Постановка задачи
Целью данного исследования является изучение изменения выработки рабочего (млн. руб.) под действием следующих факторов:
Выполнение норм выработки, %
Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, %
Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел
Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел
Удельный вес обновленных основных фондов, %
Выдвинем гипотезы о характере зависимости между факторами и результирующим показателем:
I. Зависимость между выполнением нормы выработки и выработкой рабочего:
- Выполнение норм выработки увеличилось – объем выработки рабочего увеличился.
- Выполнение норм выработки увеличилось – объем выработки рабочего не изменился.
- Выполнение норм выработки увеличилось – объем выработки рабочего уменьшился.
II. Зависимость между удельным весом рабочих, невыполняющих нормы, и выработкой рабочего:
- Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличился – объем выработки рабочего увеличился.
- Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличился – объем выработки рабочего не изменился.
- Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.
III. Зависимость между вооруженностью рабочего активной частью основных фондов и выработкой рабочего:
- Вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего увеличился.
- Вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего не изменился.
- Вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего уменьшился.
IV. Зависимость между электровооруженностью труда рабочего и выработкой рабочего:
- Электровооруженность труда рабочего увеличилась – объем выработки рабочего увеличился.
- Электровооруженность труда рабочего увеличилась – объем выработки рабочего не изменился.
- Электровооруженность труда рабочего увеличилась – объем выработки рабочего уменьшился.
V. Зависимость между удельным весом обновленных фондов и выработкой рабочего:
- Удельный вес обновленных основных фондов увеличился – объем выработки рабочего увеличился.
- Удельный вес обновленных основных фондов увеличился – объем выработки рабочего не изменился.
- Удельный вес обновленных основных фондов увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.
Проверка требований, предъявляемых к исходным данным
1. Проверим данные на однородность. Используя коэффициент вариации (который должен быть меньше или равен 0,33), мы можем сказать, что следующие факторы являются неоднородными:
Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, %
Удельный вес обновленных основных фондов, %
2. Проверим достаточность наблюдений. Для этого должно выполняться соотношение n-p-1>30 или n/p≥4(3), получаем, что 35-5-1<30 или 35/5≥4(3), поэтому наши факторы нельзя считать достаточными.
3. Определим форму зависимости и тесноту связи между факторами и результирующим показателем. Для этого построим поля корреляции и рассчитаем корреляционную матрицу. Cвязь между выработкой рабочего и:
выполнением норм выработки прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)
удельным весом рабочих, невыполняющих нормы обратная и достаточно тесная
(r ≈ -0,88)
вооруженностью рабочего активной частью основных фондов прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,97)
электровооруженностью труда рабочего прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)
удельным весом обновленных основных фондов прямая и слабая (r ≈ 0,06)
Далее проведем анализ существенности факторов, оставляя наиболее значимые для нашей модели. В итоге получаем, что у нас остается только 3 фактора: удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, вооруженность рабочего активной частью основных фондов, электровооруженностью труда рабочего, которые наименее зависимы друг от друга и наиболее сильно влияют на наш результирующий показатель.
На основе этих выводов начинаем расчет параметров регрессионной модели.
регрессионный модель норма выработка
Расчет параметров регрессионной модели
| Регрессионная статистика | |
| Множественный R | 0.987 |
| R-квадрат | 0.973 |
| Нормированный R-квадрат | 0.968 |
| Стандартная ошибка | 191.728 |
| Наблюдения | 32 |
Из данной таблицы видно, что связь между результирующим показателем и факторами, влияющими на него довольно тесная (коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что данные факторы объясняют зависимый показатель ≈ на 98% (коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 5 | 35004128.889 | 7000825.778 | 190.449 | 1.28667E-19 |
| Остаток | 26 | 955747.986 | 36759.538 | ||
| Итого | 31 | 35959876.875 |
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | |
| Y-пересечение | 1474.909 | 477.841 | 3.087 | 0.005 |
| Выполнение норм выработки, % | 0.206 | 3.963 | 0.052 | 0.959 |
| Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, % | -300.376 | 75.323 | -3.988 | 0.000 |
| Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел | 2.483 | 0.295 | 8.429 | 0.000 |
| Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел | 0.569 | 0.152 | 3.743 | 0.001 |
| Удельный вес обновленных основных фондов, % | -0.680 | 12.887 | -0.053 | 0.958 |
Проверим статистическую значимость параметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр модели считается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В нашем случае t табличное = 2,056 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений – количество факторов –1 = 32-5-1=26. Таким образом получаем, что
- t выполнения норм выработки < t табличного
0,052 < 2,056, поэтому данный фактор исключаем из модели, т.к. значение этого фактора наиболее статистически не значимо, по сравнению с другими факторами.
- t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t табличного
|-3,988|> 2,056, поэтому данный фактор надежный
- t вооруженности рабочего активной частью основных фондов > t табличного
8,429 > 2,056, поэтому данный фактор надежный
- t электровооруженности труда рабочего > t табличного
3,743 > 2,056, поэтому данный фактор надежный
- t удельного веса обновленных основных фондов < t табличного
|-0,053|<2,056, поэтому данный фактор ненадежный.
Исключив выполнение норм выработки, мы получаем следующие результаты
| Регрессионная статистика | |
| Множественный R | 0,987 |
| R-квадрат | 0,973 |
| Нормированный R-квадрат | 0,969 |
| Стандартная ошибка | 188,153 |
| Наблюдения | 32 |
Из данной таблицы видно, что связь между результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная (коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что данные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98% (коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 4 | 35004029,967 | 8751007,492 | 247,191 | 7,62398E-21 |
| Остаток | 27 | 955846,908 | 35401,737 | ||
| Итого | 31 | 35959876,875 |
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | |
| Y-пересечение | 1491,715 | 344,700 | 4,328 | 0,0002 |
| Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, % | -301,202 | 72,248 | -4,169 | 0,0003 |
| Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел | 2,491 | 0,243 | 10,230 | 0,0000 |
| Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел | 0,568 | 0,149 | 3,817 | 0,0007 |
| Удельный вес обновленных основных фондов, % | -0,347 | 10,966 | -0,032 | 0,9750 |
Проверим статистическую значимость параметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр модели считается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В этом случае t табличное = 2,052 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений – количество факторов –1 = 32-4-1=27. Таким образом получаем, что
- t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t табличного
|-4,169|> 2,052, поэтому данный фактор надежный
- t вооруженности рабочего активной частью основных фондов > t табличного
10,230 > 2,052, поэтому данный фактор надежный
- t электровооруженности труда рабочего > t табличного
3,817 > 2,052, поэтому данный фактор надежный
- t удельного веса обновленных основных фондов < t табличного
|-0,032|<2,052, поэтому данный фактор исключаем из модели.
Исключив удельный вес обновленных основных фондов, мы получаем следующие результаты
| Регрессионная статистика | |
| Множественный R | 0,987 |
| R-квадрат | 0,973 |
| Нормированный R-квадрат | 0,971 |
| Стандартная ошибка | 184,766 |
| Наблюдения | 32 |
Из данной таблицы видно, что связь между результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная (коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что данные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98% (коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 3 | 35003994,574 | 11667998,191 | 341,783 | 3,76386E-22 |
| Остаток | 28 | 955882,301 | 34138,654 | ||
| Итого | 31 | 35959876,875 |
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | |
| Y-пересечение | 1494,197 | 329,602 | 4,533 | 0,000099 |
| Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, % | -301,747 | 68,898 | -4,380 | 0,000151 |
| Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел | 2,491 | 0,239 | 10,430 | 0,000000 |
| Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел | 0,566 | 0,132 | 4,299 | 0,000187 |
Уровень значимости у обоих факторов меньше 0,05.
Получаем следующую модель
X0=1494,197-301,747x2+2,491x3+0,566x4
Проверим полученную модель на надежность с помощью критерия Фишера. В нашем случае Fрасч.= 341,783, а Fтабл.=2,947, поэтому данная модель является надежной (Fрасч>Fтабл).
Для оценки качества регрессии рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации
| Наблюдение | Предсказанное выработка рабочего, млн.руб. | Остатки | Выработка рабочего, (млн.руб.) фактич | Отн погреш |
| 1 | 3960,03 | -269,03 | 3691,00 | 0,07 |
| 2 | 3442,05 | 273,95 | 3716,00 | 0,07 |
| 3 | 3905,43 | -140,43 | 3765,00 | 0,04 |
| 4 | 4186,50 | -167,50 | 4019,00 | 0,04 |
| 5 | 4237,83 | 15,17 | 4253,00 | 0,00 |
| 6 | 4201,88 | 61,12 | 4263,00 | 0,01 |
| 7 | 4364,52 | -77,52 | 4287,00 | 0,02 |
| 8 | 4631,87 | -158,87 | 4473,00 | 0,04 |
| 9 | 4549,11 | 19,89 | 4569,00 | 0,00 |
| 10 | 4777,32 | -180,32 | 4597,00 | 0,04 |
| 11 | 4824,86 | -176,86 | 4648,00 | 0,04 |
| 12 | 5180,78 | -40,78 | 5140,00 | 0,01 |
| 13 | 5200,13 | 18,87 | 5219,00 | 0,00 |
| 14 | 5020,98 | 231,02 | 5252,00 | 0,04 |
| 15 | 5446,69 | -168,69 | 5278,00 | 0,03 |
| 16 | 5151,89 | 130,11 | 5282,00 | 0,02 |
| 17 | 5321,41 | 43,59 | 5365,00 | 0,01 |
| 18 | 5404,72 | -38,72 | 5366,00 | 0,01 |
| 19 | 5398,77 | 111,23 | 5510,00 | 0,02 |
| 20 | 5391,17 | 143,83 | 5535,00 | 0,03 |
| 21 | 5748,79 | -130,79 | 5618,00 | 0,02 |
| 22 | 5326,94 | 355,06 | 5682,00 | 0,06 |
| 23 | 5577,32 | 176,68 | 5754,00 | 0,03 |
| 24 | 6048,86 | -52,86 | 5996,00 | 0,01 |
| 25 | 6311,85 | -212,85 | 6099,00 | 0,03 |
| 26 | 6099,09 | 8,91 | 6108,00 | 0,00 |
| 27 | 6270,27 | 359,73 | 6630,00 | 0,05 |
| 28 | 6653,02 | 97,98 | 6751,00 | 0,01 |
| 29 | 6810,74 | 15,26 | 6826,00 | 0,00 |
| 30 | 7123,60 | 98,40 | 7222,00 | 0,01 |
| 31 | 7722,25 | -388,25 | 7334,00 | 0,05 |
| 32 | 7555,35 | 42,65 | 7598,00 | 0,01 |
| 0,86 | ||||
| Средняя относительная ошибка аппроксимации | 2,679 | |||
В нашем случае, ошибка аппроксимации (έ) равна:
έ= (0,86/32)*100%=2,68%
Так как средняя ошибка аппроксимации допускается не более 10%, то точность нашей модели можно считать приемлемой.
Анализ результатов моделирования
Итак, в нашем случае, получилось следующие уравнение регрессии в натуральном масштабе
X0=1494,197-301,747x2+2,491x3+0,566x4
Анализируя его, мы можем сделать следующие выводы:
если удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 %, а вооруженность рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 301,747 млн. руб.
если вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 руб./чел., а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 2,491 млн. руб.
если электровооруженность труда рабочего увеличить на 1 кВтчас/чел, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,566 млн. руб.
Рассчитаем уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:
β2= -301,75*(0,87/1077,03)= -0,242 β3=2,49*(273,33/ 1077,03)= 0,632
β4=0,57*(358,26/1077,03)=0,188
Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе имеет следующий вид
t0=-0,242t2+0,632t3+0,188t4
Это значит, что:
если удельныйвес рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 его стандартное отклонение, а вооруженность рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,242σ.
если вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 его стандартного отклонения, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,632 σ.
если электровооруженность труда рабочего увелечить на 1 его стандартного отклонения, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увелечится на 0,188 σ.
Рассчитаем коэффициенты эластичности
Э2= -301,75*(0,28/5370,19)= -0,016 и Э3=2,49*(1028,09/5370,19)=0,477
Э4= 0,57*(2474/5370,19)= 0,261
из этого следует, что:
если удельныйвес рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1%, а вооруженность рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,016%.
если вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на %, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,477%.
если электровооруженность труда рабочего увеличить на 1%, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,261%.