Московский Государственный

Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

РЕФЕРАТ

По курсу «Математическое моделирование»

По теме

«Имитационное моделирование системы «Хищник-Жертва»

Выполнил

Гизятуллин Р.Р

гр.МП-30

Проверил

Лисовец Ю.П

МОСКВА 2007г.

Введение

Взаимодействие популяций, взаимодействие хищников и жертв, изменение их численности со временем интересная с точки моделирования задача. Аналитические решения подобных задач были рассмотрены нами на лабораторных работах. Проблема аналитических решений заключается в том, что мы можем сказать сколько будет хищников и сколько будет жертв в определённый момент времени, но не можем сказать как они будут распределены по площади. В данной работе рассматривается модель взаимодействия хищников и жертв на плоскости.

Упрощающие предположения.

Попробуем сопоставить жертве и хищнику некоторый алгоритм (примитивный интеллект), чтобы взаимодействие выглядело как можно более правдоподобным.

Жертвы и хищники за одну итерацию ходят на 1 клетку.

Жертвы находятся на одной клетке пока на ней достаточно пищи.

Если пища заканчивается, то жертва случайным образом переходит на соседнюю свободную клетку.

Жертвы удерживают занятую территорию (т.е. другая жертва не может встать на ту же клетку).

Если рядом нет свободных клеток, то жертва остаётся на текущей клетке.

Хищник видит на расстояние одной клетки и если рядом есть жертвы, то случайным образом съедает одну.

Если рядом нет жертв, то случайным образом встаёт на свободную рядом клетку.

Хищник защищает занятую территорию (т.е. другой хищник не может встать на занятую сородичем клетку)

Если пищи не достаточно, то жертвы и хищники начинают голодать (вплоть до смерти).

Съев жертву, хищник полностью восстанавливает свои силы, а жертва восстанавливает свои силы только на 1 условную единицу.

Хищники и жертвы размножаются по истечении определенного времени (при условии, что с предыдыдуших родов прошёл определённый срок и тот, кто рожает-сыт (голод утолён на 100%).)

Хищники и жертвы не размножаются, если все прилегающие поля заняты.

В соответствии с вышеуказанными предположениями была построена модель, которая даёт визуальное представление о происходящем взаимодействии хищников и жертв. В данной модели можно менять ряд параметров (к сожалению, только при компиляции):

Голод жертв (сколько ходов может без пищи).

Голод хищников (сколько ходов может без пищи).

Сколько травы съедает за ход жертва.

Сколько травы вырастает за ход на клетке (скорость возобновления ресурсов).

Через какое время после родов жертва может снова рожать.

Через какое время после родов хищник может снова рожать.

При запуске программы в соответствующих полях можно ввести начальную численность хищников и жертв.

Для накопления статистических данных программа записывает численности жертв и хищников в следующие файлы D:\\Hicnic и D:\\Gertva.

Анализ модели

Для удобства анализа получаемой информации в программу добавлена функция вывода в файл, которая выводит на каждой итерации количество жертв и хищников.

Вид программы моделирующей взаимодействие

Кроме статистических выводов, данная программа позволяет получить наглядны визуальные результаты:

1. Хищники «разрезают» исходную популяцию на более мелкие популяции, которые некоторое время «развиваются» по отдельности. (Так в реальной жизни происходит накопление в популяциях различий между особями одного вида.).

Развитие двух изолированных друг от друга популяций

2. Хищники всегда следуют за жертвами (большая их часть), а жертвы очень быстро распространяются на те территории, где больше всего съестных ресурсов (травы).

Данный результат хорошо согласуется с жизнью, т.к. «отставшие» хищники обречены на голодную смерть, а переход травоядных с одного на другое место обусловлен истощением кормовых ресурсов.

Следование хищников за жертвами

Данная модель позволяет получить не только наглядное графическое представление, но и получить численности жертв и хищников в каждый момент времени.

Анализ полученных статистических данных.

1. В данной модели выполняется «насыщение» численности

При введении в систему одних жертв. Через некоторое время система приходит в равновесное состояние.

Стабилизация численности жертв к равновесной численности в условиях отсутствия хищников.

Мы получили логистическую кривую. Данный результат можно считать «хорошим знаком». Это говорит о том, что в нашей имитационной модели численность жертв ,при отсутствии хищников, хорошо согласуется с теорией (логистической моделью).

Ограничивающим фактором развития численности становится нехватка корма (травы).

Самопроизвольно выйти из этого состояния система не может.

2. Оба вида выживают.

Проведём небольшой эксперимент: когда в отсутствии хищников система стабилизируется, извне запустим в неё хищника. В результате чего получим:

График зависимости численности жертв и хищников от времени.

Меткой показан момент времени ввода в систему одного хищника. В результате чего система выходит из положения равновесия и начинается процесс колебаний численностей. В данном случае колебания численности достаточно хорошо согласуются с моделью Лотки-Вольтерра. Вид аналитического решения

хищник жертва плоскость модель

График колебаний численности в модели

Лотки-Вольтерра.

В нашей модели наблюдается похожее запаздывание мах численности хищников от мах численности жертв.

Фазовый портрет при этом имеет вид

Где по оси абсцисс отложена численность жертв, а по оси ординат численность хищников.

Данная модель проработала без перерыва три часа (с определённым набором параметров) и всё время в системе происходили колебания численностей.

3. Вымирание хищников

При запуске с другим набором параметров все хищники в системе погибли и были получены следующие результаты

График численности хищников от времени и их полное вымирание

График численности хищников и жертв

На вымирание хищников, система среагировала резким ростом численности жертв и началом стабилизации к некоторому равновесному значению.

4. Вымирание обоих видов

При запуске системы с другим набором параметров были получены следующие результаты (хищники и жертвы вымерли).

График численности хищников

График численности жертв

Совместный график численности

Фазовый портрет

По оси абцисс-численность жертв, по оси ординат-хищников

Выводы

Описанная нами модель очень хорошо согласуется с теорией, но в отличие от аналитических решений она позволяет ещё и посмотреть, как будут вести себя отдельные сообщества, а также как будут распределены хищники и жертвы по площади.

Данная модель может найти применение в обучении студентов по дисциплине «Математическое моделирование», как наглядный пример взаимоотношений в системе «Хищник-Жертва».