Реферат: Дифференцированные уравнения

1.ВВЕДЕНИЕ

2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ

В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.

Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены ( в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:

[pic]

=[pic] (1)

При такой записи коэффициенты k,k1,...,kn называют коэффициентами передачи, а T1,...,Tn ( постоянными времени данного звена.

Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.

Размерности коэффициентов передачи определяются как

размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)

размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?)

Постоянными времени T1,...,Tn имеют размерность времени.

Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p=[pic] алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):

[pic]

=[pic]

[pic]

=[pic] (2)

2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА

Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t): y(t)=[pic]=

=[pic]=

=W1(s)+W2(s)+...+Wn(s)

Здесь W1(s),W2(s),...,Wn(s) - передаточные функции.

При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по
Лапласу передаточные функции сливаются в одну.

2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.

Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции: w(t)=[pic]

2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный j(.

Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование

W(j)=[pic].

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

W(j()=U(()+jV(() где U(() и V(() - вещественная и мнимая части.

W(j()=A(()[pic], где A(() - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,(((( - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:

A(()=(W(j()(

АЧХ строят для всео диапазона частот (((((((, т.к. модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты.

Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:

((((=argW(j()

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ

4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ

Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k[pic], где N(s), L(s) - многочлены.

4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением: aoy(t)=bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения: ao=2 bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: y(t)=[pic]g(t) y(t)=kg(t) (2), где k=[pic]-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=[pic] .Получим: y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s)

W(s)=k (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда h(t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции: w(t)=[pic]=k((t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: k=2 h(t)=2(1(t) w(t)=2(((t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j(:

W(s)=k

W(j()=k (7)

W(j()=U(()+jV(()

U(()=k

V(()=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(()=(W(j()(

A(()=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2

A(()=2

((()=0

L(()=20lg2

U(()=2

V(()=0

Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.

4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1. Данное звено описывается следующим уравнением: aoy(t)=bog(t-() (1)

Коэффициенты имеют следующие значения: ao=2 bo=4

(=0,1с

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: y(t)= [pic]g(t-() y(t)=kg(t-() (2), где k=[pic]-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= [pic].Получим: y(t)=kg(t-() (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t-()=G(s)e-(s

Y(s)=kG(s) e-(s

W(s)= ke-(s (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда h(t)=y(t)=k g(t-()=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции: w(t)=[pic]=k((t-() (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: k=2 h(t)=2(1(t-() w(t)=2(((t-()

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на (=0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j(:

W(s)=k e-(s

W(j()=k e-j(( =k(cos((-jsin(() (7)

W(j()=U(()+jV(()

U(()=k cos((

V(()=-ksin((

A(()=(W(j()(

A(()=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()= (( (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2

A(()=2

((()=0,1(

L(()=20lg2

U(()=2cos0,1(

V(()=-2sin0,1(

Вывод:

4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1 [pic]+ aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения: a1=1,24 ao=2 bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

[pic][pic]+y(t)=[pic]g(t)

T1 [pic]+y(t)=kg(t) (2), где k=[pic]-коэффициент передачи,

T1=[pic]-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=[pic] .Получим:

(T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.
Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s)

[pic]=sY(s) g(t)=G(s)

T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=[pic] (4)

H(s)=W(s)[pic]=[pic]=[pic][pic]

Переходя к оригиналу, получим h(t)=k[pic](1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)=[pic] или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)(1

W(s)=[pic]= [pic]

Переходя к оригиналу, получим w(t)=[pic] e[pic] (1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: k=2

T1 =0.62 h(t)=2[pic] (1(t) w(t)=3.2e[pic](1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину[pic].

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j(:

W(s)= [pic]

W(j()=[pic] (7)

W(j()=U(()+jV(()=[pic]=[pic]-j[pic]

U(()=[pic]

V(()=[pic]

A(()=(W(j()(

A(()=[pic]=[pic] (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=arctgk - arctg[pic]

((()=-arctgT1 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lg[pic]

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2

T1 =0.62

A(()=

((()=arctg0.62(

L(()=20lg

U(()=

V(()=

4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1 [pic]- aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения: a1=1,24 ao=2 bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

[pic][pic]-y(t)=[pic]g(t)

T [pic]-y(t)=kg(t) (2), где k=[pic]-коэффициент передачи,

T=[pic]-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=[pic] .Получим:

(T p-1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.
Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) [pic]

[pic]=sY(s) g(t)=G(s)

T sY(s)-Y(s)=kG(s)

W(s)=[pic] (4)

H(s)=W(s)[pic]=[pic]=[pic][pic]

Переходя к оригиналу, получим h(t)=k[pic](1(t) (5)

W(s)=[pic]= [pic]

Переходя к оригиналу, получим w(t)=[pic] e[pic] (1(t) (6)

T =0.62 h(t)=2[pic] (1(t) w(t)=3.2e[pic](1(t)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j(:

W(s)= [pic]

W(j()=[pic] (7)

W(j()=[pic]=[pic]j[pic]=U(()+jV(()

U(()=[pic]

V(()=[pic]

A(()=(W(j()(

A(()=[pic]=[pic] (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=arctgk - arctg[pic]

((()=-arctg(-T() (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lg[pic]

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2

T =0.62

A(()=

((()=-arctg(-0.62()

L(()=20lg

U(()=

V(()=

4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением: a2[pic]+a1 [pic]+ aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения: a2=0,588 a1=50,4 ao=120 bo=312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

[pic][pic]+[pic][pic]+y(t)=[pic]g(t)

[pic][pic]+T1 [pic]+y(t)=kg(t) (2), где k=[pic]-коэффициент передачи,

T1=[pic],T22=[pic]-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,42

2T2=0,14

0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=[pic] .Получим:

([pic]p2+T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена.
Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s) [pic]

[pic]=sY(s)

[pic]=s2Y(s) g(t)=G(s)

[pic] s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=[pic] (4)

H(s)=W(s)[pic]=[pic]=[pic] , где

T3,4=[pic]

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=[pic]

=[pic]

Переходя к оригиналу, получим h(t)=k(1(t)[pic] =

=k (1(t)[pic](5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)=[pic] или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)(1=[pic]=[pic]

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим w(s)= [pic]

=[pic]

Переходя к оригиналу, получим w(t)= [pic]=

=[pic] (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j(:

W(s)= [pic]

W(j()= [pic] (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j() =[pic]=

[pic]

U(()=[pic]

V(()=[pic]

A(()=(W(j()(

A(()=[pic]=..............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=................

((()=............... (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=...................

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением: a2[pic]+a1 [pic]+ aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения: a2=0,588 a1=0,504 ao=12 bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

[pic][pic]+[pic][pic]+y(t)=[pic]g(t)

[pic][pic]+T1 [pic]+y(t)=kg(t) (2), где k=[pic]-коэффициент передачи,

T1=[pic],T22=[pic]-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1

Реферат: Дифференцированные уравнения

Похожие работы: