ВВЕДЕНИЕ

Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.

Быстро растущее использование вычислительной техники требует развития вычислительных алгоритмов для решения широких классов задач. Но что надо понимать под «решением» задачи? Каким требованиям должны удовлетворять алгоритмы нахождения « решений »?

Классические концепции и постановки задач не отражают многих особенностей встречающихся на практике задач. Мы покажем это на примере.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Az=u,

где z — искомый вектор, и — известный вектор, А ={aij} — квадратная матрица с элементами aij.
Если система невырожденная, т. е. detA ? 0, то она имеет единственное решение, которое можно найти по известным формулам Крамера или другими способами.

Если система вырожденная, то она имеет решение (притом не единственное) лишь при выполнении условий разрешимости, состоящих из равенств нулю со- ответствующих определителей.
Таким образом, прежде чем решить систему, надо проверить, вырожденная она или нет. Для этого требуется вычислить определитель системы detA.
Если п — порядок системы, то для вычисления detА требуется выполнить около п3 операций. С какой бы точностью мы ни производили вычисления, при достаточно большом значении п, вследствие накопления ошибок вычисления, мы можем получить значение detА, как угодно отличающееся от истинного. Поэтому желательно иметь (построить) такие алгоритмы нахождения решения системы, которые не требуют предварительного выяснения вырожденности или невырожденности системы.

Кроме того, в практических задачах часто правая часть u и элементы матрицы А, т. е. коэффициенты системы уравнений, известны нам приближенно. В этих случаях вместо системы, мы имеем дело с некоторой другой системой A1z=u1 такой, что
||А1— А||U непрерывно, взаимно однозначно и множество Fo компактно на F, то обратное отображение Uo>Fo множества Uo на множество Fo также непрерывно по метрике пространства F.

Доказательство. Пусть z — элементы множества F (z?F), а u—элементы множества U (u?U). Пусть функция u=?(z) осуществляет прямое отображение
F>U, а функция z=?(u)—обратное отображение U>F.

Возьмем произвольный элемент u0 из Uo. Покажем, что функция ?(u) непрерывна на u0. Предположим, что это неверно. Тогда существует такое число ?1 > 0, что для всякого ? > 0 найдется элемент и1 из Uo, для которого ?U(и1, и0)