Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

§1. Основные понятия

Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Число x называется аргументом функции, множество D — областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.

Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x1 < x2, выполняется условие f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо
“значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться
“значение функции в точке х1”. В нижеследующем определении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “число х”.

Пусть ( — некоторое положительное число. (-окрестностью точки x0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0 -
(, x0 + (), кроме самой точки x0. Принадлежность точки x (-окрестности точки [pic] можно выразить с помощью двойного неравенства

0 < (x – x0( < (.

Число ( называется радиусом окрестности.

§2. Предел и непрерывность функции

Рассмотрим функцию y = x2 в точке x0 = 2. Значение функции в этой точке равно 4.

Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно
[pic] выбрать какое-либо положительное число ( и построить (-окрестность точки y0 = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x0 = 2 (на рисунке 1 эта окрестность имеет радиус () , что если x будет лежать в этой окрестности, то соответствующее значение y, равное x2, попадет в (- окрестность точки y0 = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь угодно малого числа (. Здесь точка x0 = 2 выбрана произвольно. Можно было бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное заключение.

Рассмотрим функцию [pic]. Эта функция не определена в точке x0 = 2.
При x0 ( 2 её можно преобразовать:

[pic].

[pic]
График функции представлен на рисунке 2. Хотя исходная функция не определена в точке x0 = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка y0 = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное число (, можно утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно близко к точке x0 = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x0 = 2, причем радиус этой окрестности зависит от (), то соответствующие значения y попадут в (-окрестность точки y0 = 3. Всё сказанное остаётся справедливым независимо от того, насколько малым выбрано положительное число (.

Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для всех x из (-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в
(-окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для всех x, удовлетворяющих условию

0 < (x – x0( < (, выполняется условие

(y – A( < (.

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой
[pic]

[pic].

Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы функция имела предел в точке x = x0, не требуется, чтобы она была определена в этой точке.
Рассмотрим функцию [pic]. Очевидно, что если x > 0, то y = 2x; если x < 0, то y = –2x; при x = 0 функция не определена.

График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0 предела не имеет.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: [pic].

Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция [pic] не является непрерывной в точке x = 2. Функция [pic] не является непрерывной в точке x = 0.

[pic]Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Приведем свойства предела функции.

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. [pic], если C — постоянная функция.

3. Если существует[pic] и C — постоянная функция, то

[pic].

4. Если существуют[pic] и [pic], то существует [pic], равный [pic], а также существует [pic], равный [pic]. Если при этом [pic], то существует[pic], равный [pic].

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы [pic] ), если для любого положительного числа ( найдется положительное число (, такое что из из условия 0 < x – a < ( будет следовать (B –f(x) ( < (.

Согласно приведенному определению [pic]. Отметим, что обыкновенного предела функция [pic] в точке x = 0 не имеет.

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы [pic] ), если для любого положительного числа ( найдется положительное число ( такое, что из условия 0 < b – x < ( будет следовать (C – f(x)( < (.

Очевидно, что функция [pic] (её график, изображен на рисунке 3) имеет два односторонних предела в точке x = 0:

[pic]; [pic].

Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если

[pic] ([pic]).

Функция [pic] непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.

Для того, чтобы выполнялось равенство [pic], необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

[pic]; [pic]

В дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f(x), определенную на полубесконечном промежутке (х0; (). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

[pic],

если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число M (зависящее от (), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

(f(x) – A( < (.

Пусть теперь функция f(x) определена на полубесконечном промежутке

(–(; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:

[pic],

если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное число M (зависящее от (), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:

(f(x) – A( < (.

Отметим два, так называемых, "замечательных предела".

1. [pic]. Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая [pic] является касательной к графику функции [pic] в точке [pic].

2. [pic]. Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S0 с условием, что через период времени T будет возвращена сумма ST.
Определим величину r относительного роста формулой

[pic]. (1)

Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r на 100.

Из формулы (1) легко определить величину ST:

ST = S0(1 + r)
При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год сумма S0 возрастает в (1 + r) раз, то за второй год в (1 + r) раз возрастает сумма S1 = S0(1 + r), то есть S2 = S0(1 + r)2. Аналогично получается S3 = S0(1 + r)3. Из приведенных примеров можно вывести общую формулу для вычисления роста суммы за n лет при расчете по схеме сложных процентов:

Sn = S0(1 + r)n.

В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая ставка r и количество начислений за год k. Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка Tk составляет [pic] часть года. Тогда для срока в T лет (здесь T не обязательно является целым числом) сумма ST рассчитывается по формуле

[pic] (2)

Здесь [pic] — целая часть числа [pic], которая совпадает с самим числом, если, например, T - целое число.

Пусть годовая ставка равна r и производится n начислений в год через равные промежутки времени. Тогда за год сумма S0 наращивается до величины, определяемой формулой

[pic] (3)

В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST и
S1. Применим эту процедуру к формуле (3):

[pic].

Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r при непрерывно начисляемом проценте сумма S0 за 1 год наращивается до величины S1*, которая определяется из формулы

S1* = S0er. (4)

Пусть теперь сумма S0 предоставляется в долг с начислением процента n раз в год через равные промежутки времени. Обозначим re годовую ставку, при которой в конце года сумма S0 наращивается до величины S1* из формулы (4).
В этом случае будем говорить, что re — это годовая ставка при начислении процента n раз в год, эквивалентная годовому проценту r при непрерывном начислении. Из формулы (3) получаем

[pic].
Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и re:

[pic], [pic].

Эти формулы широко используются в финансовых расчётах.