Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 1
1) Сформулировать теорему существования и единственности для дифференциального уравнения первого порядка.
2) Какая оценка параметра называется точечной? Приведите примеры точечных оценок.
3) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].
4) Найти общее решение [pic].
5) Чему равны размах и медиана выборки: 0.666, 0.414, -0.011, -0.410,
-1.077, -1.132?
6) Какую систему уравнений называют однородной, неоднородной? Что называется решением системы уравнений?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 2
1) Что называется полным дифференциалом функции?
7) Какая статистика вычисляется по выборке в случае, когда надо проверить гипотезу о равенстве средних 2-х генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, если эти дисперсии неизвестны? Какое распределение она имеет? Если n>20 и значение этой статистики, вычисленное по выборке, равно 2.5, а уровень значимости равен 0.05, какая гипотеза должна быть принята: основная (x=(y или альтернативная ей?
8) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].
9) Найти общее решение [pic].
10) Средняя прибыль палатки составляет 1тыс. рублей в день. Какова средняя прибыль 12-ти палаток?
11) В чем заключается прямой и обратный ход метода Гаусса (на примере)?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 3
1) Дать определение двойного интеграла.
12) По какой формуле вычисляется эмпирический коэффициент корреляции rxy?
13) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].
14) Найти общее решение [pic].
15) Имеются 2 независимые случайные величины ( и (. D(()=2, D(()=5. Чему равна дисперсия величины ((+()/2?
16) Найти ранг матрицы [pic][pic] и вычислить ее определитель.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 4
1) Что называется функцией двух переменных?
17) Как определяется математическое ожидание случайной величины? Какими свойствами обладает математическое ожидание случайной величины?
18) Найти полный дифференциал функции [pic] в точке [pic] (1, 1).
19) Найти общее решение [pic].
20) По выборке объема n=41 найдена выборочная дисперсия S2 =3. Найдите несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
21) Дать определение некоммутативных матриц. Привести пример.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 5
1) Что называется линейным неоднородным разностным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?
22) Дать определение случайной величины хи-квадрат с n степенями свободы
(?2n).
23) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].
24) Найти общее решение [pic].
25) Случайная величина ( – стандартная нормальная величина. Чему для нее равна вероятность попасть в интервал [-2; 2]?
26) Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса (на примере).
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 6
1) Что называется градиентом функции?
27) По какой формуле считается l-ый начальный эмпирический момент? По какой формуле считается l-ый центральный эмпирический момент?
28) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].
29) Найти общее решение [pic].
30) Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [-1,3]?
31) Убедиться, что система [pic]имеет единственное решение, и найти это решение методом Гаусса.
[pic], [pic], [pic].
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 7
1) Какова структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами?
32) Какое распределение имеет эмпирическая дисперсия S2, если выборка произведена из совокупности, имеющей распределение N(a, ()?
33) Найти область определения функции [pic].
34) Найти решение задачи Коши [pic]
35) Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы оказалась равной 1000ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения ламп всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы (=40ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.
36) Дать определение прямоугольной матрицы, транспонированной, симметричной, единичной.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 8
1) Что называется дифференциальным уравнением?
37) Какова формула углового коэффициента и свободного члена ([pic]) МНК прямой? Есть ли связь между МНК прямой и центром тяжести исходной системы точек?
38) Вычислить [pic] где область D - треугольник с вершинами O( 0,0),
A(1,1), B(0,1).
39) Найти общее решение [pic].
40) Величина ( имеет распределение N(a, (). Чему равны математическое ожидание и дисперсия величины [pic]? Какое распределение имеет случайная величина (?
41) Неоднородные системы уравнений. Основные свойства решений. Критерий совместности неоднородных уравнений системы уравнений.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 9
1) Что характеризует производная по направлению?
42) Из какого условия в методе наименьших квадратов ищется по точкам (xi, yi) прямая y=ax+b?
43) Найти градиент функции [pic] в точке [pic][pic]
44) Найти общее решение [pic].
45) Постройте таблицу статистического распределения выборки:
-3, 0, 1, 4, -3, 4, -3, 0, 4, 1. Найдите выборочное среднее.
46) Какое решение системы называют общим, а какое частным? Пример.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 10
1) Что называется частным решением дифференциального уравнения второго порядка ?
47) Что такое реализации и вариационный ряд? Что такое относительная
(эмпирическая) частота значения хi из вариационного ряда?
48) Найти полный дифференциал функции [pic] в точке [pic] (0, 1).
49) Найти общее решение [pic].
50) Найдите сумму квадратов отклонений S от точек (1,1), (1,3) (3,2), (3,4) до прямой y=x/2+1,5.
51) Найти матрицу [pic], обратную к матрице А и с ее помощью решить систему [pic], где
[pic], [pic], [pic].
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 11
1) Что называется разностным уравнением?
52) Какая оценка параметра называется несмещенной? Какая оценка параметра называется состоятельной?
53) Найти производную по направлению функции [pic] в точке [pic] в направлении, составляющем с осью Ox угол в [pic]
54) Найти общее решение [pic].
55) Постройте кумулятивную кривую по сгруппированным данным, n=20
[pic]
56) Найти матрицу А-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему
А [pic]=[pic], где [pic], [pic]= [pic], [pic]= [pic].
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 12
1) Что называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения
II порядка с постоянными коэффициентами?
57) По какой формуле считается эмпирическое среднее [pic] в случае, если в выборке нет повторяющихся значений? По какой формуле считается эмпирическое среднее [pic] в случае, если задана таблица статистического распределения выборки?
58) Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции
[pic].
59) Найти общее решение [pic].
60) Величина ( имеет распределение N(a, (). Чему равна вероятность p{(20 и значение этой статистики, вычисленное по выборке, равно 4, а уровень значимости равен
0.05, какая гипотеза должна быть принята: основная (=(0 или альтернативная ей?
63) Используя полный дифференциал, вычислить приближенно величину [pic].
64) Найти частное решение [pic].
65) По 2-м независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18, извлеченным из нормальных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние, дисперсии и вычислено значение статистики [pic]. Проходит ли на уровне значимости 0,05 гипотеза о равенстве генеральных средних при альтернативной гипотезе Mx?My? (Указание. При n>20 распределение
Стьюдента практически совпадает с нормальным распределением)
66) Действия над матрицами: сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 14
1) Что называется областью на плоскости?
67) Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестного математического ожидания?
68) Найти градиент функции [pic] в точке [pic][pic]
69) Найти общее решение [pic].
70) Величина ( имеет распределение N(a, (). Чему равна вероятность p{(>a+2(}?
71) Сколько решений может иметь система уравнений: [pic]?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 15
1) Дать определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка.
72) Как исправить эмпирическую дисперсию S2, чтобы получить несмещенную точечную оценку s2 для неизвестной дисперсии?
73) Используя полный дифференциал, вычислить приближенно величину [pic].
74) Найти общее решение [pic].
75) Найти выборочное среднее по данному распределению выборки
[pic]
76) При решении однородной системы какие переменные называют свободными, а какие – несвободными? Чему равно число свободных переменных?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 16
1) Каков общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка?
77) Что такое генеральная совокупность и выборка из нее? Что такое объем выборки? Какая выборка называется репрезентативной?
78) Найти градиент функции [pic] в точке [pic] (1, 1).
79) Найти общее решение [pic].
80) Величина ( имеет распределение N(a, (). Чему равна вероятность [pic]?
81) Найти матрицу А-1, обратную к матрице [pic].
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 17
1) Сформулировать достаточное условие наличия экстремума функции двух переменных.
82) Как по таблице статистического распределения выборки строится полигон для дискретных вариационных рядов?
83) Вычислить [pic]где область D ограничена линиями [pic].
84) Найти общее решение [pic].
85) X~N(2,3); Y~N(1,4). Какое распределение имеет их сумма Z=X+Y?
86) Вычислить определитель матрицы А=[pic]методом Гаусса.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 18
1) Что называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка?
87) По какой формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для среднего значения ( нормального распределения в случае, когда среднеквадратическое отклонение распределения ( известно? По какой формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для среднего значения нормального распределения в случае, когда среднеквадратическое отклонение распределения неизвестно?
88) Вычислить приближенно [pic], используя полный дифференциал.
89) Найти общее решение [pic].
90) Данные о прибыли, полученной в течение месяца, за последние 5 месяцев оказались следующими:
[pic]
С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам строится прямая.
Какое значение даст эта прямая для прибыли в марте? (Указание. Для получения этого значения строить прямую не надо).
91) Дать определение системы из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными.
Матричная векторная форма записи системы линейных уравнений.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 19
1) Какова структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения?
92) Чему равно математическое ожидание равномерного распределения на отрезке [a,b], нормального распределения N(a, ()? Чему равна дисперсия величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], величины, распределенной нормально – N(a, ()?
93) Найти производную по направлению функции [pic]в точке [pic] (1, 2) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в [pic].
94) Найти общее решение [pic].
95) Чему равны медианы выборок: -1, 3, 2, 0, +1, -1.0 (n = 7) и -1, 3, 2,
0, 1, 2,0, 3 (n = 8)?
96) Понятие определителя применительно к матрице третьего порядка. Какую величину называют алгебраическим дополнением элемента? Пример.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 20
1) Что называется функцией трех переменных?
97) Какое распределение имеет эмпирическое среднее [pic], если выборка произведена из совокупности, имеющей распределение N((, ()?
98) Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции
[pic].
99) Найти общее решение [pic].
100) Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей плотность распределения [pic]?
101) Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: [pic].
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 21
1) Что называется дифференциальным уравнением второго порядка?
102) Что такое таблица статистического распределения выборки?
103) Найти производную по направлению функции [pic] в точке [pic] (1, 1) в направлении прямой [pic].
104) Найти общее решение [pic].
105) Как изменятся средняя прибыль и среднеквадратическое отклонение прибыли палатки при росте всех цен в 2 раза, если объем продаж сохранится? А если объем продаж при этом в 2 раза уменьшится?
106) Какие однородные системы имеют единственное решение? Пример.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 22
1) Что называется точкой максимума функции двух переменных?
107) Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестной дисперсии?
108) Найти производную по направлению функции [pic] в точке [pic] (1, 1) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в [pic].
109) Найти общее решение [pic].
110) Постройте кумуляту по таблице:
[pic]
Найдите медиану.
111) Основные свойства определителя.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 23
1) Дать определение общего решения дифференциального уравнения второго порядка.
112) Дать определение случайной величины tn, подчиняющейся закону Стьюдента с n степенями свободы. Каким законом можно пользоваться вместо распределения Стьюдента при большом числе степеней свободы?
113) Найти область определения функции [pic].
114) Найти общее решение [pic].
115) В половине наблюдений случайная величина равнялась 1, а в другой половине она равнялась 3. Найдите выборочное среднее и выборочную дисперсию.
116) Дать определение ранга матрицы.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 24
1) Каков геометрический смысл полного дифференциала?
117) Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае одинаковых интервалов?
118) Найти градиент функции [pic] в точке[pic].
119) Найти общее решение [pic].
120) Как следует изменить объем выборки n, чтобы доверительный интервал для математического ожидания сузился вдвое?
121) Даны матрицы [pic] и [pic]. Найти АВ-ВА.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 25
1) Сформулировать необходимое условие существования экстремума функции двух переменных.
122) Как определяется дисперсия случайной величины? Какими свойствами обладает дисперсия случайной величины?
123) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].
124) Найти общее решение [pic].
125) Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:
[pic]
126) Совместна ли система уравнений: [pic]?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 26
1) Что называется стационарной точкой функции двух переменных?
127) Какая связь между величинами называется линейной статистической связью?
128) Исследовать на максимум и минимум функцию [pic].
129) Найти общее решение [pic].
130) Найдите эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом 5-ти учащихся по выборке:
[pic]
131) Сколько линейно независимых решений имеет система: [pic]?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 27
1) Что называется точкой минимума функции двух переменных?
132) Если f(x) – плотность распределения вероятностей, то чему равен [pic]?
Чему равна вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [x1, x2)?
133) Найти полный дифференциал функции [pic]в точке [pic]
134) Найти общее решение [pic].
135) X~N(2,1). Какое распределение имеет величина Y=2X+1?
136) Дать определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 28
1) Что называется производной по направлению?
137) Что такое среднеквадратическое отклонение? Каковы его свойства? Чему равно среднеквадратическое отклонение величины, распределенной нормально
– N(a, ()?
138) Вычислить [pic] где область D ограничена линиями [pic]
139) Найти общее решение [pic].
140) По 2-м независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18, извлеченным из нормальных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние, дисперсии и вычислено значение статистики [pic]. Можно ли считать, что на уровне значимости 0,05 проходит не основная гипотеза о равенстве генеральных средних, а альтернативная ей гипотеза о том, что
М(Х)>M(Y)? (Указание. При n>20 распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным распределением)
141) В каком случае неоднородная система уравнений имеет единственное решение? Пример.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 29
1) Что называется граничной точкой области?
142) Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае неодинаковых интервалов?
143) Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции
[pic].
144) Найти общее решение [pic].
145) Проверьте с (=0.05 гипотезу Н0: (=100 против (?100, если по выборке объема 225 найдено эмпирическое среднее, равное 101, и S2=4.
146) Что называют определителем матрицы. Порядок определителя. Понятие определителя применительно к матрице второго порядка. Пример.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МАТЕМАТИКА (углубленный курс)
Билет № 30
1) Дать определение точки разрыва функции.
147) Как строится полигон по гистограмме интервального вариационного ряда?
148) Найти полный дифференциал функции[pic] в точке [pic].
149) Найти решение задачи Коши [pic]
150) Для нормальной случайной величины Х~N(2,1) найдите вероятность того, что Х