4. Критерий устойчивости Михайлова.
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике
Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

D ( ( ) = ( n + a1 ( n-1 + a2 ( n-2 + ... + an =
0. (13)
Зная его корни ( 1 , ( 2 , ... , ( n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде

D ( ( ) = ( ( - ( 1 ) ( ( - ( 2 ) ... ( ( - ( n ).

(14)

Im Im

0 Re 0 Re

а) б)

Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости : а - для двух корней ( и ( i ; б - для четырех корней ( 1 , ( ‘1 , ( 2 , ( ‘2

Графически каждый комплексный корень ( можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( ( - ( i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что ( = j ( ; тогда определяющей является точка ( на мнимой оси (рис.12,б). При изменении
( от - ( до + ( векторы j ( - ( 1 и j ( - ( ‘1 комплексных корней ( и ( ‘1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + ( , а векторы j ( - ( 2 и j
( - ( ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - ( . Таким образом, приращение аргумента arg( j ( - ( i ) для корня характеристического уравнения ( i , находящегося в левой полуплоскости, составит + ( , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - ( . Приращение результирующего аргумента ( arg D( j ( ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит
( arg D( j ( ) = ( n - m ) ( - m ( = ( n - 2m ) ( .

(15)

- ( < ( < ( для левой для правой полуплоскости полуплоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D ( j ( ) = ( j ( )n + a1 ( j ( )n-1 + a2 ( j ( )n-2 + ... + an

(16) содержит лишь четные степени ( , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому arg D ( j ( ) = - arg D ( -j ( ),
(17) и можно рассматривать изменение частоты только на интервале ( от 0 до
( . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

( arg D( j ( ) = ( n - 2m ) ( / 2 .
(18)

0 ( ( < (
Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

( arg D( j ( ) = n ( / 2 .
(19)

0 ( ( < (
На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).

j V’ j V’

0 U’ 0

U’

а) б)
Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем: а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы
Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.