-----------------------
БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.

Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями ( и (. Докажем, АВ=СD. Плоскость (, проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями ( и
( по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м
Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.

Sп.п.=2(R(H+R)

БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости ( и ( пересекаются с плоскостью (. Докажем, что а( ( b.
Эти прямые лежат в одной плоскости (() и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. ( и ( имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. (( ( (. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а( ( b.

2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H

БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим

две плоскости ( и (. В плоскости ( лежат пересекающиеся в т.М прямые a и b, а в ( -

- прямые а1 и b1, причем а( ( а1 и b( ( b1.

Докажем, что плоскос.

-ти ( и ( не параллель ны. Тогда они перес. по прямой с. Мы получили, что плоскость ( проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости (, и пересекает плоскость ( по прямой с. Отсюда следует, что а( ( с.

Но плоскость ( проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости (.
Поэтому b ( ( с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, ( ( с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая ( ( с.
Значит, наше допущение неверно и (( ( (. Ч.Т.Д.

- - - - - - - -

БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть (-плоскость, а - не лежащая в ней прямая и а1 - прямая в плоскости (, параллельная прямой а.

Проведем плоскость (1 ч/з прямые а и а1.

Она отлична от (, т.к. прямая а не ле- жит в плоскости (. Плоскости ( и (1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость (, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллель- ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость (, а значит, параллельна плоскости (. Ч.Т.Д.

2. Vпараллелепипеда= Sосн.*H

БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и

М плоскость (, а ч/з М в

в плоскости ( прямую b( ( a. Докажем, что b( ( a единственна.

Допустим, что существует другая прямая b2( ( a, и проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести плоскость (2, которая проходит ч/з М и а, след-но, по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА
ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она совпадает с (. По аксиоме о параллельных прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.

2. Vус.кон.=1/3*(H(R12+R1R2+R22)

БИЛЕТ 1 А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости и точки, не принадлежащие ей.

А2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

А3 Если две различные прямые имеют общую точку, то ч/з них можно провести плоскость, и притом только одну.

2. Sп.п.=Sбок.+Sосн.; Sбок.=Pосн.*A

БИЛЕТ 7 Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.
10 Проекция прямой есть прямая.

20 Проекция отрезка есть отрезок.
30 Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж. одной прямой.
40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.

- - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 9 ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Док-во: AH - перпенд. к плоскости (, AM - наклонная, а - прямая проведенная в плоск.

( ч/з точку M перпенд к проекцииHM наклонной.

Рассмотрим плоск.

AMH. Прямая а(этой плоскости, т.к. она ( к двум пересекающимся прямым
AH и MH. Отсюда след. что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности а(AM.

Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 8 Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Sсеч.=2(RH

Sшар.сег.=2(RH

БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости (. Докажем, что а((b.
Через какую-нибудь точку М прямой ( проведем прямую (1, параллельную прямой
(. Докажем, что прямая (1 совпадает с прямой (. Тем самым будет доказано, что ((( (. Допустим, что прямые ( и (1 не совпадают. Тогда в плоскости (, содержащей прямые ( и (1, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой (, по которой пересекаются плоскости ( и (. Но это невозможно, след-но, ((( (. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.
ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др. плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Док-во: Рассмотрим плоскости ( и ( такие, что плоскость ( проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости ( и пересекающуюся с ней в точке А.
Докажем, что (((. Плоскости ( и ( пересекаются по прямой АС, причем АВ(АС,
Т.к. по усл. АВ((, и, значит, прямая АВ( к любой прямой, лежащей в плоскости (.
Проведем в плоскости ( прямую АD,(АС. Тогда (BAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей ( и (. Но
(BAD=900 (т.к. AB((). След-но, угол м/у плоскостями ( и ( равен 900, т.е.
(((. Ч.Т.Д.

Sбок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)

БИЛЕТ 10 ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость (, такую, что а((. Докажем, что и а1((.
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости (.
Так как а((, то а(х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости (, т.е. а1((. Ч.Т.Д.

Vпаралл-да=abc=Sосн.*H

БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.

Sполн=Sбок+2Sосн ; Sбок=P*H(ребро)

БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.
ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, Sбок=P*h. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположен- ных в плоскостях так, что отрезки AA1,BB1,CC1, и
DD1 параллельны.
Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается
ABCDA1..D1.
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Док-во: Рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1..D1. Т.к. A1D1(( BC и
A1D1=BC, то A1D1CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A1A2..An и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь- ников: PA1A2,PA2A3,...,PAnA1.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2..An и n треугольников, называется пирамидой

Многоугольник A1A2..An называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2,
..., Pan - ее боковыми ребрами.

ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид

A - верш.основания и A1 - точка пересечения секущей плоскости с боковым ребр.

SA. Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэф. гомотет. k=SA1/SA
При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1, т.е. в секущую плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть.
Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Док-во: Докажем,

что

AC12=AB2+AD2+AA12

Так как ребро CC1 перпендикулярно к основанию ABCD, то (ACC1-прямой.

Из прямоугольного треугольника ACC1 по теореме Пифагора получаем AC12=AC2+CC12.
Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того,
CC1=AA1.
След-но AC12=AB2+AD2+AA12 Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1..D1.
Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то AB((DC и AA1((DD1. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск. следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.
Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и
D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и ( м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв. равны двум смежным сторонам у ( м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны

БИЛЕТ 22 ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во: Рассмотрим конус

с объемом V. Произвольн. сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси Ox, является кругом с центром в т.M1 пересечения этой плоскости с осью Ox.

Обозначим радиус этого круга ч/з R1, а площадь сечения ч/з S(x), где x-

- абсцисса точки M1. Из подобия прямоугольных треугольников OM1A1 и OMA следует, что
OM1/OM=R1/R, или x/h=R1/R, откуда R1=xR/h.
Так как S(x)=(R12, то S(x)=(R2x2/h2.
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:

Площадь S основания конуса равна (R2, поэтому
V=1/3Sh Ч.Т..Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 21 За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.

Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1*AB=2(rh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок=2(rh
Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 20 ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму

ABCA1B1C1 с объемом V и высотой h. Проведем такую высоту треугольника ABC отрез.BD, которая разделяет этот треуг. на два треуг.

Плоскость BB1D разделяет данную призму на две приз., основаниями которых явл. прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны
Sabdh и Sbdch. V=V1+V2, т.е. V=Sabdh+Sbdch=
=(Sabd+Sbdc)h. Таким обр., V=Sabch

2) Докажем теорему для произвольной призмы с высотой h и площ. основания S. Такую призму можно разбить на прямые треуг. призмы с высотой h.

Выразим объем каждой приз. по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки множитель h, получим в

скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 19 ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -