|Билет №1 | |Вопрос №3 | |Вопрос №5 |
|Пусть в обл. P плоскости | |Пусть в плоскости XOY | |Формула Грина. |
|XOY задана некоторая | |задана плоскость Д, | |[pic] |
|фун-ия z=f(x;y). Разобъём| |ограничен-ная следующими | |Теорема: Пусть задана |
|обл. P на n частичных | |кривыми: y=(1(x) a ( x ( a | |область Д огран. след. |
|обл. Рi , где i=1…n, | |– снизу; | |кривыми: |
|возмём произвольную точку| |y=(2(x) a ( x ( b – сверху;| |y=(1(x) a ( x ( b |
|обл. ((I;(I) ( Рi , ( - | |x = a – слева; x = b – | |y=(2(x) a ( x ( b |
|наиболь-ший диаметр | |справа; | |x=a , x=b, где ф-ции |
|чатичных обл. | |Тогда имеет место следующая| |(1 и (2 непрер. на (a,b).|
|Построим частичную сумму | |теорема. | |Пусть в этой области |
|– сумму Римена. | |Теорема: Если функция | |задаётся функция P(x,y) –|
|[pic] | |f(x;y) задана в области Д | |непрер. и имеющая непрер.|
|Определение: | |такова, что существует | |частную производную: |
|[pic] | |двойной интеграл | |[pic], тогда имеет место |
|Если существует конечный | |[pic] | |след. равенство: |
|предел и не зависит от | |для любого фиксированного | |[pic] |
|способа делений области | |x( [a ; b] существует одно-| | |
|на части и от выбора т. | |мерный интеграл | |Доказательство: |
|((I;(I) в каждой из | |[pic] | |Рассмотрим двойной |
|частичных областей, то | |то тогда существует | |интеграл, стоящий справа |
|такой предел принято | |повторный интеграл | |в формуле(1). Т.к. под |
|называть двойным | |[pic] | |интегралом стоит непрер. |
|интегралом по обл. Р и | |Доказательство: | |функция, то такой двойной|
|пишут: | |[pic] | |интеграл существует, |
|[pic] | |Обозначим c=inf (1(x) a ( | |также существует |
|В случае, если фун-ия f >| |x ( b; d=max (1(x) a ( x (| |одномерный интеграл[pic] |
|0 мы приходим к | |b и рассмотрим | |и его можно вычислить |
|геометрическому смыслу | |прямоугольник | |через повторный: |
|двойного интеграла: | |R=[a,b;c,d](Д. P=RД (раз-| |[pic] |
|днойной интеграл – это | |ность множеств). Построим | |Теорема: Пусть задана |
|объём некоторого | |вспомогательную функцию | |область Д огран.: |
|цилиндрического тела, | |[pic] | |[pic] |
|сверху ограниченного | |Рассмотрим | |y=(1(x) с ( x ( d |
|пов-тью z = (x;y), | |[pic] | |y=(2(x) c ( x ( d |
|которая проектируется на | |Получаем следующее | |x=c , x=d. И пусть в |
|плоскость XOY в обл. Р, а| |равенство: | |этой области задаётся |
|образующие параллельны | |[pic] | |функция Q(x,y) – непрер. |
|OZ. Площадь обл. Р: | |Замечание: Пусть теперь | |и имеющая непрер. частную|
|[pic] | |область Д ограничена | |производную: [pic], тогда|
|Двойной интеграл от | |следующими линиями: | |имеет место след. |
|f(x;y) имеет многие | |[pic] | |равенство: |
|св-ва, аналогичные св-ам | |x=(1(y) c ( y ( d – слева; | |[pic] |
|одномерного интеграла. | |x=(2(y) c ( y ( d – справа;| | |
|Св-ва двойного интеграла:| | | |Cкладываем формулы (1) и |
| | |x = c – сверху; x = d – | |(2) и получаем следующую |
|1.Необходимым условием | |снизу. И пусть | |формулу Грина для области|
|сущ. Двойного интеграла | |[pic] | |Д: |
|явл. ограниченность ф-ции| |Тогда аналогично | |[pic] |
|f в обл. Р, т.е если сущ.| |предыдущему можно показать,| |D P(x,y), Q(x,y) |
|интеграл, то f(x;y) – | |что существует повторный | |[pic], [pic] |
|ограниченная. | |интеграл и | |[pic] |
|2.Всякая непрырывная | |[pic] | |Вычисление площадей через|
|ф-ция, заданная в обл. Р,| |Если же функция f(x;y) | |крив интеграл |
|интегри-руема. | |такова, что существует | | |
|3.Если ф-ция f(x;y) в | |двойной интеграл, | |[pic] |
|обл. Р имеет разрывы на | |существует оба повторных, | |Применим ф. Грина, т.е. |
|конечном числе | |то одновременно имеют место| |выразим его через |
|непрырывных кривых, | |формулы (1) и (2) и можно | |криволинейный интеграл по|
|принадлежащих этой обл., | |пользоваться любой из них. | |границе области. |
|то f интегрирума по обл. | | | |1. Q = x P = 0[pic] |
|Р. | | | |2. Q = 0 P = -y[pic] |
|4.Сумма Дарбу: | | | |Суммируем 1 и 2 :[pic] |
|[pic] [pic] | | | | |
|Теорема: Для того, чтобы | | | |Пример: Вычислить площадь|
|двойной интеграл от | | | |эллипса |
|ограниченной обл. Р | | | |[pic]. |
|существовал, необходимо и| | | |Сделаем замену |
|достаточно, чтобы | | | |переменных[pic] |
|выполнялось равенство: | | | |0 ( t ( 2( |
|[pic] | | | |[pic] |
|5.Аддетивность двойного | | | | |
|интеграла, т.е., если | | | | |
|задана обл.Р некоторой | | | | |
|непрырывной кривой | | | | |
|разбита на две обл-ти | | | | |
|Р1иР2 не имеющих общих | | | | |
|точек, то, если двойной | | | | |
|интеграл по обл. Р | | | | |
|существует, то существуют| | | | |
|интегралы относительно по| | | | |
|двум областям. | | | | |
|[pic] | | | | |
|6.Линейность: | | | | |
|[pic] | | | | |
|7.Если f(x;y) ( g(x;y) | | | | |
|для ((x;y)(P и ф-ции f и | | | | |
|g интегрируемы, то | | | | |
|соответственно | | | | |
|справедливо неравенство: | | | | |
|[pic] | | | | |
|9.Если f(x;y) | | | | |
|удовлетворяет нер-вам m | | | | |
|( f(x;y) ( M, то | | | | |
|справедливо следующее | | | | |
|неравенство: | | | | |
|[pic] | | | | |
|10.Для двойного интеграла| | | | |
|имеет место теорема о | | | | |
|среднем: если z = f(x;y) | | | | |
|– ф-ция, заданая в обл. Р| | | | |
|и такая, что во всех | | | | |
|точках этой области | | | | |
|выполняется нер-во m ( | | | | |
|f(x;y) ( M, где | | | | |
|[pic] | | | | |
|то существует число ( | | | | |
|такое, что справедливо | | | | |
|равенство: | | | | |
|[pic] | | | | |
|В случае непрырывности | | | | |
|ф-ции: | | | | |
|[pic] | | | | |
|Вопрос №6 | |Вопрос №4 | |Вопрос №2 |
|Неприрывную кривую назыв.| |Пусть заданы 2 плоскости с | |Теорема: Пусть z = f(x,y)|
|простой кривой | |введенными в прямоугольник | |– ограниченная функция, |
|(жордановой), если она не| |декартовыми системами | |заданная на |
|имеет точек | |координат | |прямоугольнике R = |
|самопересечения. | |[pic] | |[a,b;c,d], и существует |
| | |XOY и UOV. Пусть в | |двойной интеграл по этому|
|Областью называется | |плоскисти XOY задана | |прямоугольнику [pic] |
|всякое открытое связаное | |область DV ограниченная | |Если для ( X [a,b] |
|мн-во, т.е. такое мн-во | |кривой Г, а в плоскости | |существует одномерный |
|всякая точка кот. явл. | |UOV задана область G | |интеграл |
|внутренней и любые две | |ограниченная кривой L | |[pic] |
|точки этого мн-ва можно | |Пусть функция | |то ( повторный интеграл |
|соединить непрерывной | |[pic]отображает область G в| |[pic] |
|кривой все точки кот. | |области D, где т.(u,v)( G, | |Доказательство: |
|принадлежат данному | |а т.(x,y)(D. | |[pic] |
|мн-ву. | |Будем предпологать , что | |Разобьем отрезки ab и cd |
| | |функции x и y такие, что | |отрезками a=x0