Міністерство освіти України

ДАЛПУ

Кафедра автоматизації

технологічних процесів і приладобудування

КУРСОВА РОБОТА

з курсу “Математичне моделювання на ЕОМ”

на тему “Розв’язок диференціального рівняння виду апу(п)+ап-1у(п-1)+…+а1у1+а0у=кх при заданих початкових умовах з автоматичним вибором кроку методом Ейлера”

Виконала студентка групи БА-4-97

Богданова Ольга
Олександрівна

Холоденко
Вероніка Миколаївна

Перевірила Заргун
Валентина Василівна

1998

Блок-схема алгоритма

Блок-схема алгоритма

начало

у/=f(x,y) y(x0)=y0 x0, x0+a

h, h/2

k:=0

xk+1/2:=xk+h/2 yk+1/2:=yk+f(xk, yk)h/2

?k:= f(xk+1/2, yk+1/2) xk+1:=xk+h yk+1:=yk+?kh

нет k:=n

да

x0, y0, x1, y1… xn, yn

конец

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции
У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов.
Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка y/=f(x,y) (1) с начальным условием x=x0, y(x0)=y0 (2)
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(хi)(yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).
При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi.

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x0|(a,
|y-y0|(b}удовлетворяет условиям:

|f(x, y1)- f(x, y2)| ( N|y1-y2| (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| ( M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(xn)-yn| ( hM/2N[(1+hN)n-1], (3)

где у(хn)-значение точного решения уравнения(1) при х=хn, а уn- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.
Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой

|yn-y(xn)|(|yn*-yn|.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера более точен.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/=f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n

равных частей. На малом участке
[x0,x0+h] у интегральную кривую заменим прямой

Nk/ y=y(x) линией.
Получаем точку Мк(хк,ук).

Мк Мк/ yk+1 yk

хк хк1/2 xk+h=xk1 х

Через Мк проводим касательную: у=ук=f(xk,yk)(x-xk).
Делим отрезок (хк,хк1) пополам: xNk/=xk+h/2=xk+1/2

yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2
Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную: y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=?k
Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом ?к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда: ук+1=ук+?кh xk+1=xk+h

(4) ?k=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2) yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h
(4)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.

Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk), где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков.
Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена: y/=z z/=f(x,y,z)
Тем самым преобразуются начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.

РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА

Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка: y/=2x-y
Требуется найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2
Начальные условия: у0=1;
Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:
1). x1=0,2; х1/2=0,1; y(x1)=y(x0)+?0h; y(x1/2)=y(x0)+f(x0,y0)h/2; f(x0,y0)=2(0-1=-1 y(x1/2)=1-1(0,1=0,9

?0=2(0,1-0,9=-0,7 y1=1-0,1(0,2=0,86

2). y(x2)=y(x1)+?1h; x2=0,2+0,2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,2+0,1=0,3 y(x1+1/2)=y(x1)+f(x1,y(x1))h/2 f(x1,y1)=2(0,2-0,86=-0,46 y(x1+1/2)=0,86-0,46(0,1=0,814

?1=2*0,3-0,814=-0,214 y2=0,86-0,214*0,2=0,8172

3). x3=0,4+0,2=0,6; x2+1/2=x2+h/2=0,4+0,1=0,5 f(x2,y2)=2*0,4-0,8172=-0,0172 y2+1/2=0,8172-0,0172*0,1=0,81548

?2=2*0,5-0,81548=0,18452 y3=0,8172+0,18452*0,2=0,854104

4).x4=0,8; x3+1/2=x3+h/2=0,6+0,1=0,7 f(x3,y3)=2*0,6-0,854104=0,345896 y3+1/2=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936

?3=2*0,7-0,89=0,5113064 y4=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528

5).x5=1; x4+1/2=0,8+0,1=0,9 f(x4,y4)=2*0,8-0,956=0,64363472 y4+1/2=0,956+0,643*0,1=1,020728752;

?4=2*0,9-1,02=0,779271248 y5=0,956+0,7792*0,2=1,11221953

2. Дано уравнение второго порядка: y//=2x-y+y/

Находим решение на том же отрезке [0,1] c шагом h=0,2;

Замена: y/=z z/=2x-y+z

Начальные условия: у0=1 z0=1

1).x1=0,2; x1/2=0,1 y(z1)=y(z0)+?0h z(x1,y1)=z(x0,y0)+?0h

y(z1/2)=y(z0)+f(z0,y0)h/2 z(x1/2,y1/2)=z(x0,y0)+f(x0,y0,z0)h/2 f(z0,y0)=f10=1 f(x0,y0,z0)=f20=2*0-
1+1=0 y1/2=1+1*0,1=1,1 z1/2=1+0*0,1=1

?0=z0=1 ?0=2*0,1-
1,1+1=0,1 y1=1+0,2*1=1,2 z1=1+0,2*0,1=1,02

2).x2+0,4; x1+1/2=0,3 f11=z1=1,02 f21=2*0,2-
1,2+1,02=0,22 y1+1/2=1,2+1,02*0,1=1,1 z1+1/2=1,02+0,22*0,1=1,042

?1=z1+1/2=1,042 ?1=2*0,3-
1,302+1,042=0,34 y2=1,2+1,042*0,2=1,4084 z2=1.02+0,34*0,2=1,088

3).x3=0,6; x2+1/2=0,5 f12=z2=1,088 f22=2*0,4-
1,4084+1,088=0,4796 y2+1/2=1,4084+1,088*0,1=1,5172 z2+1/2=1,088+0,4796*0,1=1,13596

?2=z2+1/2=1,13596 ?2=2*0,5-
1,5172+1,13596=0,61876 y3=1,4084+1,136*0,2=1,635592 z3=1,088+0,61876*0,2=1,211752

4).x4=0,8; x3+1/2=0,7 f13=z3=1,211752 f23=2*0,6-
1,636+1,212=0,77616 y3+1/2=1,636+1,212*0,1=1,7567672 z3+1/2=1,212+0,776*0,1=1,289368

?3=z3+1/2=1,289368 ?3=2*0,7-
1,7568+1,289=0,9326008 y4=1,6+1,289*0,2=1,8934656 z4=1,212+0,93*0,2=1,39827216
5).x5=1; y4+1/2=0,9 f14=z4=1,39827216 f24=2*0,8-
1,893+1,398=1,10480656 y4+1/2=1,893+1,398*0,1=2,0332928 z4+1/2=1,398+1,105*0,1=1,508752816

?4=z4+1/2=1,508752816 ?4=2*0,9-
2,03+1,5=1,27546 y5=1,893+1,5*0,2=2,195216163 z5=1,398+1,275*0,2=1,65336416

3. Чтобы решить уравнение третьего порядка y///=2x-y-y/+y// на отрезке [0,1], с шагом h=0,2 и начальными условиями y0//=1 y0/=1 y0=1 необходимо сделать 3 замены: y/=a y0/=a0=1 y//=a/=b y0//=b0=1 b/=2x-y-a+b

1).x1=0,2; x1/2=0,1 y(a1)=y(a0)+a0h y(a1/2)=y(a0)+f10h/2 a(b1)=a(b0)+?0h a(b1/2)=a(b0)+f20h/2 b(x1,y1,a1)=b(x0,y0,a0)+?0h b(x1/2,y1/2,a1/2)=b(x0,y0,a0)+f30h/2 f10=f(a0,y(a0))=1 y1/2=1+1*0,1=1,1 f20=f(b0,a(b0))=1 a1/2=1+1*0,1=1,1 f30=f(x0,y0,a0,b0)=-1 b1/2=1-1*0,1=0,9

?0=a1/2=1,1 y(a1)=1+1,1*0,2=1,22

?0=b1/2=0,9 a(b1)=1+0,9*0,2=1,18

?0=2*0,1-1,1-1,1+0,9=-1,1 b(x1,y1,a1)=1-
1,1*0,2=0,78

2).x2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,3 f11=a1=1,18 y1+1/2=1,22+1,18*0,1=1.338 f21=b1=0,78 a1+1/2=1,18+0,78*0,1=1,258 f31=2*0,2-1,22-1,18+0,78=-1,22 b1+1/2=-1,22*0,1+0,78=0,658

?1=a1+1/2=1,258 y2=1,22+1,258*0,2=1,4716

?1=b1+1/2=0,658 a2=1,18+0,658*0,2=1,3116

?1=2*0,3-1,338-1,258+0,658=-1,338 b2=0,78-1,338*0,2=0,5124

3).x3=0,6; x2+1/2=0,5 f12=a2=1,3116 y2+1/2=1,47+1,3*0,1=1,60276 f22=b2=0,5124 a2+1/2=1,3116+0,5*0,1=1.36284 f32=2*0,4-1,47-1,31+0,512=-1,4708 b2+1/2=0,4-1,4*0,1=0,36542

?2=1,36284 y3=1,4716+1,3116*0,2=1,744168

?2=0,36542 a3=1,3116+0,3654*0,2=1,384664

?2=2*0,5-1,6-1,36+0,365=-1,60018 b3= 0,51-1,60018*0,2=0,192364

4).x4=0,8; x3+1/2=0,7 f13=1,384664 y3+1/2=1,74+1,38*0,1=1,8826364 f23=0,192364 a3+1/2=1,38+0,19*0,1=1,4039204 f33=2*0,6-1,7-1,38+0,19=-1,736488 b3+1/2=0,19-1,7*0,1=0,0187152

?3=1,4039204 y4=1,74+1,4*0,2=2,0249477

?3=0,0187152 a4=1,38+0,9187*0,2=1,388403

?3=2*0,7-1,88-1,4+0,0187=-1,8678416 b4=0,192-1,87*0,2=-0,1812235

5).x4=1; x4+1/2=0,9 f14=1,388403 y4+1/2=2,02+1,388*0,1=2,16379478 f24=-0,1812235 a4+1/2=1,4-
0.181*0,1=1,370306608 f34=2*0,8-2,02-1,388-0,18=-1,9945834 b4+1/2=-0,18-1,99*0,1=-
0,38066266

?4=1,3703 y5=2,02+1,37*0,2=2,2990038

?4=-0,38066 a5=1,388-
0,38*0,2=1,3122669

?4=2*0,9-2,16-1,37-0,38=-2,114764056 b5=-0,181-2,1*0,2=-0,6041734

Программа на Turbo Pascal

uses crt,pram,kurs1_1; var yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array [0..10] of real; y,a,b:array[0..10,0..1] of real; i,n,o:integer; c,d,h,k:real; label lap1; begin screen1; clrscr; writeln('введите наивысший порядок производной не больше трех '); readln(n); if n=0 then begin writeln('это прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера '); goto lap1;end; writeln('введите коэффициенты {a0,a1}'); for i:=0 to n do readln(l[i]); if (n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then begin writeln('деление на ноль'); goto lap1; end; writeln('введите коэффициент при x'); readln(k); writeln('введите отрезок '); readln(c,d); o:=5; h:=abs(d-c)/o; writeln('шаг=',h:1:1); writeln('задайте начальные условия y(x)= '); for i:=0 to n-1 do readln(v[i]); if n=3 then begin yx[0]:=v[0]; ay[0]:=v[1]; by[0]:=v[2]; p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3]; x[0]:=c; gotoxy(32,1); write(' '); gotoxy(32,2); write(' x y a b '); gotoxy(32,3); write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ',by[0]:7:7,' '); for i:=0 to o-1 do begin x[i]:=x[i]+h/2; y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*by[i]; b[i,1]:=by[i]+(h/2)*p[i]; ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3]; xy[i]:=x[i]+h/2; yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1]; ay[i+1]:=ay[i]+h*b[i,1]; by[i+1]:=by[i]+h*ff[i]; x[i+1]:=x[i]+h/2; p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3]; end; for i:=0 to o-1 do begin gotoxy(32,4+i); write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[i+1]:7:7,'
',by[i+1]:7:7,' '); end; gotoxy(32,4+o); write(' '); end; if n=2 then begin x[0]:=c; yx[0]:=v[0]; ay[0]:=v[1]; p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2]; gotoxy(32,1); write(' '); gotoxy(32,2); write(' x y a '); gotoxy(32,3); write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' '); for i:=0 to o-1 do begin x[i]:=x[i]+h/2; y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i]; a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*p[i]; ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2]; xy[i]:=x[i]+h/2; yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1]; ay[i+1]:=ay[i]+h*ff[i]; x[i+1]:=x[i]+h/2; p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1])/l[2]; end; for i:=0 to o-1 do begin gotoxy(32,4+i); write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[I+1]:7:7,' '); end; gotoxy(32,4+o); write(' '); end; if n=1 then begin x[0]:=c; yx[0]:=v[0]; p[0]:=(k*x[0]-l[0]*yx[0])/l[1]; for i:=0 to o-1 do begin x[i]:=x[i]+h/2; y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*p[i]; xy[i]:=x[i]+h/2;

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1])/l[1]; yx[i+1]:=yx[i]+h*ff[i]; x[i+1]:=x[i]+h/2; p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1])/l[1]; end; gotoxy(32,1); write(' '); gotoxy(32,2); write(' x y '); gotoxy(32,3); write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' '); for i:=0 to o-1 do begin gotoxy(32,4+i); write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' '); end; gotoxy(32,o+4); write(' '); end; lap1:readln; pramo; delay(10000); clrscr; end.

ЗАПУСК ПРОГРАММЫ НА ВЫПОЛНЕНИЕ

Программа находится в файле kursova1.pas, и имеет 2 модуля, в которых содержатся заставки. Модули находятся в файлах pram.tpu и kurs1_1.tpu.
Для запуска файла kursova1.pas в Turbo Pascal необходимо нажать F9.
Появится первая заставка, далее нажать enter и ввести все необходимые начальные условия: порядок производной, коэффициенты при членах рада, отрезок и начальные значения у(х0). На экране выводится шаг вычисления и таблица с ответами. После нажатия enter выводится вторая заставка, после чего мы возвращаемся к тексту программы.

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

1 – ввод данных, используемых в программе
2 – использование метки, очистка экрана, ввод требований, решение дифференциального уравнения в зависимости от ввода начальных условий
3 – присвоение начальных условий для дифференциального уравнения третьего порядка
4 – вывод таблицы со значениями
5 – ввод формул метода Эйлера для уравнения третьего порядка

6 – присвоение начальных условий для решения дифференциального уравнения второго порядка
7 – вывод таблицы для уравнения второго порядка
8 – формулы метода Эйлера для уравнения второго порядка

9 – начальные условия для дифференциального уравнения первого порядка
10 – формулы метода Эйлера для решения уравнения первого порядка
11 – вывод таблицы
12 – обращение к метке, задержка для просмотра результатов, очистка экрана, конец программы.