1. Матрицы. Терминология и обозначения.
Матрицей размера (mxn) называется набор m(n чисел – элементов м-цы Ai,j,
записанных в виде прямоугольной таблицы:
[pic]
Набор аi1, ai2, ain – наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j, amj – jтым
столбцом.
М-ца размером 1хп – называется строкой, вектором; м-ца размером mx1 –
столбцом. Если размерность пхп – матрица называется квадратной. Набор
элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п, а1,п-1,
ап1 – побочную диагональ. М-ца все эл-ты, которой = 0 наз. нулевой.
Квадратная м-ца, элементы главной диагонали которой равны 1, а все
остальные – 0, называется единичной, обозн.: Е
Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их
элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.
2. Действия с матрицами
1) Сложение
Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по формуле:
Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1…n)
C=A+B (размер всех м-ц: mxn)
2) умножение м-цы на число
Произведение м-цы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица:
B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле:
Вij=С(Aij (I=1…m, j = 1…n)
В=С(А
вычитание:
С=А+(-)В = А-В
3) умножение м-ц
А=(Aik), B=(Bkj) – квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В называют
м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле:
Сij = Ai1(B1j+… Ain(BnJ
С=АВ. Можно записать так:
[pic]
Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА
Св-ва умножения м-цы:
(АВ)С=А(ВС)
А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС
Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.
3. Порядки суммирования. Транспонирование м-цы
Сумму Н всех элементов квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя способами:
1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы:
[pic]
2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы:
[pic]
отсюда вытекает, что
[pic]
порядок суммирования в двойной сумме можно менять.
Матрица
[pic]
называется транспонированной по отношению к м-це А=
[pic]
Обозначается АТ. При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы
в строки и если А размером mxn, то АТ будет размером nxm
Св-ва операции транспонирования.
1 (АТ)Т=А
2 (А+В)Т=АТ+ВТ
3 (СА)Т=САТ (С-число)
4 (АВ)Т=АТ(ВТ
4. Элементарные преобразования матрицы.
1 Переставление двух строк
2 Умножение строки на не равное 0 число В
3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С.
Также производят элементарные преобразования столбцов.
5. Матрицы элементарных преобразований.
С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы
элементарных преобразований. Они бывают следующих типов:
1 м-цы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк
например м-ца:
получена перестановкой 2 и 4 строки
2 тип. м-цы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на
произвольное не нулевое число:
отличается от единичной элементом В во второй строке
3 тип отличающиеся лишь одним недиагональным не нулевым элементом:
Основное св-во матриц элементарных преобразований Элементарное
преобразование произвольной матрицы равносильно умножению этой м-цы на
матрицу элементарных преобразований
Элементарные преобразования строк м-цы А
1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа слева переставляет строки с номерами I,j
2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа слева равносильно умножению j
строки м-цы А на число В
3 прибавление к jстороке м-цы А ее iтой строки, умноженной на число С
равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа слева
Элементарные преобразования столбцов м-цы А
1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа справа переставляет столбцы с номерами
I,j
2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа справа равносильно умножению j
столбца м-цы А на число В.
3 прибавление к j столбцу м-цы А ее I того столбца, умноженного на число С
равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа справа.
6. Определители
С каждой квадратной матрицей связано некое число наз. определителем.
Определителем м-цы второго порядка:
[pic]
наз число: а11(а22-а12(а21
Определитель м-цы третьего порядка:
[pic]=
=[pic]
также можно восп правилами треугольника:
Предположив, что определитель м-цы порядка меньше n уже известен,
определитель м-цы порядка n будет равен:
D= a11(M11-a21(M21+…+(-1)n+1(an1(Mn1
где Мi1 – определитель м-цы порядка n-1, это число называется
дополнительным минором. Подобная м-ца получается из А путем вычеркивания 1
столбца и j строки. Это называется разложением определителя по 1 ому
столбцу.
[pic]
число: Аij=(-1)I+1(Mij называется алгебраическим дополнением эл-та аij в
определителе [А] с учетом алгебр. доп ф-лу нахождения определителя можно
записать так:
[pic]
Определитель – сумма попарных произведений эл-тов произвольного столбца на
их алгебраический дополнитель.
7. Свойства определителя
1 При транспонировании матрицы определитель не изменяется: [AT]=[А]
отсюда вытекает, что строка и столбец равноправны с точки зрения свойств
определителя.
2 Линейность
Если в определителе D I является линейной комбинацией 2-х строк:
[pic]
тогда D=fD’+lD’’
где: [pic] [pic]
отличаются от D только I-тыми строками.
3 Антисимметричность если определитель В* получен из опр В перестановкой
строк, то В* = -В
4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0
5 Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого
определителя на это число
6 определитель с 0 строкой = 0
7 определитель, одна из строк которого = произв другой строки на число не
равное 0 = 0. (Число выносится за определитель далее по св-ву 4)
8 Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на
какое либо число, то полученный определитель будет равен исходному.
9 Сумма произведения эл-тов строки определителя на алгебр. дополнение
соответствующих элементов другой строки опр = 0
8. Обратная матрица
Квадратная матрица наз. невырожденной, если ее определитель не равен 0.
М-ца В, полученная из невырожд м-цы А по правилу:
В позицию ij м-цы В помещается число = алгебраическому дополнению м-цы Aji,
эл-та аji в м-це А.
М-ца В наз. союзной или присоединенной к м-це А и обладает следующими св-
вами:
АВ=ВА=[А]I (I-единичная матрица)
Матрица А-1=1/[А]В называется обратной м-це А. Отсюда вытекает равенство:
АА-1=I, А-1А=I
М-цу А-1 можно рассматривать как решение 2х матричных уравнений АХ=I, ХА=I,
где [pic]- неизвестная матрица.
Произвольную невырожденную м-цу элементарными преобразованиями строк можно
привести к единичной матрице
1 Привести к треугольному виду
2 Диагональ матрицы преобр 2 вида приводится к равенству единицам
3 Преобразованиями 3 го типа, прибавляя к п-1 строке последнюю умноженную
на –а1п, -а2п…-ап-1п, приводится к матрице у которой все эл-ты п-ного
столбца, кроме последнего равны 0 и т. д.
2 метод построения обратной м-цы путем составления расширенной матрицы
(метод Жордана)
1 составляется расширенная матрица, приписывая к матрице А единичную
матрицу I того же порядка т. е. получаем м-цу (А|I) элементарными преобр
строк м-ца А приводится к треугольному виду, а потом к единичному,
полученаая на месте I м-цы м-цы С – является обратной исходной матрице А
15. Понятия связанного и свободного векторов.
Рассмотрим т А и т. В, по соединяющему их отрезку можно перемещать в двух
направлениях: если считать А началом, а т. В – концем, то получим
направленный отрезок АВ, а если т. В- начало, а т. А – конец, то
направленный отрезок ВА. Направленный отрезок часто наз. связанными или
закрепленными векторами. В случае, когда начальная и конечная точка
совпадают, т. е. А=В, связанный вектор наз. нулевым..
Связанные векторы АВ и СД равны, если середины отрезков АД и ВС совпадают
обоз: АВ=СД, отметим, что в случае, когда т. А,В,С,Д не лежат на одной
прямой это равносильно тому, что четырехугольник АВСД – параллелограмм.
Поэтому равные связанные в-ры имеют равные длины.
Св-ва связанных в-ров:
1 Каждый связанный в-р равен самому себе АВ=АВ
2 Если АВ=СД, то и СД = АВ
3 Если АВ=СД и СД=EF, то AB=EF
От каждой точки можно отложить связанный в-р равный исходному.
Свободные в-ры – те, начальную точку которых можно выбирать произвольно.
или, что тоже самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим
себе. Свободный в-р однозначно определяется заданием связанного в-ра АВ.
Обоз свободные в-ры малыми латинскими буквами и стрелкой сверху. Нуль-
вектор обоз 0 со стрелкой.
Если задан в-р а и т. А, сущ ровно 1 т. В, для которых АВ=а. Операция
построения связанного в-ра АВ, для которой выполнено это равенство
называется откладывание свободного в-ра а от т. А. Связанные в-ры,
полученные в результате операции откладывания равны между собой. И имеют
одинаковую длину. Длина свободного в-ра а обоз |f|, длина нуль-в-ра=0, Если
а=в, то и длины их равны., обратное неверно!!!.
16. Линейные операции над в-рами
1 сложение в-ров
Пусть даны в-ры: а и в
от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в. Полученный в
результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение в-
ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы: правило
треугольник и правило параллелограмма.
Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во:
(а+в)+с=а+(в+с),
2 Умножение в-ра на число
Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные в-ры
лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные в-
ры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут лежать на одной
прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону от т. О
или по разные стороны. В первом случае в-ры а и в наз одинаково
направленными, во втором – противоположно направленными. если в-ры имеют
равные длины и одинаково направлены, то они равны.
Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что
1 длина его |b|=|C|(|a|
2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C0 (случайц внутреннего деления)
2 М=А, ( = 0
3 М лежит вне Ав, ( 0 ,
если по одну сторону – то (0
L2:=А2х+В2у+С2=0, А22+В22>0
((угол между ними)= углу между их нормальными в-рами n1 ={A1,B1} и
n2={A2,B2}
оттуда вытекает, что
L1|| L2 ( n1 || n2( n1 = (n2
A1=(A2, B1=(B2
L1 ( L2 ( n1 ( n2( n1(n2 =0 (
( A1(A2+B1(B2=0
б) прямые заданы каноническим уравнением
угол между ними равен углу между их направляющими векторами:
S1={m1,n1} S2{m2,n2} поэтому:
L1|| L2 ( S1 || S2
L1 ( L2 ( S1 ( S2 ( S1(S2=0 (
m1(m2+n1(n2=0
в) прямые заданы ур-ем с угловым коэффициентом
L1:= у=к1х+в1
L2:= у=к2х+в2
за угол между прямыми принимаемся наименьший угол на который нужно
повернуть прямую L1 против часовой стрелки до совмещения с прямой L2 вокруг
т. пересечения прямых.
Через (1 и (2 обоз углы наклона прямых L1 и L2 к оси ОХ
Угол между прямыми (= (2- (1
[pic]
tg(1=k1, tg(2=k2
[pic]
L1|| L2 ( (1 = (2 ((=0) ( k1=k2
L1 ( L2 ( (=П/2
k2= -1/k1
33. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости.
Зафиксировав неку т. О в пространстве положение плоскости П будет
определено, если задать следующие величины: расстояние до нее от начальной
т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра, опущенного из т. О на
плоскость П и единичный в-р n0, |n0|=1, перпендикулярный плоскости П и
направленный из начальной т. О к этой плоскости.
Когда текущая т. М движется по плоскости ее радиус в-р r меняется так, что
prn0 OM=p (1)
это соотношение вып для каждой т. принадлежащей плоскости, а для не
принадлежащей – нарушается.
(1) являет уравнением этой Плоскости П
prn0 OM=r(n0 или r(n0-p=0 (2)
ур-е (2) – нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Радиус-вектор
r произвольной т. плоскости наз. ее текущим радиус вектором.
Введем в пространстве прямоугольную Декартову систему координат, поместив
ее начало в т. О, тогда в-ры r и n0 можно записать так: n0={cos(, cos(,
cos();
r={x,y,z}
Ур-е (2) примет вид:
x( cos( +y(cos(+z(cos(-p=0 (3) – нормальное уравнение плоскости в
координатной форме
Особенности ур-я (3)
1 Сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах = 1:
cos2(+cos2(+cos2(=1
2 свободный член (-р) (0
Относительно переменных x,y,z – ур-е (3) явл. ур-ем 1 степени.
Всякое ур-е 1 степени определяет плоскость
Ур-е:
Ax+By+Cz+D=0 (4) – уравнение плоскости общего вида.
Всякий ненулевой, перпендикулярный плоскости вектор наз. нормальным
вектором этой плоскости. В-р n={A,B,C} нормальный в-р плоскости, заданной
ур-ем (4), таким образом коэффициенты при координатах в ур-е (4) являются
координатами нормального в-ра этой плоскости. Все другие нормальные вектора
получают из в-ра n умножая его на любое ( 0 число.
34. Ур-е плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению
Уравнение плоскости, проходящей через т. М0, заданной r0={x0,y0,x0},
перпендикулярной в-ру n={A,B,C}строится так:
Проведем радиус в-р r={x,y,z} в произвольную т. М этой плоскости. В-р М0М=r-
r0 лежит в плоскости П и значит перпендикулярен в-ру n., поэтому их
скалярное пр-е = 0
(r-r0)(n=0 (1) Рав-во (1) справедливо для всех т. М плоскости П и
нарушается если М не принадлежит этой плоскости, тем самым – (1) –
векторное уравнение искомой плоскости, в координатной форме это выражается
так:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0
35. Исследование ур-я плоскости. неполное ур-е плоскости
По виду общего ур-я можно судить о том как лежит плоскость относительно
системы координат OXYZ. Если хотя бы один из коэффициентов общего ур-я = 0,
то оно наз. неполным.
Возможны случаи:
1 D=0 П: Ax+By+Сz=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая
проходит через начало координат
2 А=0 П: Ву+ Сz +D=0 - нормальный в-р n={0,B,C} перпендикулярен оси ОХ
отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОХ
3 В = 0 П: Aх + Cz +D=0 - нормальный в-р n={А,0,С} перпендикулярен оси ОY
отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОУ
4 С=0 П: Ax+By+D=0, n={А,B,0} перпендикулярен OZ(П ||OZ плоскость
параллельна оси OZ
5 А=0, C=0 П: By+D=0( y= - D/B( тогда из 2 П||ОХ, из 4 П||OZ значит П||OXZ
6 А=0, В=0 П: Cz+D=0(z= - D/C( П||ОХ, П||OY значит П||OXY
7 C=0, В=0 П: Ax+D=0( x= - D/A( П||ОZ, П||OY значит П||OYZ
8 A=0, В=0, D=0 П: Cz=0 ( z=0( П||ОXY, O ( П значит П= OXY
9 A=0, C=0, D=0 П: By=0 ( y=0( П||ОXZ, O ( П значит П= OXZ
10 B=0, C=0, D=0 П: Ax=0 ( x=0( П||ОXY, O ( П значит П= OXY
11 A ( 0, В ( 0, С ( 0 П; - не параллельна ни одной из осей и пересекает
их.
36. Уравнение плоскости проходящей через три данный точки
Даны М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) не лежащие на одной прямой.
Пусть М(x,y,z) – точка искомой плоскости.
r1={x1,y1,z1}, r2={x2,y2,z2}, r3={x3,y3,z3} и r={x,y,z} – радиус векторы
данных точек.
В силу компланарности в-ров М1М=r-r1, M1M2=r2-r1, M1M3=r3-r1 их смешанное
произведение = 0, т. е. радиус в-р т. М удовлетворяет условию:
(r-r1)(r2-r1)(r3-r1)=0 (10)
а ее координаты линейному уравнению:
[pic] (11)
ур-е (10) векторное, а ур-е (11) – координатные уравнения искомой
плоскости.
37. Уравнение плоскости в отрезках.
Представив общее ур-е плоскости при A,B,C,D ( 0 в виде:
[pic]
и положив a= - D/A, b = -D/B, c = -D/C, получим уравнение плоскости в
отрезках:
[pic]
Найдем координаты точек М1, М2, М3 пересечения П с осями OX, OY, OZ
для М1 имеем
[pic]
x=a, значит М1(а,0,0)
аналогично получаем:
М2(0,в,0): М3(0,0,с)
Значения а,в,с определяют величину отрезков, отсекаемых П на осях
координат.
38. Расстояние от точки до плоскости
Пусть М*(x*,y*,z*) – заданная точка,
xcos(+ycos(+cos(-р=0 – заданное уравнение плоскости
расстояние от т. М* до плоскости П выч. по ф-ле:
d=d(M*, П) = |x*cos(+y*cos(+z* cos(| (13)
обозначим через ((M*, П)=r*(n0-p= x*cos(+y*cos(+z* cos(-p. Если т М* и т. О
–начало координат лежат по разные стороны от П, то (>0, а если по одну
сторону, то (0, A22+B22+C22>0
углом между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных
двугранных углов образованных этими плоскостями. (в случае параллельности
угол между ними равен 0 или П) один из этих двугранных углов =