Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана
Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ” на тему:
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
Выполнил: ст-т гр. АК4-81
Смык В.Л.
Руководитель: профессор
Хабаров В.С.
Реутов 1997 г.
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование
устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание
большинства теоретических исследований сводилось к иследованию
устойчивости.
“Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя
говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С.
Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и
нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых
понятиях и терминах.
Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно
длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего
существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой.
Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют
не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает
логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет
иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны.
(Металлический шар
устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта
прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как
инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается
устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и
той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие
не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым
относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это
отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по
отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала.
Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по
отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать,
устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких
переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой
устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с
логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.
Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система
. x=Ax+b(, (=c’x, (1)
где ( и ( - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим , что для некоторого (, [pic]( ( ([pic] система (1), дополненая соотношением (((((, асимптотически усойчива.
Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе
М([pic]) нелинейностей (((((,t), удовлетворяющих условию
[pic]( ((((t)/( ([pic] (2) достаточно, чтобы при всех (( (((((((( выполнялось соотношение
Re{[1+[pic](((((([pic]W(j()]}>0. (3)
Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы
F((((((([pic]((((((([pic]((( Действительно, как было показано выше, форма
F(j((() имеет вид
F(j((((((Re{[1+[pic]W(j(((((([pic]W(j()]}|(|[pic]
Из этой формулы после сокращения на |(|[pic] следует (3).
В (3) [pic]((( ( [pic](((( Случай, когда либо [pic] (((, либо [pic] (((
рассматривается аналогично.
Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных
критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с
одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он
получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную
характеристику линейной части W(j().
Обозначая комплексную переменную W(j()=z, рассмотрим систему с одной
нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:
Re[(1+[pic]z(((([pic]z[pic])](0, если [pic]((( ( [pic](((( (4)
Re[(1+[pic]z)z[pic]](0, если [pic]((( ( [pic](((( (5)
Re[z(1+[pic]z[pic])](0, если [pic]((( ( [pic](((( (6)
Пусть С([pic]) - облость комплексной плоскости z, определяемая этими
условиями. Граница В([pic]) области определяемая уравнениями получаемыми из
(4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность,
проходящую через точки -1/[pic], -1/[pic] с центром на оси абсцисс, причем
область С будет внутренностью этой окружности, если [pic]>0, т.е. если
нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если
сектор ([pic]) захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ
сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если [pic]=0 или [pic]=0 , то
область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой,
проходящей соответственно через -1/[pic] или -1/[pic]. На рисунке 1
показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов ([pic])
в плоскости (( (. Там же изображены кривые W(j(), (>0 для неособого случая,
расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только
приемлимого расположения хаоактеристик W(j() еще недостаточно для суждения
об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы
линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.
Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы
с любым блоком, вход ( и выход ( которого удовлетворяют для всех t
неравенству
([pic](-()((-[pic]()(0 (7)
[pic]
Рисунок 1, а.
Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.
А Х ([pic] У [pic](P) Z
(-)
G(p) g
Рисунок 2.
Здесь W[pic](p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в
общем случае следущий вид:
W[pic](p)=[pic];
(8)
W(p)=[pic];
Алгоритм регулятора имеет вид: y=([pic]x,
[pic] при gx>0
([pic]= (9)
-[pic] при gx0 где [pic]=
- k[pic] при g[pic]0,
а гадограф (W(j()+1 при [pic][pic] соответствовал критерию Найквиста.
Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде
(4) и (5).
На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса
М([pic]) и годографы W(j(), расположенные таким образом, что согласно (4) и
(5) возможна абсолютная устойчивость. y ^
y=[pic]g ([pic])
[pic]|x| y=[pic]g (при [pic]=0)
[pic] [pic]
>
[pic] 0
“а” “б”
“в” “г”
Рисунок 4.
В рассматриваемом случае (10) при
W[pic](p)=[pic], когда
W(p)= W[pic](p)G(p), G(p)=[pic]p+1, годограф W(j() системы на рис. 5. j
W(j()
(((
[pic]>[pic] [pic][pic] (14)
Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости
по Ляпунову а > 0 , ((t) > 0 и a > c
для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной
устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется
требование
((t) > 0 (15) поскольку, согласно (11) и (13) a=a[pic]=[pic].
Докажем это, используя условия существования скользящего режима
-[pic]k(((t)=c[pic][pic]k
т.е. подставим сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения через
[pic], [pic], [pic], тогда получим
-[pic][pic]([pic]((t)=[pic] ([pic][pic] (16)
Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:
1) при [pic] = [pic], ((t)=0
2) при [pic] > [pic], ((t)>0
3) при [pic] < [pic], ((t)[pic] , то можно сделать вывод, что коректор будет влиять
только на высоких частотах, а на низких будет преобладать [pic], что можно
наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5 - 1.8 можно наблюдать
минемальные значения [pic], это значит что, при этих значениях будет
максимальные значения полки нечувствительности релейного элемента.
Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать на графиках
1.9 - 1.12, особенно при минемальном значении [pic].
Приложение N 1.
Программа для построения годографов на языке программирования
СИ ++.
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color, int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err); void Osi(int Xc, int Yc, int kol); int xmax, ymax; float Kos[]={0.1,1.0},
Ko[] ={10.0,100.0},
Tpr[]={0.01,0.09,0.2,0.5};
void main(void)
{ float P_w, Q_w, w; int driver, mode, err; driver = DETECT; initgraph(&driver,&mode,""); err = graphresult(); if (err!=grOk) {cout