Министерство образования Российской Федерации

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Финансово-экономический факультет

Кафедра МММЭ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине "Многомерные статистические методы"

Компонентный и факторный анализ

ОГУ 061700.5001.06 00

Руководитель работы

__________________ Реннер А.Г.

“____”_____________2001г.

Исполнитель

студент гр.99ст

______________ Рамазанов М.И.

“_____”____________2001г.

Оренбург 2001

Содержание

Задание……………………………………………………………………………3
Введение……………………………………………………………………….….4

1 Исследование на мультиколлинеарность……………………………..……5

2 Метод главных компонент………………………………………………..….7

2.1 Вычисление главных компонент……………………………………….…7

2.2 Экономическая интерпретация полученных главных компонент…..…12

2.3 Матрица наблюденных значений главных компонент……………...….12

2.4 Классификация объектов…………………………………………………13

2.5 Уравнение регрессии на главные компоненты………………………….13
3 Факторный анализ………………………………...…………………………15

3.1 Преобразование матрицы парных коэффициентов корреляции в редуцированную матрицу, получение матрицы факторных нагрузок и экономическая интерпретация ………………………………………………..…...16

3.2 Графическая классификация объектов по двум общим факторам…….19

3.3 Переход к обобщенным факторам с помощью варимаксного вращения ……………………………………………………………………...19

3.4 Построение функции регрессии на выделенные общие факторы…......21
Список использованной литературы………………………………………...22
Приложения………………………………………………………..………...…23

Задание

По имеющимся данным производственно-хозяйственной деятельности предприятий машиностроения:
Y1 – производительность труда;
X5 – удельный вес рабочих в составе ППП;
X6 – удельный вес покупных изделий;
X7 – коэффициент покупных изделий;
X9 – удельный вес потерь от брака;
X17 – непроизводственные расходы.
1. Выявить наличие мультиколлинеарности.
2. Снизить размерность признакового пространства и удалить наличие мультиколлинеарности следующими методами:
Метод главных компонент:

- для факторных признаков найти оценку матрицы парных коэффициентов корреляции, найти собственные числа и собственные вектора;

- на основании матрицы собственных чисел определить вклад главных компонент в суммарную дисперсию признаков, отобрать и указать m (m[pic] , то гипотеза Н0 отвергается и матрица является значимой, следовательно, имеет смысл проводить компонентный анализ.

Проверим гипотезу о диагональности ковариационной матрицы

Выдвигаем гипотезу:

Н0: соv[pic]=0, [pic]

Н1: соv[pic]

Строим статистику [pic], распределена по закону [pic] с [pic] степенями свободы.
[pic]=123,21, [pic](0,05;10) =18,307 т.к [pic]>[pic] то гипотеза Н0 отвергается и имеет смысл проводить компонентный анализ.

Для построения матрицы факторных нагрузок необходимо найти собственные числа матрицы [pic], решив уравнение[pic].

Используем для этой операции функцию eigenvals системы MathCAD, которая возвращает собственные числа матрицы:

[pic]
Т.к. исходные данные представляют собой выборку из генеральной совокупности, то мы получили не собственные числа [pic] и собственные вектора матрицы, а их оценки. Нас будет интересовать на сколько “хорошо” со статистической точки зрения выборочные характеристики описывают соответствующие параметры для генеральной совокупности.

Доверительный интервал для i-го собственного числа ищется по формуле:[pic]

Доверительные интервалы для собственных чисел в итоге принимают вид:

[pic]

[pic][pic]

Оценка значения нескольких собственных чисел попадает в доверительный интервал других собственных чисел. Необходимо проверить гипотезу о кратности собственных чисел.

Проверка кратности производится с помощью статистики

[pic] , где r-количество кратных корней.

Данная статистика в случае справедливости [pic]распределена по закону
[pic] с числом степеней свободы [pic]. Выдвинем гипотезы:[pic][pic]

[pic]

Так как [pic], то гипотеза [pic] отвергается, то есть собственные числа
[pic] и [pic] не кратны.

Далее,

:[pic][pic]

[pic]

Так как [pic], то гипотеза [pic] отвергается, то есть собственные числа
[pic] и [pic] не кратны.

:[pic][pic]

[pic]

Так как [pic], то гипотеза [pic] отвергается, то есть собственные числа
[pic] и [pic] не кратны.

Необходимо выделить главные компоненты на уровне информативности
0,85. Мера информативности показывает какую часть или какую долю дисперсии исходных признаков составляют k-первых главных компонент. Мерой информативности будем называть величину: [pic]
I1=[pic]=0,458
I2=[pic]=0,667
I3=[pic]
На заданном уровне информативности выделено три главных компоненты.

Запишем матрицу [pic]=[pic]

Для получения нормализованного вектора перехода от исходных признаков к главным компонентам необходимо решить систему уравнений: [pic], где [pic]- соответствующее собственное число. После получения решения системы необходимо затем нормировать полученный вектор.

Для решения данной задачи воспользуемся функцией eigenvec системы
MathCAD, которая возвращает нормированный вектор для соответствующего собственного числа.
В нашем случае первых четырех главных компонент достаточно для достижения заданного уровня информативности, поэтому матрица U (матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов)

Строим матрицу U, столбцами которой являются собственные вектора:
U=[pic].

Матрица весовых коэффициентов:

[pic]

[pic]
А=[pic].

Коэффициенты матрицы А являются коэффициентами корреляции между центрировано – нормированными исходными признаками и ненормированными главными компонентами, и [pic] показывают наличие, силу и направление линейной связи между соответствующими исходными признаками и соответствующими главными компонентами.

2.2 Экономическая интерпретация полученных главных компонент

Коэффициент [pic] матрицы А представляют собой коэффициенты корреляции между i-ой главной компонентой и j-ым исходным признаком.

Так как первая главная компонента зависит главным образом от первого
(X5 – удельный вес рабочих в составе ППП) и третьего (X7 – коэффициент сменности оборудования) исходного признака, следовательно ее можно обозначить как «Эффективность основного производства». Вторая главная компонента тесно взаимосвязана со вторым (X6 – удельный вес покупных изделий) и четвертым (X9 – удельный вес потерь от брака) исходными признаками, ее можно обозначить как «Удельный вес затрат не приносящих прибыль». Третья главная компонента взаимосвязана с четвертым исходным признаком, поэтому ее обозначим «Удельный вес потерь от брака».

2.3 Матрица наблюденных значений главных компонент.

Мы получили ненормированные главные компоненты. Проведя нормирование полученных центрированных [pic], получим [pic]. При нормировании [pic] дисперсия должна равняться 1, [pic]. Для этого нужно разделить [pic] на среднеквадратическое отклонение [pic].
[pic]

Обозначим [pic] - это матрица весовых коэффициентов, с помощью которой устанавливается связь между нормированными исходными признаками и нормированными главными компонентами.

Модель метода главных компонент:

[pic] где
[pic]- значение I-той стандартизированной переменной по j-ому объекту наблюдения;
[pic]- m-тая главная компонента по j-ому объекту наблюдения;

[pic]- весовой коэффициент m-той главной компоненты и I-той переменной.

Эту матрицу будем строить, исходя из соотношения [pic], где [pic]- диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят дисперсии соответствующих главных компонент в минус первой степени;

[pic] - транспонированная матрица факторных нагрузок;

Х- матрица наблюденных значений исходных признаков.

Данная формула хороша тем, что она верна и в том случае, если матрица
А не квадратная (т.е. выделено m