Введение.

Проблема идентификации линейной динамической системы заключается в создании модели процесса по его наблюдаемым входным и выходным сигналам в детерминистской или стохастической обстановке. Процесс идентификации включает в себя две независимые процедуры, а именно, структурную идентификацию и идентификацию параметров.

Когда неизвестны структура объекта и соответствующие физические законы, которым подчиняется его поведение, проводятся эксперименты, направленные на выявление структуры объекта и законов его поведения методами структурной идентификации. В случае, когда известна структура объекта (т.е. существует модель характеризующая его свойства), а неизвестными являются некоторые его характеристики, описываемые конечномерным вектором, последние определяются методами параметрической идентификации.

Постановка задачи

Целью данной дипломной работы является исследование нового метода параметрической идентификации основанного на синтезе метода максимального правдоподобия и метода квадратно-корневого информационного фильтра (ККИФ), сравнение его с другими существующими алгоритмами с точки зрения вычислительной точности, быстродействия и сложности, а также реализация данного метода на ЭВМ.

Метод

Как известно, оценкой максимального правдоподобия является значение оцениваемых параметров, которое максимизирует вероятность события, при котором наблюдения, сгенерированные с подстановкой оцениваемых параметров, совпадают с действительными значениями наблюдений. Вычисление оценки максимального правдоподобия может быть итеративно выполнено при помощи характеристического уравнения, которое включает в себя градиент обратного логарифма функции правдоподобия и информационную матрицу Фишера. Вычисления функции правдоподобия и информационной матрицы Фишера требуют применения фильтра Калмана (а также его производных для каждого параметра оценивания), который, как известно, не обладает достаточной устойчивостью. Бирман, занимавшийся построением численно устойчивых алгоритмов фильтрации, предложил для вычисления оценки максимального правдоподобия итеративным образом использовать квадратно-корневой информационный фильтр. В отличие от традиционного фильтра Калмана, ККИФ позволяет избежать численной неустойчивости, являющейся результатом вычислительных погрешностей, поскольку вместо ковариации ошибки оценок на этапах экстраполяции и обработки измерений, по своей природе положительно определенных, ККИФ оперирует с их квадратными корнями. Это значит, что вычисление квадратного корня равносильно счету с двойной точностью ковариации ошибок, кроме того устраняется опасность утраты матрицей ковариаций свойства положительно определенности. Недостатком данного метода является присутствие операций извлечения квадратного корня.

Таким образом, вычисление оценки максимального правдоподобия может быть осуществлено итеративно по следующей формуле:

[pic] (1) где [pic] - конечномерный вектор оцениваемых параметров; [pic] - индекс, определяющий номер итерации; [pic] - информационная матрица Фишера; [pic] - градиент функции максимального правдоподобия.

Стоит заметить, что итеративные алгоритмы, подобные (1), в среднем сходятся за меньшее число шагов, чем те алгоритмы, которые включают в себя только вычисления [pic]. С другой стороны, алгоритмы, содержащие [pic] и
[pic], требуют больше вычислений на каждом шаге.

Для эффективного вычисления градиента функции максимального правдоподобия при использовании ККИФ в фильтрации данных, величины, входящие в выражение для [pic], представляются непосредственно через величины, значения которых вычисляются ККИФ-ом. При этом, если заменить ожидаемые значения переменных измеренными, то матрица Фишера также вычисляется через значения получаемых ККИФ-ом. Но что самое интересное, так это то, что в случае использования фильтра Калмана для вычисления градиента, необходимо запустить дифференцирующий фильтр Калмана для каждого из параметров [pic]. В схеме же ККИФ этот ”набор” фильтров заменяется расширенными массивами данных, к которым и применяются ортогональные преобразования.

Заметим, что нахождение оценки максимального правдоподобия эквивалентно минимизации обратного логарифма функции правдоподобия, тогда критерием для метода является выражение:

[pic] (2) где [pic] - невязка, [pic] - остаточная ковариация (т.е. ковариация невязок), подразумевается, что значения невязок [pic] в каждый момент времени [pic] независимы. Независимость же невязок обеспечивается при оптимальном фильтре, т.е. при точно известных значениях параметра [pic]. Из этого предположения следует, что начальные значения для параметра должны быть достаточно близкими к истинным его значениям.

Выводы

Факт сходимости алгоритма максимального правдоподобия к оптимальным значениям параметров теоретически является недоказанным, поэтому в качестве основного метода исследования будем считать вычислительные эксперименты.

В рамках данного дипломного проекта были проведены следующие эксперименты:

. Выявление зависимости точности оценивания от количества измерений.

. Выявление зависимость точности оценивания от начальных условий для оцениваемых параметров.

. Выявление зависимости времени оценивания от размерности задачи.

. Проверка на сходимость метода с полностью наблюдаемой и ненаблюдаемой моделью системы.

. Сравнение точности оценивания данного метода с другими существующими методами.

. Сравнение времени оценивания данного метода с другими существующими методами.

После проведения серии вычислительных экспериментов были получены следующие результаты:

. Вышеописанный метод требует значительного количества времени для одной итерации по сравнению с другими методами параметрической идентификации, поскольку требуется вычисление градиента обратного логарифма функции правдоподобия и информационной матрицы Фишера.

Данный факт показывает, что метод является достаточно сложным в вычислительном отношении.

. Сходимость метода в значительной степени зависит от устойчивости матрицы перехода из состояния в состояние, от наблюдаемости динамической системы объекта, а также от количества оцениваемых параметров (наблюдаемость динамической системы является необходимым условием сходимости методов параметрической идентификации).

. Метод критичен к начальным оценкам параметров.

Заключение

В данном дипломном проекте была проведена следующая работа:

. Теоретически проанализирован алгоритм параметрической идентификации основанный на методе максимального правдоподобия с использованием квадратно-корневых информационных фильтров.

. Данный метод программно реализован на ЭВМ.

. Для проведения сравнительных экспериментов программно реализованы другие известные методы параметрической идентификации.

. Поставлены эксперименты на выявление основных преимуществ и недостатков выше описанного метода по сравнению с другими реализованными методами.

. Получены результаты поставленных экспериментов и на их основе сделаны выводы.