

[pic] (4)
(4) - называется Z-преобразования, показывает как перейти от функции с дискретным временем (X(n)) к спектру на Z-плоскости.(Оно проще преобразования Лапласа, но имеет те же свойства и для разных дискретных функций имеются специальные таблицы.

Устойчивость систем с дискретным временем

Системы с непрерывным временем характеризуются передаточ- ной функцией (отношения 2х полиномов), тоже самое в Z-пре образовании, только переменная не p = ( ( j(, a [pic], либо [pic] (на линейной оси)

P-плоскость Z- плоскость
(Система устойчива)

[pic] - окружность, следовательно левая комплексная полу- плоскость легче преобразуется во внутренность круга

Если полюсы передаточной функции находятся во внутреннос- ти круга, то система устойчива, если полюсы находятся на самом круге, то будет колебательный процесс, если вне круга - система неустойчивая.

- устойчивая система - колебательная система

n

- неустойчивая система

n

Глава 3

Нелинейные динамические системы

Нелинейные динамические системы описываются дифференци- альными уравнениями :

(1) [pic], где [pic] - вектор, [pic], [pic]
Если линейные дифференциальные уравнения имеют решения
(экспоненциальные), то для нелинейных дифференциальных уравнений нет общих решений (за редким исключением), но все реальные динамические системы нелинейны, некоторые из них нельзя линеаризировать, как быть ?

Выход : 1) Там,где возможно, делается линеаризация правой части уравнения (1).
Линеаризация - замена нелинейной функции на линейную.

(2) f(x,t)=A(t)x + B(t) + S(x,t)

S(x,t) - мало, им можно принебречь.
Если правая часть (1) не зависит от времени, то система называется автономной [pic]

Линеаризация используется,как правило, для проверки устойчивости системы. Для исследования свойств нелиней- ных динамических систем, обычно используются качественные и численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений. Теория нелинейных уравнений часто называется теорией нелинейных колебаний.

Пример : Нелинейной динамической системы уравнений Вандер

Поля.

[pic]

[pic] - нелинейность.

[pic] = const
Дифференциальное уравнение называется нелинейным, если оно нелинейно относительно разыскиваемой переменной (са- мой переменной или ее производной) (нелинейность из-за квадрата)

Требуется найти решение x(t) .

Существуют численные методы решения таких дифференциаль- ных уравнений ( численные методы рассматриваются на сет- ке с шагом [pic] ) . Решение получается не непрерывное , а дискретное.

Численные методы описыва- t ются в книге: Эльсгольц

‘Теория дифференциальных уравнений и вариационное исчисление’.

U

[pic]

Численный метод Эйлера ( численный метод)

[pic] , [pic] ; [pic]

[pic]
[pic] (5)
Численный метод предназначен для решения не- линейных дифференциальных уравнений.
Берется из апприорных (начальных условий)[pic], подставляется в правую часть уравнения (5) и т.д. Это называется реккурентностью.

Качественная теория решения нелинейных диффе- ренциальных уравнений (в приложении к нелинейным систе- мам)

В отличие от численного метода (Метод Эйлера), который дает решение в 1й точке ( не дает траекторию (нужно де- лать 1000 точек, чтобы получить траекторию)).
Пуан Каре в 19 веке дал качественную теорию решения диф- ференциальных уравнений, она используется для решения не- линейных дифференциальных уравнений в виде некоторого фа- зового портрета (некоторый графический материал, по ко- торому можно анализировать траекторию движения динамичес- кой системы, т.е. фактически получить решение (1-го из решений).

На примере X и Y : y (1) [pic], где [pic] f(x,y) - некоторая нели-

( dy нейная функция

[pic] - нелинейная функция

x
Найти решение означает - найти y=((x) (2), которая удовлетворяет (1).
Пуан Каре развил метод , как найти (2) прямо на плоскости.

Метод изоклин

Если f(x,y)=const, то [pic], а [pic], на кривой f(x,y)=const все производные имеют одно и тоже значение, такая кривая называется изоклиной. (tg(=const, (=const)
Можно вычислить множество изоклин, это множество дает по- ле направлений. Касательная к этому полю и есть решение, т.о. это есть траектория, которую мы разыскиваем.

y Пример1: [pic] ; [pic] y

- решение диф. - изоклина уравнения

x

x

Пример 2: [pic], [pic]
Величина радиуса - значение производной, любая окружность - изоклина.
Решение (касательная к полю направления) -
-есть касательная к векторам, расположенная на изоклинах.

( - изоклина

( решение

[pic] - Уравнение Вандер Поля

x(t) - напряжение на контуре автогенератора, фазовая пе- ременная
[pic] = const - параметр

[pic] - вторая фазовая переменная

Учитывая это имеем :
(1)’ [pic] пусть[pic] = 0

(1)’’ [pic] [pic]

- изоклина

- фазовый портрет

- Решение дифференциаль- ного уравнения Вандер

Поля - окружность

(при [pic] = 0)

Если на входы X и Y осцилографа подать две синусоиды, то получим окружность (фигура Лиссажу), следовательно окруж- ность дает решения синусоидального колебания. x Y

t t

Пусть [pic] ( 0 (см. ур-е (1)’) фазовый портрет будет 2х ти- пов :

Y X(t)

X

t

Выводы :

1) Динамические системы радиоавтоматики описыва- ются дифференциальными уравнениями 1, 2 и бо- лее высокого порядка ( например: колебатель- ная система(солнечная система, автогенератор, полет космического аппарата в поле притяже- ния земли) описывается диф. уравнением 2-го порядка и выше.

2) Линейные динамические системы описываются ли- нейными диф. уравнениями. Линейная динамичес- кая система составленная из R,L,C - цепочек и активных элементов (транзисторов и т.д.).

Любая линейная система путем преобразования

Лапласа может быть представлена в виде пере- даточной функции.(Диф. уравнение преобразует- ся по Лапласу). Передаточная функция записы- вается для удобства в комплексном виде, на мнимой оси p=j( можно найти АЧХ и ФЧХ линей- ной системы. Передаточная функция дает инфор- мацию об устойчивости системы.

3) Нелинейные динамические системы описываются нелинейными диф. уравнениями, в этих системах обязательно есть нелинейность вида ([pic] и др.), общих решений и анализа через переда- точную функцию как правило не существует, по- этому есть два метода : а) численный метод (Эйлера и др.) (восстановле- ние по точкам) б) решение диф. уравнений методом фазового порт- рета (качественная теория). (Это наглядный путь выяснения поведения нелинейной системы)

Стохастические системы

Стохастика - случайность.

Определение: Динамическая система называется стохастичес- кой , если она описывается дифференциальным или разностным уравнением, в правую часть которого входит случайный процесс.

Такую систему можно представить в виде линейного или не- линейного четырехполюсника, на вход которого подается шум

Стохастическая
((t) система X(t)

((t)- шум

X(t)- выходной процесс

Составление модели любой динамической системы должно в реальных условиях(например движение самолета или раке- ты) составляться с помощью предварительных экспериментов над движением реальной системы. (Как правило это диффе- ренциальные или разностные уравнения) и в эти уравнения вставляется некоторый шум, который является случайным процессом.

Для дальнейшего составления модели используется иден- тификация модели на основании эксперимента или экспери- ментальных данных.

Идентификацией называется оценка коэффициентов разност- ного уравнения и оценка параметров шума: дисперсии, мат. ожидания, ковариации и др.

Идентификация служит для того, чтобы реальный процесс и модель были близки.Получив модель мы имеем возможность, используя эту модель, получить близкую к реальной карти- не ситуацию движения системы и создать управление ситуа- цией по нашей модели.

Вывод: Модель нужна, чтобы на ЭВМ научиться проектировать управляемые динамические системы для любых такти- ческих ситуаций, известных из практики.

Правильно созданная модель - это максимум успеха в проек- тировании эффективной систе- мы. После создания и отработки модели стохастической ди- намической системы создается аппаратура по этой модели, которая проверяется на динамическом стенде.

Динамический стенд - 2й этап моделирования реальной ситу- ации уже с аппаратурой.
3й этап состоит в проверке аппаратуры на полигоне.( На борту транспортного или военного средства).

Моделирование случайных процессов с дискретным временем

(1) [pic]- выборка случайного процесса с дискретным временем.
X(t) Процесс (1) в общем виде очень трудно анализировать, этот про- цесс, как правило, получен из эксперимента. Этот реальный процесс обычно аппроксимируется другим процессом, который поз-

[pic] волит нам математически созда- t вать модели, близкие к реально- му процессу.
Такое создание моделей называется - аппроксимацией.
Сам аппроксимирующий процесс называется агрегат.

Марковская аппроксимация случайных процессов

Марковским процессом называется такой процесс, у которого многомерная плотность вероятности факторизуется в следующем виде : [pic]. Некоторые значения фазовых переменных в n-мерном пространстве - это многомерная плотность вероятности

Двумерная плотность Многомерная ФПВ несет всю ин- вероятности формацию о случчайном процес-

W(x,y) се. Больше информации не су- ществует.

Однако использовать эту мно- гомерную ФПВ чрезвычайно сло- жно на практике, поэтому час- то прибегают к некоторым ап- проксимациям процесса :

Y

X

Аппроксимировать - выбрать такие отсчеты процесса в моменты времени [pic], чтобы все [pic] были независимы, тогда многомерная ФПВ факторизуется следую- щим образом: [pic] - факторизация.
Однако при такой факторизации может потеряться информа- ция о случайном процессе. Есть потеря информации для произвольных отсчетов (кореллированность процесса).
Существует 2й способ аппроксимации - марковский способ аппроксимации. Для марковских процессов многомерная ФПВ факторизуется так :

(2) [pic], где [pic] - ус- ловная плотность вероятности.
Факторизация (2) позволяет сильно упростить математичес- кие выкладки в задачах фильтрации и управления.

Определение : Процесс называется марковским, если выпол- няется условие (2)

Оказывается, существует очень много генераторов марковс- ких процессов. Мы переходим к их рассмотрению.

Процессы авторегрессии

Процесс авторегрессии - простой генератор марковского процесса.

1. Односвязная регрессия

(3) [pic]

[pic] - задано. [pic]

[pic] - от генератора белого шума

[pic] - корреляция.

[pic] Если а