Реферат по математическому анализу на тему:

«Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента».

Выполнил: студент МГТУ им. Баумана группа Э2 –11

Тимофеев Дмитрий

Преподаватель:

Москва 2004.

Введение

Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента.

Определение 1. Если каждому значению независимого переменного t(T(R , называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствие единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного аргумента. Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют радиус- векторм.
Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда представление

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) – действительные функции одного действительного переменного t с общей областью определения T(R , называемые координатными функциями вектор- функции r(t).

Понятие кривой

Введём теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b] .
Пусть в трёхмерном пространстве R3 задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ртонормированным базисом {i, j, k}.

Определение 2. Множество Г(R3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, t([a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b] вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t - параметром кривой.

При фиксированном значении t = t0 ( [a, b] параметра значения x(t0), y(t0), z(t0) являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление

Г = {r ( R3 : r = r(t), t([a, b] },

Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([a, b] }

Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора при изменении параметра t.
Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать

Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([c, d] }.

Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при t((a, b) называют простым замкнутым контуром.

Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.
Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:

Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([a, b] }.

причём равенство z=0 обычно опускают и пишут

Г = {(x; y) ( R2 : x = x(t), y = y(t), t([a, b] }.
.
График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой с координатным представлением Г = {(x; y) ( R2 : x = x, y = f(x), x([c, d] }.
В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j или r(x) = xi + f(x)j соответсвенно.

Кривизна плоской кривой.

Длина дуги иеё производная.

В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.

Пусть дуга кривой M0M (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.
Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1, M.
Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-
1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn.
Длиной дуги M0M называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной Mi-1 Mi , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M .
Найдём выражение дифференциала дуги.
Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0, y0)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину дуги M0M
(рис.3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x.
Дадим x приращение (x. Тогда дуга s получит приращение (s = дл. (MM1.
Пусть [pic] - хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти [pic], поступим следующим образом:

Из (MM1Q находим [pic]= ((x)2 +((y)2. Умножим и разделим левую часть на(s2:

[pic]
Разделим все члены равенства на (x2:

[pic]
Найдём предел левой и правой частей при (x(0. Учитывая, что [pic] и [pic], получим [pic]
Для дифференциала дуги получим следующее выражение:

[pic] или [pic]

Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:

[pic] [pic]

и выражение принимает вид: [pic].

Кривизна

Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.
Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через ( угол, образованный этими касательными, или – точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).

[pic]рис. 4 [pic]рис. 5
Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.
Определение 4. Средней кривизной Кср дуги (АВ называется отношение соответствующего угла смежности ( к длине дуги:

[pic]
Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6) средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 , хотя длины этих дуг равны между собой.
Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в данной точке.
Определение5. Кривизной Ка линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:

[pic]

Вычисление кривизны

Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x, y). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет непрерывную вторую производную.
Проведём касательные к кривой в точках M и M1 с абсциссами x и x+(x и обозначим через ( и (+(( углы наклона этих касательных (рис.7).
Длину дуги (M0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначим через s; тогда (s = (M0M1 - (M0M, а((s( = (MM1. Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге (MM1 равен абсолютной величине разности углов ( и (+((, то есть равен ((((.
Согласно определению средней кривизны кривой на участке (MM1 имеем [pic].

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги (MM1 стремится к нулю: [pic]
Так как величины ( и s зависят от x, то, следовательно, ( можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда

[pic] [pic]

Для вычисления [pic] воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически: [pic].

Чтобы выразить производную [pic] через функцию y=f(x), заметим, что
[pic] и, следовательно [pic].

Дифференцируя по x последнее равенство, получаем [pic].
И так как [pic], то

[pic], и окончательно, так как [pic], получаем

[pic].
Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

Пусть кривая задана параметрически: x=((t), y=((t). Тогда

[pic] [pic]

Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем

[pic].

Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением вида ( = f((). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = ( cos (, y = ( sin ( .

Если в эти формулы подставить вместо ( его выражение через (, то есть f((), то получим x = f(() cos (, y = f(() sin (
Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является (.

Тогда[pic], [pic]

[pic] , [pic]

Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:

[pic]

Радиус и круг кривизны

Определение 7. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K, или

[pic]
Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.
Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С
(проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке
М.
Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.
Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты ( и ( центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

[pic]
Так как точка C((, () лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению [pic].
Далее, точка C((, () находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:

[pic]
Решив совместно уравнения * определим (, (:

[pic] [pic]

[pic] [pic]

и так как [pic], то

[pic] [pic]

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!!0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, (>y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае (y!!(= y!!, формулы координат центра запишем в следующем виде:

[pic] [pic] (1)
Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y!!