Содержание
Содержание
1. Техническое задание
2. Анализ технического задания
2.1 Прямая задача ВТК
2.2 Обратная задача ВТК
2.3 Модель задачи
2.4 Анализ литературы
2.4.1 Зарубежные методы решения
2.4.2 Отечественные методы решения
3. Прямая задача ВТК для НВТП
3.1 Уравнение Гельмгольца для векторного потенциала
3.2 Поле витка над многослойной средой
3.3 Воздействие проводящего ОК на НВТП
4. Обратная задача ВТК для НВТП
5. Некорректные задачи
5.1 Основные определения. Корректность по Адамару
5.2 Корректность по Тихонову
5.3 Вариационные методы решения некорректных задач
5.3.1 Метод регуляризации
5.3.2 Метод квазирешений
5.3.3 Метод невязки
6. Нелинейное программирование
6.1 Метод штрафных функций
6.2 Релаксационные методы
6.2.1 Метод условного градиента
6.2.2 Метод проекции градиента
6.2.3 Метод случайного спуска
6.3 Метод множителей Лагранжа
7. Линейное программирование
7.1 Алгоритм симплексного метода
8. Одномерная минимизация
8.1 Алгоритм методов
9. Результаты численного моделирования
9.1 Аппроксимации при численном моделировании
9.2 Модели реальных распределений электропроводности
9.3 Принципиальная возможность восстановления
9.4 Восстановление по зашумленным данным
9.5 Восстановление с учетом дополнительной информации
9.6 Восстановление при различном возбуждении
10. Заключение
11. Литература
Приложение 1 - Программная реализация...................................................................................................................
Приложение 2 - Удельная электропроводность материалов....................................................................................
Приложение 3 - Результаты восстановления................................................................................................................
Приложение 4 - Abst(act....................................................................................................................................................


1. Техническое задание
Разработать алгоритм решения обратной задачи вихретокового контроля (ВТК). Объектом контроля (ОК) являются проводящие немагнитные листы. Объекты контроля подвергаются термообработке (закалка, отпуск) или насыщению внешних слоев различными веществами, что приводит к изменению механических, а вследствие этого и электромагнитных свойств материала листа по глубине.
Задача заключается в определении, в рамках допустимой погрешности, зависимости электропроводности (ЭП) от глубины ?(Н) в ОК для данного состояния. Метод контроля заключается в измерении определенного количества комплексных значений вносимой ЭДС на различных частотах с помощью накладного вихретокового преобразователя (НВТП).
Необходимо выбрать математическую модель задачи, способ аппроксимации искомого решения, рассмотреть алгоритм решения.
Используя программную реализацию, исследовать поведение погрешности аппроксимации зависимости ?(Н) от следующих факторов:
1. От величины приборной погрешности измерения ЭДС
2. От вида зависимости электропроводности от глубины ?(Н)
3. От параметров аппроксимации решения
4. От диапазона частот возбуждения ВТП

2. Анализ технического задания.
Основная задача вихретокового контроля с помощью накладных преобразователей состоит из двух подзадач:
* Прямой задачи расчета вносимой ЭДС в присутствии немагнитного проводящего листа с произвольной зависимостью ЭП по глубине.
* Обратной задачи нахождения зависимости ЭП как функции глубины в немагнитном проводящем листе по результатам измерений определенного количества комплексных значений вносимой ЭДС.
2.1 Прямая задача ВТК
Полагая зависимость ЭП от глубины известной проведем ее кусочно-постоянную аппроксимацию. Это позволяет свести исходную задачу к расчету ЭДС в многослойном листе, в каждом слое которого ЭП принимает постоянное значение.
Как показано в работе [50], подобная модель вполне адекватно описывает задачу и дает отличное согласование с результатами опытов.
Рекуррентные формулы для произвольного количества слоев хорошо известны [1-5,36, 42,43,50-52]. Таким образом решение прямой задачи в рамках принятой модели затруднений не вызывает.
2.2 Обратная задача ВТК
С математической точки зрения обратная задача ВТК относится к классу некорректных задач[49] и ее решение неустойчиво т.е. при сколь угодно малой погрешности исходных данных( набора измеренных вносимых ЭДС ) погрешность решения ( рассчитанных локальных значений ЭП ) может быть сколь угодно большой, а одному набору измерений может отвечать много (формально бесконечно много) распределений ЭП по глубине.
При попытке расчета некорректной задачи как корректной, вычислительный процесс за счет неустойчивости сваливается в заведомо худшую сторону. В нашем случае это означает получение распределения ЭП, которое, хотя и обеспечивает требуемое совпадение измеренной и вычисленной ЭДС, но является явно нереальным из-за осцилляций. Следует отметить, что амплитуда и частота осцилляций распределения ЭП растут при увеличении числа независимых параметров аппроксимации ЭП ( коэффициентов полинома в случае полиномиальной аппроксимации, количества узлов при сплайн-аппроксимации и т.д.).
При наличии погрешности измерения вносимой ЭДС, превышающей на несколько порядков вычислительную погрешность и на практике составляющей не менее (0.5-1)% от измеряемого сигнала, ситуация значительно осложняется.
Учитывая вышеизложенное для выделения из множества допустимых распределений решения, наиболее удовлетворяющего физической реальности, в алгоритмах решения обратной задачи необходимо использовать дополнительную априорную информацию. На практике это реализуется введением некоторых критериев, позволяющих отличить решение, отвечающее практике, от физически нереального.
Для решения обратной задачи ВТК предлагались три возможные стратегии[46]:
1. Решение большого числа прямых задач и табуляция результатов для различных моделей. Измеренные данные с помощью некоторых критериев сравниваются с таблицей. Подход очень экстенсивный и требующий проведения избыточного числа расчетов, поэтому на практике встречающийся редко.
2. Условная минимизация невязки измеренных и расчитанных данных. Очень мощный и универсальный метод, широко распространен для решения обратных задач в различных областях техники [41,44,49]. Позволяет восстанавливать произвольное распределение ЭП по глубине (вообще говоря произвольное 3D распределение), но требуется довольно сложная процедура расчета.
3. Аналитическое инвертирование ядра оператора и использование алгоритма, зависящего от ядра уравнения[46]. Потенциально самый малозатратный метод, однако как и все аналитические, применим далеко не всегда.
В нашем случае остановимся на втором подходе, поскольку он сочетает в себе универсальность, точность и относительную простоту реализации.
В целом процесс решения обратной задачи сводится к итерационному решению прямой задачи для текущей оценки распределения ЭП и внесению изменений в эту оценку в соответствии с величиной невязки.
2.3 Модель задачи
Приведем основные положения, на основе которых будет построена модель нашей задачи:
* ОК представляет из себя находящуюся в воздухе проводящую пластину толщиной Н состоящую из N плоско-параллельных слоев толщиной bi.
* В пределах каждого слоя удельная электропроводность ? имеет постоянное значение т.е. распределение ? по глубине аппроксимируется кусочно-постоянной зависимостью.
* Возбуждающая и измерительная обмотки ВТП заменяются нитевидными моделями. Следует отметить, что это предположение сказывается лишь на решении прямой задачи, а проведя интегрирование можно получить выражения для катушек конечных размеров.
* Для численного моделирования реальных распределений ЭП применим пять типов аппроксимации: сплайном, кусочно-постоянную, кусочно-линейную, экспоненциальную и гиперболическим тангенсом. В процессе решения прямой задачи с их помощью вычисляются значения ? в центральных точках слоев пластины.
2.4 Анализ литературы
2.4.1 Зарубежные методы решения
Решению обратной задачи ВТК посвящен ряд работ в зарубежных изданиях. Следует отметить монографию [38], в которой рассмотрены случаи импульсного возбуждения, а оперируют в частотной и временной областях напряженностью электрического поля.
Подход к решению квазистационарных задач рассмотрен в цикле статей [45-51]. Он основан на интегральной постановке задачи с помощью функций Грина[31-34,39]. Для иллюстрации рассмотрим решение обратной задачи ВТК согласно [49].
А. Прямая задача
Определим функцию v(r)=( ?(r) - ?0 )/?0, где ?(r) - произвольное распределение проводимости, а ?0 - ее базовая величина. Функция v(r) может представлять собой как описание произвольного распределения проводимости (в этом случае для удобства полагаем ?(r)=?0 вне некоторого ОК объема V, тогда v(r) отлична от нуля только в пределах V ) так и некоторого дефекта (для трещины v(r)=-1 внутри дефекта и равна нулю вне его).
Рассмотрим систему уравнений Максвелла в предположении гармонического возбуждения exp(-jwt) и пренебрегая токами смещения:
( 2.4.1)
где P(r)=[ ?(r)-?0 ]?E(r)=?0 ? v(r)?E(r) - может интерпретироваться как плотность диполей эффективного тока, причиной которого является вариация ?(r)-?0.
Решение уравнений Максвелла можно представить в виде
( 2.4.2)
где Ei(r) - возбуждающее поле, а G(r|r’) - функция Грина, удовлетворяющая уравнению???? G(r|r’)+k2? G(r|r’)=?(r-r’), k2=-j????0 ??0, ?(r-r’) - трехмерная дельта-функция.
Импеданс ВТП можно выразить как
( 2.4.3)
где интеграл берется по измерительной катушке, J(r) - плотность тока в возбуждающей катушке. Применяя теорему взаимности импеданс можно представить через возбуждающее поле:
( 2.4.4)
где интеграл берется по объему ОК.
В. Обратная задача
Пусть v(r) - оценка истинной функции vtrue(r), Zobs(m) - измеренный импеданс ВТП в точке r0 на частоте возбуждения ?, m=(r0,?) - вектор в некоторой области определения M, Z[m,v] - оценка величины Zobs(m) на основе решения прямой задачи.
Определим функционал невязки измеренных и рассчитанных значений импеданса ВТП как :
( 2.4.5)
Предположим, что для решения обратной задачи используется итерационный алгоритм типа метода спуска: vn(r)= vn-1(r)+? sn(r). Можно показать, что в случае метода наискорейшего спуска итерация имеет вид: vn(r)= vn-1(r)-???F[ vn-1(r) ], где градиент функционала ?F[v] можно определить как :
( 2.4.6)
где Re обозначает вещественную часть, * обозначает комплексную сопряженность.
Требуемый в (2.4.6) градиент импеданса можно определить как:
?Z(r) = -?0?E(r)?E*(r) ( 2.4.7)
где E*(r) - решение уравнения
( 2.4.8)
С. Аппроксимация при решении обратной задачи
Пусть электропроводность моделируется с помощью конечного числа переменных (например узловых значений некоторой аппроксимации), а вектор р состоит из этих переменных. Тогда выражение (2.4.7) принимает вид:
( 2.4.9)
где (?Z)j - j-ая компонента градиента импеданса.
Значение j-ой компоненты градиента невязки (2.4.6) можно представить как:
( 2.4.10)
Следует обратить внимание на то, что в случае дискретного пространства М (конечное число измерений) интеграл в (2.4.10) заменяется суммой.
С учетом приведенных преобразований итерация метода наискорейшего спуска принимает вид:
pjn = pjn-1 - ??(?Fn-1)j ( 2.4.11)
где n - номер итерации.
D. Пример применения
В качестве примера рассмотрим функцию v(r) в виде v(r)=?ci??i(r), i=1,N, где ?i(r) - множество линейно независимых базовых функций с коэффициентами ci. Рассматривая коэффициенты ci в роли параметров аппроксимации (ci=pi ) получим из (2.4.9) для компонентов градиента импеданса:
( 2.4.12)
В случае проводящего ОК, состоящего из N параллельных слоев с проводимостью ?j распределение электропроводности по глубине можно представить с помощью функций Хевисайда H(z) как ?(z)=? ?j?[ H( z-zj ) - H( z-zj+1 ) ].
Подставляя в (2.4.12) базовые функции вида ?i(z)=[H( z-zj )-H( z-zj+1 )], получим окончательное выражение:
( 2.4.13)
Отметим основное преимущество такого решения. Несмотря на определенную сложность вычислений при решении интегральных уравнений (2.4.2-2.4.8) для расчета градиента импеданса НВТП необходимо решить только две такие задачи.
2.4.2 Отечественные методы решения
Подход, в значительной мере аналогичный работам [45-51] был предложен в работе [41]. Из-за небольшого объема в ней уделено недостсточное внимание вопросам практической реализации, объяснены не все обозначения и не приведены результаты численного моделирования. В целом это значительно снижает практическую ценность статьи. Приведем основные положения этой работы.
Прямая задача
Пусть круговой виток радиусом а с током I находится в точке P=Ps(r,?,z), ??(-?,?) вблизи немагнитного ОК, занимающего область V. Пусть ОК обладает электрической проводимостью ?=?0??(Р) являющейся произвольной функцией координат. Требуется по N измерениям величины э.д.с. определить ? как функцию координат точек P?V. Причем i-ое измерение э.д.с. будем проводить на i-ом измерительном круговом витке с координатами Pi=Pi(r,?,z) i=1,N при неизменных частоте и расположении возбуждающего витка.
В общем случае напряженность электрического поля Е определяется через векторный магнитный потенциал А, причем А = А0 + Авн, где А0 - возбуждающий, а Авн - вносимый потенциалы.
(2.4.14)
Вводя функцию Грина G(p,p0) получим
(2.4.15)
При этом вносимая напряженность электрического поля
Eвн = -j???Aвн (2.4.16)
Вносимая э.д.с., наводимая в i-ом витке
(2.4.17)
где функция Грина G(P,P0) имеет вид
(2.4.18)
В дальнейшем рассмотрим случай, при котором V-полупространство (r>0,?