Министерство Высшего Образования РФ.

Московский Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

Лицей №1557

КУРСОВАЯ РАБОТА

“Вычисление интеграла методом

Ньютона-Котеса”

Написал: Коноплев А.А.

Проверил: доцент Колдаев В.Д.

Москва, 2001г.

1.

Введение..................................................................

................... 3
2. Теоретическая часть...................................................................4
3. Алгоритм работы....................................................................

....8
4. Код программы.................................................................

........17
. Модуль

K_graph............................................................17
. Модуль

Graphic.............................................................34
. Модуль

K_unit...............................................................38
. Основная программа....................................................40
5. Тестовые испытания.................................................................

42
6. Полезные советы по работе с программой.............................42
7. Окна ввода и вывода программы.............................................
8.

Вывод.....................................................................

.....................43
9. Список литературы................................................................

...44

Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Многие правила нахождения неопределенного интеграла в то время не были известны, поэтому ученые пытались найти другие, обходные пути поиска значений. Первым методом явился метод Ньютона – поиск интеграла через график функции, т.е. нахождение площади под графиком, методом прямоугольников, в последствии усовершенствованный в метод трапеций. Позже был придуман параболический метод или метод Симпсона. Однако часть ученых терзал вопрос: А можно ли объединить все эти методы в один??
Ответ на него был дан одновременно двумя математиками Ньютоном и Котесом.
Они вывели общую формулу, названную в их честь. Однако их метод был частично забыт. В этой работе будут изложены основные положения теории, рассмотрены различные примеры, приведены таблицы, полученные при различных погрешностях, и конечно описана работа и код программы, рассчитывающей интеграл методом Ньютона-Котеса.

Пусть некоторая функция f(x) задана в уздах интерполяции:
[pic] (i=1,2,3…,n) на отрезке [а,b] таблицей значений:

|X0=a |X1 |X2 |… |XN=b |
|Y0=f(x0) |Y1=f(x1) |Y2=f(x2) |… |YN=f(xN) |

Требуется найти значение интеграла [pic] .
Для начала составим интерполяционный многочлен Лагранджа:

[pic]

Для равноотстоящих узлов интерполяционный многочлен имеет вид:

[pic]

где q=(x-x0)/h – шаг интерполяции, заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:

[pic]

Поменяем знак суммирования и интеграл и вынесем за знак интеграла постоянные элементы:

[pic]

Так как dp=dx/h, то, заменив пределы интегрирования, имеем:

[pic]

Для равноотстоящих узлов интерполяции на отрезке [a,b] величина шаг определяется как h=(a-b)/n. Представив это выражение для h в формулу (4) и вынося (b-a) за знак суммы, получим:

[pic]

Положим, что

[pic] где i=0,1,2…,n; Числа Hi называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Эти коэффиценты не зависят от вида f(x), а являются функцией только по n.
Поэтому их можно вычислить заранее. Окончательная формула выглядит так:

[pic]
Теперь рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Вычислить с помощью метода Ньютона-Котаса: [pic]
, при n=7.

Вычисление.

1) Определим шаг: h=(7-0)/7=1.

2)Найдем значения y:

|x0=0 |y0=1 |
|x1=1 |y1=0.5 |
|x2=2 |y2=0.2 |
|x3=3 |y3=0.1 |
|x4=4 |y4=0.0588 |
|x5=5 |y5=0.0384 |
|x6=6 |y6=0.0270 |
|x7=7 |y7=0.02 |

3) Находим коэффициенты Ньютона-Котеса:
H1=H7=0.0435, H1=H6=0.2040, H2=H5=0.0760 ,H3=H4=0.1730
Подставим значения в формулу и получим:

При подсчете с помощью формулы Ньютона-Лейбница получим:

Пример 2.
Вычислить при помощи метода Ньютона-Котеса
[pic] , взяв n=5;
Вычисление:
1) Определим шаг h=(8-4)/5=0.8
2) Найдем значения y:

|x0=0 |y0=-2.61 |
|x1=4.8 |y1=0.42 |
|x2=5.6 |y2=4.34 |
|x3=6.4 |y3=6.35 |
|x4=7.2 |y4=4.38 |
|x5=8 |y5=-0.16 |

3) Находим коэффициенты Ньютона –Котеса:
H0=H5=0.065972 ;H1=H4=0.260417 ;H2=H3=0.173611 ;
4)Подставим значения в формулу и получим:
[pic]

Рассмотрим частные случаи формулы Ньйтона-Котеса.
Пусть n=1 тогда
H0=H1=0.5 и конечная формула примет вид:
[pic] Тем самым в качестве частного случая нашей формулы мы получили формулу трапеций.
Взяв n=3, мы получим
[pic] . Частный случай формулы Ньютона –Котеса – формула Симпсона

Теперь произведем анализ алгоритма и рассмотрим основной принцип работы программы.

Для вычисления интеграла сначала находятся коэффициенты Ньютона-
Котеса. Их нахождение осуществляется в процедуре hkoef.
Основной проблемой вычисления коэффициентов является интеграл от произведения множителей. Для его расчета необходимо:

А) посчитать коэффициенты при раскрытии скобок при q
(процедура mnogoclen)
Б) домножить их на 1/n , где n –степень при q (процедура koef)
В) подставить вместо q значение n (функция integral)

Далее вычисляем факториалы (функция faktorial) и перемножаем полученные выражения (функция mainint). Для увеличения быстроты работы вводится вычисление половины от количества узлов интерполяции и последующей подстановкой их вместо неподсчитанных.

Процедура koef(w: массив;n:целый;var e:массив);

[pic]

Процедура hkoef(n:целый;var h:массив);

[pic]

[pic]

Процедура mnogochlen(n,i:целые;var c:массив );

[pic]

[pic]

Процедура funktia(n:целая;a,b:вещест.;var y:массив;c:вещест.;f:строка);

[pic]

Функция facktorial(n:целый):двойной;

[pic]

Функция integral(w:массив;n:целый):двойной;

[pic]

Функция mainint(n:целый;a,b:вещест.;y:массив):двойной;

[pic]

Основная программа

[pic]

Программа состоит из 8 файлов:
. K_main.exe – файл загрузки основной программы
. K_unit.tpu – модуль вычислительных процедур и функций
. K_graph.tpu – модуль графических процедур
. Graphic.tpu – модуль процедур для построения графика
. Egavga.bgi – файл графической инициализации
. Sans.chr, litt.chr – файлы шрифтов
. Keyrus.com (не обязательно) – файл установки русского языка.
Для работы программы с русским интерфайсом желательно запускать ее в режиме DOS.

================================================

==========МОДУЛЬ GRAPH==========

================================================
{$N+} unit k_graph; interface uses crt,graph,k_unit,graphic; procedure winwin1; procedure proline(ea:word); procedure winwwodab(ea:word); procedure error1(ea:word); procedure helpwin(ea:word); procedure error(ea:word); procedure newsctext(ea:word); procedure newsc(ea:word); procedure win1(ea:word); procedure win2(ea:word;var k:word); procedure wwodn(ea:word;var n:integer); procedure wwodab(ea:word;var a,b:real); procedure wwod1(ea:word;var y:array of double;var n:integer;var a,b:real); procedure wwod2(ea:word;var ea1:word;var n:integer;var a,b:real;var st:string); procedure win3(ea:word;n:integer;a,b:real;int:double;f:string;h:array of double;var k:word); implementation procedure proline(ea:word);
{Проседура полосы процесса} var i:integer; f:string; c:char; begin newsc(ea); setcolor(15); setfillstyle(1,7); bar(160,150,460,260); rectangle(165,155,455,255); rectangle(167,157,453,253); case (ea mod 2) of

0: outtextxy(180,170,' Идет работа .Ждите..');

1: outtextxy(180,170,' Working.Please wait..'); end; setfillstyle(1,12); setcolor(0); rectangle(200,199,401,221); for i:=1 to 9 do line(200+i*20,200,200+i*20,220); delay(20000); for i:=1 to 100 do begin if ((i-1) mod 10)=0 then line(200+((i-1) div 10)*20,200,200+((i-1) div 10)*20,220); bar(round(200+2*(i-0.5)),200,200+2*i,220); delay(1100); setcolor(15); setfillstyle(1,7); bar(280,230,323,250); str(i,f); f:=f+'%'; outtextxy(290,235,f); if (i mod 25) =0 then bar(170,180,452,198); if (ea mod 2)=0 then case (i div 25) of

0: outtextxy(170,190,'Подготовка ');

1: outtextxy(170,190,'Расчет коеффициентов в многочлене');

2: outtextxy(170,190,'Расчет коеффициентов Ньютона-Котеса');

3: outtextxy(170,190,'Расчет интеграла'); end else case (i div 25) of

0: outtextxy(170,190,'Prepearing');

1: outtextxy(170,190,'Calculation of mnogochlen coeff.');

2: outtextxy(170,190,'Calculation of Newton-Cotes coeff. ');

3: outtextxy(170,190,'Calculation of integral'); end; setfillstyle(1,12); setcolor(0); end; end; procedure winwwodn(ea:word);
{Окно ввода числа узлов интерполяции} var c:char; f:string; begin helpwin(ea); if (ea mod 2) =0 then begin outtextxy(360,140,' В этом окне необходимо '); outtextxy(360,155,' ввести количество узлов '); outtextxy(360,170,' интерполяции, от которого '); outtextxy(360,185,' будет зависить точность '); outtextxy(360,200,' вычисления интеграл и '); outtextxy(360,215,' количество зн чений функции.'); outtextxy(360,240,' ВНИМАНИЕ : НАСТОЯТЕЛЬНО '); outtextxy(360,250,' РЕКОМЕНДУЕТСЯ НЕ ВВОДИТЬ '); outtextxy(360,260,' ЗНАЧЕНИЕ N БОЛЬШЕ 12 !! '); end else begin outtextxy(360,140,' In this window you have to '); outtextxy(360,155,' put into the number. '); outtextxy(360,170,' The accuracy of calculation '); outtextxy(360,185,' and the number of function '); outtextxy(360,200,' parameters will depend on '); outtextxy(360,215,' this number. '); outtextxy(360,240,' WARNING: IT IS HARDLY '); outtextxy(360,250,' RECOMENDED NOT TO PUT IN '); outtextxy(360,260,' NUMBER MORE THEN 12 !! '); end; setcolor(2); setfillstyle(1,14); bar(70,200,340,300); rectangle(75,205,335,295); rectangle(77,207,333,293); if (ea mod 2) =0 then begin outtextxy(90,227,'Введите количество узлов(n):'); outtextxy(80,270,'ВНИМАНИЕ: При больших n возможна'); outtextxy(80,280,'некорректная работа компьютера!!'); end else begin outtextxy(80,217,'Put in number of'); outtextxy(80,227,' interpolation units:'); outtextxy(80,270,'WARNING:if you use big number '); outtextxy(80,280,'of units,PC wont work properly!'); end; setfillstyle(1,0); bar(190,240,230,255); end; procedure wwodn(ea:word;var n:integer);
{Процедура ввода узлов n} var ec,p:integer; k,f:string; x:integer; c:char; begin newsc(ea); winwwodn(ea); repeat repeat winwwodn(ea); gotoxy(25,16); read(k); val(k,p,ec); if ec0 then begin error1(ea); readln; end; until ec=0; n:=p; if n>12 then begin if keypressed then c:=readkey; c:='r'; setcolor(15); setfillstyle(1,12); bar(140,210,490,300); rectangle(145,215,485,295); rectangle(147,217,483,293); if (ea mod 2) =0 then begin outtextxy(150,227,' Предупреждение!'); outtextxy(150,237,' Вы дейcтвительно хотите использовать'); outtextxy(150,250,' большое значение N ???'); end else begin outtextxy(150,227,' Warning!!
'); outtextxy(150,237,' Do you realy want to use a big
'); outtextxy(150,250,' number interpolation units(N)???
'); end; sound(600); delay(4000); nosound; setfillstyle(1,2); bar(320,260,350,280); setfillstyle(1,12); bar(250,260,280,280); repeat if keypressed then begin c:=readkey; if (c=#80) or (c=#72) or (c=#77) or (c=#75) then x:=x+1; setfillstyle(1,2); if (x mod 2)=0 then begin bar(250,260,280,280); setfillstyle(1,12); bar(320,260,350,280); end else begin bar(320,260,350,280); setfillstyle(1,12); bar(250,260,280,280);

END;

end; if (ea mod 2) =0 then begin outtextxy(255,267,'ДА'); outtextxy(325,267,'НЕТ'); end else begin outtextxy(255,267,'YES'); outtextxy(325,267,'NO'); end; until c=#13; if abs(x mod 2)=1 then begin n:=0; setcolor(15); setfillstyle(1,2); bar(160,200,460,280); rectangle(165,205,455,275); rectangle(167,207,453,273); if (ea mod 2)=0 then begin outtextxy(180,227,'Для работы программы необходимо'); outtextxy(180,237,' заново ввести N.'); outtextxy(180,247,' Нажмите ENTER для продолжения.'); end else begin outtextxy(180,227,' To continue you have to '); outtextxy(180,237,' again put in N. '); outtextxy(180,247,' Press ENTER to continue.'); end; readln; readln; end; end; until n>0; end;

procedure winwwodab(ea:word);
{Окно ввода приделов интегрирования} var f:string; begin helpwin(ea); if (ea mod 2)=0 then begin outtextxy(360,140,' В этом окне необходимо'); outtextxy(360,155,' ввести сначала нижнее'); outtextxy(360,170,' значение интеграл и нажать'); outtextxy(360,185,' ENTER, а затем ввести'); outtextxy(360,200,' верхнее значение интеграла'); outtextxy(360,215,' и снова нажать ENTER.'); end else begin outtextxy(360,140,' In this window you have to:'); outtextxy(360,155,'firstly, put in lower value '); outtextxy(360,170,'of integral and press ENTER,'); outtextxy(360,185,'then put in higher value'); outtextxy(360,200,'of integral and press ENTER'); end; setcolor(2); setfillstyle(1,5); bar(10,210,335,320); rectangle(15,215,330,315); rectangle(17,217,328,313); settextstyle(0,0,0); if (ea mod 2)=0 then begin outtextxy(20,230,' Введите нижнее значение'); outtextxy(20,244,' интеграл :'); outtextxy(20,262,' Введите верхнее значение'); outtextxy(20,272,'интеграл :'); end else begin outtextxy(20,230,' Put in lower value of'); outtextxy(20,244,' integral:'); outtextxy(20,262,' Put in higher value of'); outtextxy(20,272,'integral:'); end; end; procedure wwodab(ea:word;var a,b:real);
{Процедура ввода приделов интегрирования} var f:string; k:string; ec:integer; begin newsc(ea); winwwodab(ea); readln; repeat winwwodab(ea); gotoxy(16,16); read(k); val(k,a,ec); if ec0 then error1(ea); until ec=0; readln; repeat winwwodab(ea); str(a:4:2,f); outtextxy(120,244,f); gotoxy(16,18); read(k); val(k,b,ec); if ec0 then error1(ea); until ec=0; end; procedure helpwin(ea:word);
{основа окна помощи} begin setfillstyle(1,3); bar(350,100,590,380); setcolor(0); rectangle(353,103,587,377); rectangle(355,105,585,375); setcolor(14); if (ea mod 2)=0 then outtextxy(360,115,' ОКНО ПОМОЩИ') else outtextxy(360,115,' HELP WINDOW'); end; procedure error1(ea:word); begin setcolor(15); setfillstyle(1,12); bar(140,210,490,280); rectangle(145,215,485,275); rectangle(147,217,483,273); if (ea mod 2)=0 then begin outtextxy(150,227,' Ошибка! '); outtextxy(150,237,' Вводимые параметр не число!! '); outtextxy(150,250,' Проверьте значение и заново введите его.'); end else begin outtextxy(150,227,' Error! '); outtextxy(150,237,' The value you entered isn`t a quantity!!'); outtextxy(150,250,' Check it and put it in again. '); end; sound(600); delay(4000); nosound; readln; readln; end; procedure error(ea:word);
{Процедура ошибки} begin setcolor(15); setfillstyle(1,12); bar(140,210,490,260); rectangle(145,215,485,255); rectangle(147,217,483,253); if (ea mod 2)=0 then begin outtextxy(150,227,' Ошибка!'); outtextxy(150,237,' Недостаток вводимых параметров!!'); end else begin outtextxy(150,227,' Error!'); outtextxy(150,237,' Not all parameters are set!'); end; sound(600); delay(4000); nosound; readln; end; procedure newsctext(ea:word);
{Текст для процедуры newsc} begin if ea mod 2 =0 then begin settextstyle(0,0,1); setcolor(15); outtextxy(400,440,'Язык - Русский. '); outtextxy(400,450,'Версия 1.0 Последнее издание'); outtextxy(400,460,'й Все права защищены.'); end else begin settextstyle(0,0,1); setcolor(15); outtextxy(400,440,'Language - English.'); outtextxy(400,450,'Version 1.0 Final release.'); outtextxy(400,460,'й All rights reserved.'); end; end; procedure newsc(ea:word);
{Процедура обновления экрана} begin cleardevice; setfillstyle(10,8); floodfill(1,1,15); setcolor(0); setfillstyle(1,7); bar(80,10,580,80); rectangle(82,12,578,78); rectangle(85,15,575,75); settextstyle(0,0,2); setcolor(10); if ea mod 2 =0 then begin settextstyle(0,0,2); outtextxy(90,20,' Вычисление интеграл '); outtextxy(90,50,' методом Ньютона-Котеса.'); newsctext(ea); end else begin settextstyle(3,0,2); outtextxy(90,20,' Calculeting of integral'); outtextxy(90,47,' using the Newton-Cotes method.'); newsctext(ea); end; settextstyle(0,0,1); end; procedure winwin1;
{Окно процедуры win1} begin setfillstyle(1,7); bar(160,110,460,380); setcolor(0); rectangle(162,113,457,377); rectangle(165,115,455,375); end; procedure win1(ea:word);
{Вводное окно} begin settextstyle(0,0,1); setcolor(10); if (ea mod 2)=0 then begin outtextxy(168,135,'Министерство Высшего образования РФ); outtextxy(168,150,'Московский Государственный Институт'); outtextxy(168,160,' Электронной Техники '); outtextxy(168,170,' (Технический лниверситет) '); outtextxy(168,180,' Лицей №1557 '); outtextxy(168,210,' КУРСОВАЯ РАБО'А '); outtextxy(168,230,' «Вычисление интеграла '); outtextxy(168,245,' метедом Ньютона-Котеса» '); outtextxy(158,270,' Написал: Коноплев А.А. '); outtextxy(158,285,' Руководитель: доцент Колдаев В.Д.'); end else begin outtextxy(168,135,' Department of High Education '); outtextxy(168,150,' Moscow State Institute of '); outtextxy(168,160,' Electronic Technics '); outtextxy(168,170,' (Technics University) '); outtextxy(168,180,' Lyceum №1557 '); outtextxy(168,210,' COURSE WORK '); outtextxy(168,230,' «Calculation of integral '); outtextxy(168,245,' by Newton-Cotes method» '); outtextxy(158,270,' Author: Konoplev A.A. '); outtextxy(158,285,' Supervisor:senior lecturer '); outtextxy(158,300,' Koldaev V.D. '); end; end; procedure win2(ea:word;var k:word);
{Окно выбора способа подсчета } var c:char; x:integer; f:string; begin setcolor(2); setfillstyle(1,5); bar(70,200,340,330); rectangle(75,205,335,325); rectangle(77,207,333,323); settextstyle(0,0,0); setfillstyle(1,15); bar(80,250,330,270); setfillstyle(1,5); bar(80,285,330,305); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(77,220,'Выбирете способ задания значений'); outtextxy(75,230,' функции. '); outtextxy(70,255,' По таблице(в ручную)'); outtextxy(70,295,' По расчетам(автом т.)'); end else begin outtextxy(77,220,' Choose a method of putting in'); outtextxy(75,230,' the values of function. '); outtextxy(70,255,' By the table(by hand)'); outtextxy(70,295,' By calculations(automat.)'); end; helpwin(ea); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(360,140,'В этом способе необходимо'); outtextxy(360,155,'самостоятельно вводить'); outtextxy(360,170,'значения функции.'); end else begin outtextxy(360,140,'In this method you have'); outtextxy(360,155,'to put in values of '); outtextxy(360,170,'function by yourself.'); end; x:=0; repeat if keypressed then begin c:=readkey; if (c=#80) or (c=#72) then x:=x+1; setfillstyle(1,15); if (x mod 2)=0 then begin bar(80,250,330,270); setfillstyle(1,5); bar(80,285,330,305); helpwin(ea); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(360,140,'В этом способе необходимо'); outtextxy(360,155,'самостоятельно вводить'); outtextxy(360,170,'значения функции.'); end else begin outtextxy(360,140,'In this method you have'); outtextxy(360,155,'to put in values of '); outtextxy(360,170,'function by yourself.'); end; end else begin bar(80,285,330,305); setfillstyle(1,5); bar(80,250,330,270); helpwin(ea); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(360,140,'В этом способе компьютер'); outtextxy(360,155,'сам вычесляет значения'); outtextxy(360,170,'функции по вводимой функции.'); end else begin outtextxy(360,140,'In this method PC will'); outtextxy(360,155,'automaticly count the value'); outtextxy(360,170,'of function by the function'); outtextxy(360,185,'you enter '); end; end; setcolor(2); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(70,255,' По таблице(в ручную)'); outtextxy(70,295,' По расчетам(автом т.)'); end else begin outtextxy(70,255,' By the table(by hand)'); outtextxy(70,295,' By calculations(automat.)'); end; end; until c=#13; k:=x mod 2; end; procedure wwod1(ea:word;var y:array of double;var n:integer;var a,b:real);
{Окно ручного ввода функции} var i,p:integer; s,f:string; p1:real; c:char;

begin wwodn(ea,n); if n=0 then wwodn(ea,n); newsc(ea); wwodab(ea,a,b); helpwin(ea); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(360,140,'В этом окне необходимо'); outtextxy(360,155,'постепенно вводить'); outtextxy(360,170,'значения функции.'); outtextxy(360,185,'после каждого ввода'); outtextxy(360,200,'определенного значения'); outtextxy(360,215,'нажмите ENTER.'); end else begin outtextxy(360,140,'In this window you have'); outtextxy(360,155,'to gradually enter the'); outtextxy(360,170,'values of functions.'); outtextxy(360,185,'After each enter press'); outtextxy(360,200,'ENTER key.'); end; setfillstyle(1,9); bar(40,200,330,300); rectangle(45,205,325,295); rectangle(47,207,323,293); if ea mod 2 =0 then outtextxy(56,227,'Введите 0 -е значение финкции:') else outtextxy(56,227,' Enter 0 -th value of function:'); for i:=0 to n do begin setfillstyle(1,0); bar(137,250,180,273); gotoxy(19,17); setfillstyle(1,9); read(p1); y[i]:=p1; bar(120,227,134,240); str(i+1,s); outtextxy(120,227,s); bar(310,220,320,250); end;

end; procedure wwod2(ea:word;var ea1:word;var n:integer;var a,b:real;var st:string);
{Окно 2 меню автомат. подсчета} var i:integer; c,k:char; x:longint; f:string; begin repeat x:=-600000; if keypressed then c:=readkey; c:='t'; newsc(ea); setfillstyle(1,15); bar(70,120,342,330); setcolor(12); rectangle(75,125,337,325); rectangle(77,127,335,323); settextstyle(0,0,0); setfillstyle(1,11); bar(80,170,330,190); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(80,130,'Меню ввода параметров нахождения'); outtextxy(80,140,' интеграла'); outtextxy(80,180,' Ввести количество узлов(n)'); outtextxy(80,210,' Ввести приделы интегрирования'); outtextxy(80,240,' Ввести функцию'); outtextxy(80,270,' Считать интеграл'); outtextxy(80,300,' Выход '); end else begin outtextxy(80,130,'Menu of entering the parameters'); outtextxy(80,140,' of integral'); outtextxy(80,180,' Put in the number of units '); outtextxy(80,210,' Enter the bounds of integral'); outtextxy(80,240,' Enter function'); outtextxy(80,270,' Count integral'); outtextxy(80,300,' Exit '); end; helpwin(ea); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(360,140,' Нажмите Enter для'); outtextxy(360,155,' ввода количества узлов'); end else begin outtextxy(360,140,' Press Enter to put'); outtextxy(360,155,' in the number of units'); end; repeat if keypressed then begin c:=readkey; case c of

#80: x:=x-1;

#72: x:=x+1; end; setfillstyle(1,11); case (abs(x) mod 5) of

0: begin bar(80,170,330,190); setfillstyle(1,15); bar(80,200,330,220); bar(80,290,330,310); helpwin(ea); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(360,140,' Нажмите Enter для'); outtextxy(360,155,' ввода количества узлов'); end else begin outtextxy(360,140,' Press Enter to put'); outtextxy(360,155,'in the number of units.'); end; end;

1: begin bar(80,200,330,220); setfillstyle(1,15); bar(80,170,330,190); bar(80,230,330,250); helpwin(ea); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(360,140,' Нажмите ENTER для ввода'); outtextxy(360,155,'приделов интегрирования.'); end else begin outtextxy(360,140,' Press ENTER to put in'); outtextxy(360,155,'the bounds of integral.'); end; end;

2: begin bar(80,230,330,250); setfillstyle(1,15); bar(80,200,330,220); bar(80,260,330,280); helpwin(ea); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(360,140,' Нажмите ENTER для ввода'); outtextxy(360,155,'функции.'); end else begin outtextxy(360,140,' Press ENTER to enter'); outtextxy(360,155,'function.'); end; end;

3: begin bar(80,260,330,280); setfillstyle(1,15); bar(80,230,330,250); bar(80,290,330,310); helpwin(ea); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(360,140,' Нажмите ENTER для начала'); outtextxy(360,155,'подсчета самого интеграла.'); end else begin outtextxy(360,140,' Press ENTER to begin'); outtextxy(360,155,'integral calculations.'); end; end;

4: begin bar(80,290,330,310); setfillstyle(1,15); bar(80,260,330,280); bar(80,170,330,190); helpwin(ea); end; end; setcolor(12); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(80,130,'Меню ввода параметров нахождения'); outtextxy(80,140,' интеграла'); outtextxy(80,180,' Ввести количество узлов(n)'); outtextxy(80,210,' Ввести приделы интегрирования'); outtextxy(80,240,' Ввести функцию'); outtextxy(80,270,' Считать интеграл'); outtextxy(80,300,' Выход '); end else begin outtextxy(80,130,'Menu of entering the parameters'); outtextxy(80,140,' of integral'); outtextxy(80,180,' Put in the number of units '); outtextxy(80,210,' Enter the bounds of integral'); outtextxy(80,240,' Enter function'); outtextxy(80,270,' Count integral'); outtextxy(80,300,' Exit '); end; end; until c=#13; c:='t'; case (abs(x) mod 5) of

0: begin wwodn(ea,n); end;

1: wwodab(ea,a,b);

2: begin helpwin(ea); setcolor(15); setfillstyle(1,9); bar(70,200,340,300); rectangle(75,205,335,295); rectangle(77,207,333,293); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(86,227,'Введите функцию f(x):'); setcolor(14); outtextxy(360,140,' В этом окне необходимо'); outtextxy(360,155,' ввести саму функцию.'); outtextxy(360,200,'Примечание: 1.данная программа '); outtextxy(360,215,'распознает только '); outtextxy(360,230,'элементарные функции.'); outtextxy(360,245,'(x,cos(x) и др.)'); outtextxy(360,260,’2.При неправильном вводе’); outtextxy(360,275,’по умолчанию f(x)=x;’); outtextxy(360,275,’3.Если после нажатия ENTER’); outtextxy(360,275,’ничего не произошло, то outtextxy(360,275,’занововведите функцию.’); end else begin outtextxy(86,227,'Enter function f(x):'); setcolor(14); outtextxy(360,140,' In this window you have'); outtextxy(360,155,' to enter the function.'); outtextxy(360,200,'Note: This version of '); outtextxy(360,215,'programm can indentify only '); outtextxy(360,230,'simple functions, as'); outtextxy(360,245,'x,cos(x) and other.'); end; setfillstyle(1,0); bar(86,255,330,275); readln; gotoxy(13,17); read(st); writeln(st); readln; end;

3:if (n0)and(ab)and(st'')and((abs(x) mod 5)=3); end; procedure win3(ea:word;n:integer;a,b:real;int:double;f:string;h:array of double;var k:word);
{Последнее окно просмотра результатов} var i:integer; c:char; x:longint; p1,p:string; y:array[0..16] of double; begin funktia(n,a,b,y,1,f); f:='('+f+')'+'dx ='; repeat x:=-600000; newsc(ea); setfillstyle(1,2); bar(170,120,490,360); setcolor(14); rectangle(175,125,485,355); rectangle(177,127,483,353); settextstyle(0,0,0); setfillstyle(1,1); bar(180,170,480,190); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(180,135,Функция распознана.Интеграл подсчитан.'); outtextxy(180,180,' Посмотреть значение интеграла'); outtextxy(180,210,'Посмотреть коэффициенты Ньютона-Котеса'); outtextxy(180,240,' Посмотреть значения функции'); outtextxy(180,270,' Посмотреть график' ); outtextxy(180,300,' Считать снова'); outtextxy(180,330,' Выход '); end else begin outtextxy(180,135,'Function Indentified.Integral counted.'); outtextxy(180,180,' View value of integral'); outtextxy(180,210,' View Newton-Cotes coefficients'); outtextxy(180,240,' Veiw values of function'); outtextxy(180,270,' View graphik ' ); outtextxy(180,300,' Count again'); outtextxy(180,330,' Exit '); end; repeat if keypressed then begin c:=readkey; case c of

#80: x:=x-1;

#72: x:=x+1; end; setfillstyle(1,1); case (abs(x) mod 6) of

0: begin bar(180,170,480,190); setfillstyle(1,2); bar(180,200,480,220); bar(180,320,480,340); end;

1: begin bar(180,200,480,220); setfillstyle(1,2); bar(180,170,480,190); bar(180,230,480,250); end;

2: begin bar(180,230,480,250); setfillstyle(1,2); bar(180,200,480,220); bar(180,260,480,280); end;

3: begin bar(180,260,480,280); setfillstyle(1,2); bar(180,230,480,250); bar(180,290,480,310); end;

4: begin bar(180,290,480,310); setfillstyle(1,2); bar(180,260,480,280); bar(180,320,480,340); end;

5: begin bar(180,320,480,340); setfillstyle(1,2); bar(180,290,480,310); bar(180,170,480,190); end; end; if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(180,135,'Функция распознана.Интеграл подсчитан.'); outtextxy(180,180,' Посмотреть значение интеграла'); outtextxy(180,210,'Посмотреть коэффициенты Ньютона-Котеса'); outtextxy(180,240,' Посмотреть значения функции'); outtextxy(180,270,' Посмотреть график ' ); outtextxy(180,300,' Считать снова'); outtextxy(180,330,' Выход '); end else begin outtextxy(180,135,'Function Indentified.Integral counted.'); outtextxy(180,180,' View value of integral'); outtextxy(180,210,' View Newton-Cotes coefficients'); outtextxy(180,240,' Veiw values of function'); outtextxy(180,270,' View graphik ' ); outtextxy(180,300,' Count again'); outtextxy(180,330,' Exit '); end;

end; until c=#13; c:='t'; case (abs(x) mod 6) of

0:begin setcolor(15); setfillstyle(1,12); bar(140,200,490,280); rectangle(145,205,485,275); rectangle(147,207,483,273); settextstyle(2,0,1); setusercharsize(1,1,5,1); outtextxy(170,210,'S'); settextstyle(2,0,4); str(a:3:3,p); outtextxy(160,257,p); str(b:3:3,p); outtextxy(160,212,p); settextstyle(3,0,2); outtextxy(180,224,f); p:=''; str(abs(int):7:3,p); outtextxy(190+length(f)*12,224,p); readln; end;

1: begin newsc(ea); setfillstyle(1,2); bar(170,120,490,180+n*15); setcolor(14); rectangle(175,125,485,175+n*15); rectangle(177,127,483,173+n*15); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(180,130,'Коэффициенты Ньютона-Котеса:'); outtextxy(180,140+(n+1)*15,'Нажмите ENTER для продолжения'); end else begin outtextxy(180,130,'Newton-Cotes coefficients:'); outtextxy(180,140+(n+1)*15,'Press ENTER to continue'); end; hkoef(n,h); for i:=0 to n do begin str(i,p);str(h[i]:2:4,p1); p:='H'+p+' = '+p1; outtextxy(180,140+i*15,p); end; readln; end;

2:begin newsc(ea); setfillstyle(1,2); bar(170,120,490,180+n*15); setcolor(14); rectangle(175,125,485,175+n*15); rectangle(177,127,483,173+n*15); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(180,130,'Значения функции:'); outtextxy(180,140+(n+1)*15,'Нажмите ENTER для продолжения'); end else begin outtextxy(180,130,'Values of function:'); outtextxy(180,140+(n+1)*15,'Press ENTER to continue'); end; for i:=0 to n do begin str(i,p);str(y[i]:2:4,p1); p:='Y'+p+' = '+p1; p1:=''; outtextxy(180,140+i*15,p); str((a+i*(b-a)/n):2:4,p1); str(i,p); if ea mod 2 = 0 then p:=',При '+'X'+p+' = '+p1 else p:=',When '+'X'+p+' = '+p1; outtextxy(285,140+i*15,p); end;

readln; end;

3: graphik(ea,a,b,f);

5: begin closegraph; halt; end; end; until (abs(x) mod 6)=4; k:=abs(x) mod 6; end; end.

================================================

========МОДУЛЬ GRAPHIC========

================================================ unit graphic; interface uses k_unit,crt,graph; procedure hwg(ea:word); procedure graphik(ea:word;a,b:real;f1:string); implementation procedure hwg(ea:word);
{Процедура окна помощи при графике} var f:string; begin settextstyle(0,0,0); setfillstyle(1,3); bar(150,100,390,380); setcolor(0); rectangle(153,103,387,377); rectangle(155,105,385,375); setcolor(14); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(160,115,' ОКНО ПОМОЩИ'); outtextxy(160,140,' Для работы с графиком'); outtextxy(160,155,' используйте клавиши:'); outtextxy(160,180,' PAGE UP-первоначальный'); outtextxy(160,195,' вид графика;'); outtextxy(160,210,' HOME-начальный масштаб;'); outtextxy(160,225,' INSERT-включить/выключеть'); outtextxy(160,240,' заливку области;'); outtextxy(160,255,' DELETE-включить/выключеть'); outtextxy(160,270,' сетку;'); outtextxy(160,285,' END-показать/убрать цифры'); outtextxy(160,300,' F1- Помощь;'); outtextxy(160,315,' Стрелки ВВЕРХ/ВНИЗ- '); outtextxy(160,330,' увеличение/уменьшение'); outtextxy(160,345,' масштаб .'); outtextxy(160,360,'Для возрата нажмите ENTER.'); end else begin outtextxy(160,115,' HELP WINDOW'); outtextxy(160,140,' For the work with graphic'); outtextxy(160,155,' use this keys:'); outtextxy(160,180,' PAGE UP-Primery form of'); outtextxy(160,195,' graphik;'); outtextxy(160,210,' HOME-Primery scale;'); outtextxy(160,225,' INSERT-Turn on/off inking'); outtextxy(160,240,' the field;'); outtextxy(160,255,' DELETE-Turn on/off the'); outtextxy(160,270,' net;'); outtextxy(160,285,' END-View/delete the figures'); outtextxy(160,300,' F1- Help;'); outtextxy(160,315,' Arrows UP/DOWN-Increase/ '); outtextxy(160,330,' lower the scale;'); outtextxy(160,360,'Press ENTER to continue.'); end; readln; setcolor(15); end; procedure graphik(ea:word;a,b:real;f1:string);
{процедура построения графиков} var f,f2:string; d:char; i,v,r:integer; x1,x2,n,p,x:integer; c,k,k1:longint; y:array[0..1] of double; begin x1:=-240; x2:=240; c:=24; setcolor(15); n:=0;v:=0;r:=0; repeat cleardevice; settextstyle(0,0,0); if ea mod 2 =0 then begin outtextxy(10,1,'Нажмите F1 для помощи'); str(c/24:2:2,f); f:='Масштаб '+f+':1'; end else begin outtextxy(10,1,'Press F1 for help'); str(c/24:2:2,f); f:='Scale '+f+':1'; end; outtextxy(200,1,f); settextstyle(3,0,1); outtextxy(307,10,'y'); outtextxy(574,235,'x'); outtextxy(310,240,'0'); setlinestyle(1,7,100); line(70,240,580,240); line(320,20,320,460); line(320,20,315,25); line(321,20,326,25); line(580,239,575,244); line(580,240,575,235); line(70,239,580,239); line(321,20,321,460); for i:=-9 to 10 do begin if ((320+i*24)71) then line(320+i*24,240,320+i*24,242); if ((240+i*24)19) then line(320,240+i*24,322,240+i*24); end; setcolor(15); for x:= -240+round((240+x1)/10) to 240+round((240+x1)/10) do begin funktia(1,x-1,x,y,c,f1); k:=round(240-(y[0])*c); k1:=round(240-(y[1])*c); if ((k0)or(k10)) then line(319-round((240+x1)/10)+x,k,320-round((240+x1)/10)+x,k1); end; if (v mod 2)=0 then begin funktia(1,a,b,y,1,f1); k:=round(240-(y[0])*c); k1:=round(240-(y[1])*c); line(320-round((240+x1)/10)+round(a*c),k,320- round((240+x1)/10)+round(a*c),240); line(320-round((240+x1)/10)+round(b*c),k1,320- round((240+x1)/10)+round(b*c),240); if 320-round((240+x1)/10)+a*c560 then begin funktia(1,(-240-round((240+x1)/10))/c,(240- round((240+x1)/10))/c,y,1,f1); k1:=round(240-(y[1])*c); line(560,k1,560,240); end; for x:= -240 to 240 do begin funktia(1,x-1,x,y,c,f1); k1:=round(240-(y[1])*c); if ((x/c)>a) and ((x/c)2) then begin if k17 then setfillstyle(6,3) else setfillstyle(1,3); floodfill(320-round((240+x1)/10)+x,k1,15); end; end; end; end; str(x1,f2); outtextxy(1,450,f2); if (n mod 2)=0 then for i:=-9 to 10 do begin settextstyle(2,0,2); setcolor(14); if ((320+i*24)71)and(i0) then begin str((i*24+round((240+x1)/10))/c:2:2,f); p:=247; outtextxy(310+i*24,p,f); str(-i*24/c:2:2,f); outtextxy(330,240+i*24,f); end; end; for i:=-9 to 10 do begin setcolor(15); if ((r mod 2)=1) and (i0) then begin if ((320+i*24)71) then line(320+i*24,20,320+i*24,460); if ((240+i*24)19) then line(80,240+i*24,560,240+i*24); end; end; setcolor(15); d:=readkey; case d of

#75: begin x1:=x1-30; x2:=x2-30; end;

#77: begin x1:=x1+30; x2:=x2+30; end;

#80: if c>1 then c:=c-1;

#72: c:=c+1;

#71: c:=24;

#79: n:=n+1;

#83: r:=r+1;

#82: v:=v+1;

#73: begin c:=24; n:=0;r:=0;v:=0;x1:=-240;x2:=240; end;

#59: hwg(ea); end;

until d=#13; end; end.

================================================

==========МОДУЛЬ UNIT==========

================================================
{$N+}
Unit k_unit;
{Модуль нахождения интеграл от многочлена q(q-1)..(q-i+1)(q-i-1)..(q-n),}
{где n-точность интеграла ,i-номер коофициента. } interface procedure rasposn(f:string;x:real;var ec:word;var t:real); procedure hkoef(n:integer;var h:array of double); procedure funktia(n:integer;a,b:real;var y:array of double;c:real;f:string); procedure koef(w:array of double;n:integer;var e:array of double); procedure mnogochlen(n,i:integer;var c:array of double); function facktorial(n:integer):double; function integral(w:array of double;n:integer):double; function mainint(n:integer;a,b:real;y:array of double):double; implementation procedure rasposn(f:string;x:real;var ec:word;var t:real);
{Процедура распознования функции} var k:word; begin k:=pos('x',f); if k0 then begin {Распознавание функции} ec:=1; {Код ошибки} t:=x; k:=pos('abs(x)',f); if k0 then t:=abs(x); k:=pos('sin(x)',f); if k0 then t:=sin(x); k:=pos('cos(x)',f); if k0 then t:=cos(x); k:=pos('arctg(x)',f); if k0 then t:=arctan(x); k:=pos('sqr(x)',f); if k0 then t:=x*x; k:=pos('exp(x)',f); if k0 then t:=exp(x); k:=pos('cos(x)*x',f); if k0 then t:=cos(x)*x; k:=pos('ln(x)',f); if k0 then begin if x>0 then t:=ln(x) else t:=0; end; k:=pos('sqrt(x)',f); if k0 then if x>=0 then t:=sqrt(x) else t:=0; k:=pos('arcctg(x)',f); if k0 then t:=pi/2-arctan(x); k:=pos('sin(x)/x',f); if k0 then if x0 then t:=sin(x)/x; end else ec:=0; end; procedure funktia(n:integer;a,b:real;var y:array of double;c:real;f:string);
{Процедур подсчет Y-ков и распознавания функции} var t,h,x:real; k,i:integer; es:word; begin h:=(b-a)/n; for i:=0 to n do begin x:=(a+h*i)/c; rasposn(f,x,es,t); y[i]:=t; end; end; procedure koef(w:array of double;n:integer;var e:array of double);
{Изменение коофициентов для интеграла} var t:integer; begin for t:=1 to n do e[t]:=w[t]/(n-t+2); end; procedure mnogochlen(n,i:integer;var c:array of double);
{процедура нахождения коофициентов при Q^n(q в степени n )} var k,j:integer; d:array[1..100] of double; begin d[1]:=1; for j:=1 to n do begin {Вычисление коэффициентов при раскрытии q*(q-1)*(q-2)*..*(q-n)} d[j+1]:=d[j]*j*(-1); if j>1 then for k:=j downto 2 do d[k]:=d[k]+d[k-1]*j*(-1); end; c[1]:=d[1]; {Деление многочлена на (q-i) по схеме Горнера} for j:=1 to n+1 do c[j]:=i*c[j-1]+d[j]; koef(c,n,c); {Изменение коэффициентов при интегрировании} end; function facktorial(n:integer):double;
{функция нахождения факториала } var t:integer; s:double; begin s:=1; if n=0 then s:=1 else for t:=1 to n do s:=s*t; facktorial:=s; end; function integral(w:array of double;n:integer):double;
{функция подсчета самого интеграла} var t,p:integer; s,c:double; begin s:=0;p:=n; for t:=0 to p+1 do s:=s+w[t]*exp((p-t+2)*ln(p)); {Подсчет интеграла} integral:=s; end; procedure hkoef(n:integer;var h:array of double);
{Процедура подсчета коэф. Ньютона-Котеса} var p,j,d,c,i:integer; kq:array[0..20] of double; s:array[0..20] of double; begin p:=n; if (p mod 2)=1 then {Вычисление половины от всех вычислений коэффициентов} d:=round((p-1)*0.5) else d:=round(0.5*p); for i:=0 to n do begin mnogochlen(p,i,kq); s[i]:=integral(kq,p); {Формирование массива из интегралов} end; for i:=0 to d do begin if ((p-i) mod 2) = 0 then c:=1 else c:=(-1); h[i]:=(c*s[i])/(facktorial(i)*facktorial(p-i)*p); h[p-i]:=h[i]; end; end; function mainint(n:integer;a,b:real;y:array of double):double;
{функция подсчета основного интеграла} var sum:double; p,i:integer; kq,h:array[0..20] of double; begin p:=n; hkoef(n,h); sum:=0; for i:=0 to p do sum:=sum+h[i]*y[i]; {Сумма произведений y-ков на коэффициенты} mainint:=sum*(b-a); end; end.

================================================

=======ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА=======

================================================

{$N+} program Newton_Cotes_metod;{Программа нахождения определенного интеграла} uses {методом Ньютона-Котеса } k_unit,k_graph,graph,crt; const t=15; var c:char; a1,b1,a,b:real; n1,v,r,n:integer; h,y:array[0..t] of double; ea,k:word; int:double; f:string; begin ea:=10; v:=detect; initgraph(v,r,''); cleardevice; newsc(ea); winwin1; setcolor(15); outtextxy(380,430,'Нажмите F2 для смены языка.'); repeat win1(ea); settextstyle(3,0,1); outtextxy(178,340,'Press Enter...'); delay(13000); bar(178,340,350,365); delay(13000); if keypressed then {Смена языка} begin c:=readkey; if c=#60 then begin ea:=ea+1; newsc(ea); winwin1; setcolor(15); if ea mod 2 =0 then outtextxy(380,430,'Нажмите F2 для смены языка.') else outtextxy(380,430,'Press F2 key to change language.'); end; end; until c=#13; repeat newsc(ea); win2(ea,k); {Ввод способа задания функции} case k of

0: wwod1(ea,y,n,a,b);

1: begin wwod2(ea,ea,n1,a1,b1,f); n:=n1;a:=a1;b:=b1; k:=4; end; end; if k=4 then funktia(n,a,b,y,1,f); int:=mainint(n,a,b,y); {Вычисление интеграла} hkoef(n,h); proline(ea); win3(ea,n,a,b,int,f,h,k); {Последнее меню вывода результатов} until k4; closegraph; end.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Рассмотрим результаты тестовых испытаний для функций sin(x) на интервале [-5;3] и exp(x) на интервале [2;8]

| |n=1 |n=2 |n=3 |n=4 |n=5 |n=7 |
|Sin(x) |4,040017 |3,02112 |0,087629 |1,779012 |1,537481 |1,246 |
|Exp(x) |8965,041 |3581,999 |3271,82 |3002,908 |2990,644 |2974,322 |
|N=9 |n=12 |
|1,273561 |1,27366 |
|2973,593 |2973,569 |

Видно, что при увеличении числа узлов интерполяции точность растет, однако при больших n (n>15) наблюдался обратный эффект.
Рекомендуемый диапозон n: от 7 до 13.

1) Интерфейс программы составлен на 2 языках: русском и английском. Переход с одного языка на другой осуществляется в вводном окне путем нажатия клавишы F2. Сменить язык можно только в этой части программы.
2) При вводе значений функции вручную необходимо вводить только цифры и после каждого ввода нажимать клавишу ENTER.
3) При испытании программы под разные операционные системы(Dos, Windows 98-

2k,NT, из под паскаля) происходил непонятный баг с неверным выводом на экран значений коэффициентов Ньютона-Котеса, хотя интеграл считался верно. Для нормального нахождения их желательно запускать программу через

Dos.
4) При вводе параметров в “Меню задания параметров нахождения интеграла” желательно их вводить постепенно сверху вниз, т.е. сначала ввести количество узлов интерполяции, затем пределы интегрирования, а уж потом вводить саму функцию.
5) Данная версия программы не способна распознавать все функции. Она может распознать только стандартные функции Турбо Паскаля и еще несколько дотполнительных: sin(x)/x, cos(x)*x ,arcctg(x). Для работы со специфическими функциями необходимо в модуле K-unit в процедуре RASPOSN в конце, перед end else, добавить : k:=pos(‘Формула f(x)’,f); if k0 then t:= ‘Формула f(x)’; где ‘Формула f(x)’ – желаемая формула для распознования.
6) Вся помощь по вводу и работе с пограммой выводится в окне помощи.

Для нахождения интеграла существует много методов, однако, метод
Ньютона-Котеса один из самых быстрых: достаточно знать значения коэффициентов для n=4, чтобы с точностью до сотых мгновенно посчитать интеграл. Быстрота и простота –главные части этого метода.

В.И. Грызлов «Турбо Паскаль 7.0» Москва: ДМК 2000г.
Данилина «Численные методы» Москва: Высшая школа 1978г.

-----------------------
[pic]

[pic]