Министерство образования Российской Федерации

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

РЕФЕРАТ на тему:

“МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”

Выполнил: студент гр. МХТ-02

Казаков Василий Васильевич

Проверила:

Абрамова Ирина Михайловна

Магнитогорск 2003

Содержание

1) Гармонические колебания

2) Затухающие колебания

3) Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

4) Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна [pic]. Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

Пусть ( означает удлинение пружины в данный момент, а (ст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда (=(ст+х, или (-(ст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению:
Fупр=-с(, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.

[pic]

Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= с(ст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим (-(ст через х, получится уравнение в виде:

[pic] или, обозначив с/m через k2,

[pic] (1)

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение:

[pic] имеет мнимые корни [pic], соответственно этому общее решение

[pic]

Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на [pic], получим:

[pic]

Если положить

[pic] [pic] [pic] то

[pic] (2)

График гармонических колебаний имеет вид:

[pic]

Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент [pic] — фазой колебания. Значение фазы при t=o т.e. величина [pic], называется начальной фазой колебания. Величина [pic] есть частота колебания. Период колебания [pic] и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/(ст = mg/(ст, то для периода можно получить также формулу:

[pic]

Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:

[pic]

Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=x0 и скорость (=(0. Тогда [pic] [pic], откуда

[pic], [pic]

Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости ((0=0) амплитуда А=х0, а начальная фаза (=(/2 и, таким образом,

[pic] или [pic]

Затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают- ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.

Решение

К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха [pic] (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости (). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид

[pic] или если положить [pic], [pic], то

[pic] (3)

Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

[pic] имеет корни

[pic] (4)

Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда [pic]. Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить [pic], то корни (4) имеют вид [pic]. Тогда общее решение можно записать в виде

[pic] или, преобразовав, умножая и деля на [pic], получим:

[pic] положим, что

[pic] [pic] [pic], тогда

[pic] (5)

График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид:

[pic]

Если заданы начальные условия: [pic] при t = 0, то можно определить А и (. Для этого находим

[pic] и подставляем t = 0 в выражения для [pic]и [pic] получим систему уравнений

[pic]

Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим

[pic] откуда

[pic] или [pic] а [pic]

Так как

[pic] то

[pic]

Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии- тельно, амплитуда колебания [pic] зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем [pic] при [pic].

Период затухающих колебаний определяется по формуле

[pic]

Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным [pic] или [pic]. Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания.

Частота колебаний [pic]в этом случае меньше, нежели в предыдущем
([pic]), но, как и там, не зависит от начального положения груза.

Если сопротивление среды велико и [pic], то, положив [pic], получим корни (4) в виде [pic] Так как [pic], то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид

[pic] (6)

Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае [pic], когда общее решение имеет вид

[pic] (7)

Легко заметить, что в обоих последних случаях при [pic] имеем

[pic].

Если заданы начальные условия [pic] и [pic], то в случае, когда [pic], имеем [pic], а [pic]. Решая эту систему относительно [pic] и [pic], получим

[pic], [pic] и, следовательно

[pic]

[pic]

В случае же, когда [pic], получаем [pic], [pic] и следовательно,

[pic]

Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.

Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна [pic]. На груз действует периодическая возмущающая сила [pic] где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.

Решение

Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение

[pic]
Полагая, как и прежде, [pic] и, кроме того, [pic] перепишем уравнение в виде

[pic] (8)

Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению
(8), является (1). Поэтому [pic]; остается найти х. Если предположить, что
[pic], то частное решение х, нужно искать в виде [pic], где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

[pic][pic]

Производя вычисления, получаем

[pic] [pic] откуда М=0 и [pic] Полученное таким образом частное решение

[pic] (9) определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю- щей силой [pic]. Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на (, если k