Дискретная математика

Введение

Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…
Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.
В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:
1. Язык дискретной математики;
2. Логические функции и автоматы;
3. Теория алгоритмов;
4. Графы и дискретные экстремальные задачи.

Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.

Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.

Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.

Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.

Множества и операции над ними

Одно из основных понятий математики – множество.

Определение:
Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.

Множество обозначают: M,N ….. m1, m2, mn – элементы множества.

Символика
A ( M – принадлежность элемента к множеству;
А ( М – непринадлежность элемента к множеству.

Примеры числовых множеств:

1,2,3,… множество натуральных чисел N;

…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

[pic] множество рациональных чисел а.

I – множество иррациональных чисел.

R – множество действительных чисел.

K – множество комплексных чисел.

Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.
А ( В – А подмножество В (нестрогое включение)

Множества А и В равны, если их элементы совпадают.

A = B

Если А ( В и А ( В то А ( В (строгое включение).

Множества бывают конечные и бесконечные.

|М| - мощность множества (число его элементов).

Конечное множество имеет конечное количество элементов.

Пустое множество не содержит элементов: M = (.

Пример: пустое множество:

1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = (.
2) множество (, сумма углов которого ( 1800 пустое: M = (.

Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.

Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …

Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств
= 2n.

Если [pic], состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.

Множество можно задать:

1) Списком элементов {a,b,c,d,e};

2) Интервалом 1 отношение антирефлексивное главная диагональ содержит нули

Пр. отношнний

( рефлексивное

< антирефлексивное

2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.

Пр. Если а ( b и b ( a ==> a=b

3. Если дано ( a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.

4. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E

5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пр. а) отношение ( u ( для чисел отношение нестрогого б) отношение < u > для чисел отношение строгого

Лекция: Элементы общей алгебры

Р. Операции на множествах

Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций ( = {(1,…, (m}, т.е. система А = {М1;(1,…, (m} называется алгеброй. ( - сигнатура.

Если M1(M и если значения (( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;(1,…, (m} подалгебра A.
Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и поэтому тип этой алгебры (2;2)

2. B=(Б;(;() – булева алгебра. тип операций (2;2;1)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций запись a(b.
1. (a(b)(c=a((b(c) – ассоциативная операция

Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно
2. a(b = b(a – коммутативная операция

Пр. +,x – коммутат.

–; : – некоммут. умножение мат A(B ( B(A – некоммутативно.
3. a((b(c) = (a(b) ((a(c) –дистрибутивность слева

(a(b)(c) = (a(с) ((b(c) –дистрибутивность справа.

Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа но не abc ( abac

Р. Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; (I) и B=(M; (I) – одинакового типа.
Пусть отображение Г:K(M при условии Г((I)= (I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции
(I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение (I в В.
Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.
Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом.
В этом случае существует обратное отображение Г-1.
Мощности изоморфных алгебр равны.

Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности.
Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре
А автоматически …. на изоморфные алгебры.

-----------------------
А

В

A

C

B

A

B

Объединение трех множеств:

AUB AUB

А

В

А

В

С

В

А

А

В

A

B

A B

а) взаимнооднозначное соответствеие (отображение)

а) не взаимнооднозначное соответствеие (отображение)

Мх

My

x=2 ( y=2

y=2 ( x=2..4

не взаимнооднозначное соответствие.

2

2 3 4

y

X

-(/2

(/2

1-ый элемент 1-го множества

1-ый элемент
2-го множества

}

1

1

С=

101
010
001