Вариант № 7

[pic]

Задание:

1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.

2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.

3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.

4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.

5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.

1. Вводим новые переменные x ( Ax, y ( By, t ( Tt и переписываем систему:

[pic]

2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы

2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)

2. [pic]

P[pic]

3. [pic]

Q[pic]

3. Характеристики неподвижных точек

Запишем Якобиан нашей системы

[pic]

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений [pic].

а) точка О – сток, как было показано выше; б) точка Р[pic]:

[pic]

Область 1: [pic]

Область 2: [pic]

Точка Р – исток (неуст. узел)

Область 3: [pic]

Точка Р – седло в) точка Q[pic]:

Область 1: [pic]

Область 2: [pic]

Область 3: [pic]

[pic]

Точка Q – исток ( неустойчивый узел)

Кроме того, при поиске собственных значений

Якобиана возникает уравнение

[pic]

Решение уравнения D