Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
1. (1) при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos (, y = r sin (. (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки (Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и ( = (i (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
(rj = rj+1 - rj,
((i = (i+1 - (i
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки (Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rj((i и (rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
2. (Si = rj ((i (rj (3)
3. Что касается ячеек (Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
4. В качестве точки Mij ( Sij для простоты выберем вершину ячейки (Sij с полярными координатами rj и (i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
5. xij = rj cos (i, yij = rj sin (i.
6. И следовательно,
7. f(xij,yij) = f(rj cos (i, rj sin (i) (3')
8. Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
9. интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:
10. (4)
11. где d - максимальный диаметр ячеек (Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины (i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости O(r. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
12. f(r cos(, r sin()r,
13. соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами ((i и (ri.
Следовательно
14. (5)
15. Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
16. (6)
17. Выражение
18. dS = r d( dr
19. называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
20.
21. Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным.
Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
22. Где r1((), r1(() - однозначные непрерывные функции на отрезке [(,(].
(рис 2).
23. Имеем
24. (8)
25. Где
26. F(r,() = rf(r cos(, r sin()
27. Пример 1.
28. Переходя к полярным координатам ( и r, вычислить двойной интеграл
29. Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0)
(рис 3).
30. Так как
31. то применяя формулу (6),
32. получим
33. Область S определена
34. Неравенствами
35. Поэтому на основании формулы (8) имеем
36. Пример 2.
37. В интеграле
38. (9)
39. перейти к полярным координатам.
40. Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
41. В полярных координатах уравнения
42. этих прямых записываются
43. следующим образом: (=0,
44. (=(/4, r cos(=1 и,
45. следовательно, область S
46. определяется неравенствами
47. Отсюда на основании формул
48. (6) и(8), учитывая, что
49. имеем
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]