МИНИСТЕКРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА на тему

“Приближенное вычисление определенного интеграла

при помощи квадратурной формулы Чебышева”

Студента 2-го курса: Полякова Е.В.
Научный руководитель: Куприна Л.А.

Днепропетровск 2000г.

Содержание.

1. Общая постановка и анализ задания.

1.1. Введение

1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа

1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников

1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)

1.5. Квадратурная формула Чебышева

2 . Решение контрольного примера

3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.

4. Заключение и выводы.

5. Список литературы.

6. Листинг программы. Вывод на экран.

1. Общая постановка и анализ задачи.

1.1. Введение.

Требуется найти определенный интеграл

I = [pic]

по квадратурной формуле Чебышева.

Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.

Известно,[pic] что определенный интеграл функции [pic] типа [pic] численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y=[pic] (Рис. 1).

[pic]

Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница
[pic]= F(b) - F(a) где

F’(x) = f(x)

Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления.
Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла [pic]по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a, b].

Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными .

Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида

[pic]

где xk - выбранные узлы интерполяции;

Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но

не от вида функции (k=0,1,2,........, n).

R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.

Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения.
При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n) xo= a; xn= b; h= (b-a)/n ; и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,......,n)

1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа

Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти

[pic]

По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом
Ln(x). Тогда

[pic]

где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:

[pic]
Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:
1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x);
2.для полинома степени n последняя формула точная.

Пологая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:

[pic]

где
[pic]
(k=0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN.

Определитель системы есть определитель Вандермонда

[pic]
Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома
Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским.
Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул :

1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников.
Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой примем за приближенное значение интеграла

y

0 a b x рис 1.3.1 Криволинейная трапеция

[pic]

Рис. 1.3.2. Метод трапеций.

[pic]

Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников.

По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая- либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей — для метода трапеций:

[pic], для метода средних прямоугольников:

[pic].

1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)

Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... ,xn=b с шагом

[pic]

Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4]
... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения

(1=y1+y2+ ... +y2m-1

(2=y2+y4+ ... +y2m

получим обобщенную формулу Симпсона:

[pic]

Остаточный член формулы Симпсона в общем виде:

[pic]

где (k I (x2к-2,x2к)

1.5. Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим квадратурную формулу вида:

[pic]

функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=ao+a1x+...+anxn . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах

f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n

f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n

f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n

. . . . . . . . . . . . . . . .

f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn

получим формулу Чебышева.

[pic]

Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Значения х1,х2,..,хn для различных n.
| n | I | ti | n | i | ti |
|2 |1;2 |( 0,577350 | 6 |1;6 |( 0,866247 |
|3 |1;3 |( 0,707107 | |2;5 |( 0,422519 |
| |2 | 0 | |3;4 |( 0,266635 |
|4 |1;4 |( 0,794654 | 7 |1;7 |( 0,883862 |
| |2;3 |( 0,187592 | |2;6 |( 0,529657 |
|5 |1;5 |( 0,832498 | |3;5 |( 0,321912 |
| |2;4 |( 0,374541 | |4 | 0 |
| |3 | 0 | | | |

2. Решение контрольного примера

[pic]

где a=0 ; b= [pic]; при n=5;

f(x) = sin(x);

[pic]

[pic]

| i| xi | yi |
|1 | 0,131489 | 0,131118 |
|2 | 0,490985 | 0,471494 |
|3 | 0,785 | 0,706825 |
|4 | 0,509015 |0,487317 |
|5 | 0,868511 |0,763367 |

x1= (/4+(/4*t1=(/4+(/4(-0,832498)=0,131489

x2= (/4+(/4*t2=(/4+(/4(-0,374341)=0,490985

x3= (/4+(/4*t3=(/4+(/4*0=0,785

x4=1- x2=1-0,490985 = 0,509015

x5=1- x1=1-0,131489=0,868511

y1=sin(x1) = sin(0,131489)=0,131118

y2=sin(x2) = sin(0,490985)=0,471494

y3=sin(x3) = sin(0,785)=0,706825

y4=sin(x4) = sin(0,509015)=0,487317

y5=sin(x5) = sin(0,868511)=0,763367

[pic]

I = (/10(0,131118+0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) =

=(/10*2,560121=0,8038779.

3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.

Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы xi

Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yi

Процедура CHEB - используя массивы xi и yi, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.
Процедура TABL - это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов
(аргумент - функция)

При запуске программы нужно ввести границы интегрирования.
После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем высчитывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h.
После этого используем процедуры FORM и CHEB .
Получив результат, выводим таблицу ( процедура TABL ) и интеграл.

4. Заключение и выводы.

Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.

Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом.

5.Список литературы:

1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“

2. Крылов В.И. “Приближенные вычисления интегралов“ - М. : Физмат.

3. Демидович и Марон “Основы вычислительной математики“

4. Копченова и Марон “Вычислительная математика в примерах и задачах”

5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ
ЕС. Минск.: 1989 г.
6. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.
7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.

6. Листинг программы.

Программа написана на языке Tubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг: program integral;

uses crt;

const n=5; k=-0.832498; l=-0.374541; z=0.0;

type aa=array[1..n] of real;

var x,y:aa; a,b,h,ich:real;

{ заполнение х-сов в массив х[5] }

procedure vvod(var a,b:real;var c:aa); var i:integer; t:aa;
Begin t[1]:=k; t[2]:=l; t[3]:=z; t[4]:=l; t[5]:=k;

for i:=1 to n-1 do c[i]:=((b+a)/2+(b-a)/2*t[i]); for i:=n-1 to n do c[i]:=1 - c[n+1-i]; end;

{ заполнение y-ков в массиве у[5] }

procedure form(var x:aa; var y:aa); var i:integer;
Begin for i:=1 to n do y[i]:=sin(x[i]); {функция} end;

{ процедура для расчета интеграла по квадратурной формуле Чебышева }

procedure cheb(var y:aa;var ich:real); var i:integer;
Begin

ich:=0; for i:=1 to n do ich:=ich+y[i]*h; end;

{ процедура вывода таблицы}

procedure tabl; var i:integer;
Begin writeln(' ___________________________________ '); writeln('| i | t | x | y |'); writeln(' ___________________________________ '); writeln('| 1 |',k:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|'); writeln('| 2 |',l:9:6,'|',x[2]:9:6,' |',y[2]:9:6,'|'); writeln('| 3 |',z:9:6,'|',x[3]:9:6,' |',y[3]:9:6,'|'); writeln('| 4 |',l:9:6,'|',x[4]:9:6,' |',y[4]:9:6,'|');

writeln('| 5 |',k:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|'); writeln(' ___________________________________ '); end;

Begin

clrscr; writeln(' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я'); writeln(' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А '); writeln; writeln('Введите границы интегрирования a,b:'); readln(a,b); vvod(a,b,x); h:=(b-a)/n; writeln('h=',h:9:6); form(x,y); cheb(y,ich); tabl; writeln('I=',ich:8:6);

end.

Вывод результата :

П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я
О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А

Введите границы интегрирования a,b:
0 1.5708 h= 0.314160

____________________________
| i | t | x | y |

____________________________
| 1 |-0.832498| 0.131556 | 0.131177|
| 2 |-0.374541| 0.491235 | 0.471716|
| 3 | 0.000000| 0.785400 | 0.707108|
| 4 |-0.374541| 0.508765 | 0.487099|
| 5 |-0.832498| 0.868444 | 0.763325|

____________________________

I=0.804383

----------------------- y-f(x)

B

A