5 | 2 | 3 | 1 | 6 | 4 | 8 | 9 | 5 | 7 |
4 | 7 | 8 | 2 | 9 | 10 | 4 | 5 | 3 | 2 |
9 | 7 | 8 | 6 | 5 | 4 | 3 | 5 | 2 | 1 |
2 | 3 | 4 | 1 | 5 | 6 | 7 | 5 | 3 | 10 |
Вычислить критерий хи-квадрат и сделать вывод о нормальности данного распределения.
Построить график эмпирического распределения.
Критерий Пирсона
Наблюдаемый критерий Пирсона вычисляется по следующей формуле:
критерий пирсон колмогоров распределение частота
,
где
-
наблюдаемая
частота;
- теоретическая
частота.
Массив данных о значениях случайной величины X, как элементов выборки представим в таблице 1.1 в ячейках В2:К5.
Таблица
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | |
1 | |||||||||||
2 | 5 | 2 | 3 | 1 | 6 | 4 | 8 | 9 | 5 | 7 | |
3 | 4 | 7 | 8 | 2 | 9 | 10 | 4 | 5 | 3 | 2 | |
4 | 9 | 7 | 8 | 6 | 5 | 4 | 3 | 5 | 2 | 1 | |
5 | 2 | 3 | 4 | 1 | 5 | 6 | 7 | 5 | 3 | 10 | |
6 | |||||||||||
7 | n= | 40 | k= | 6,31884 | |||||||
8 |
![]() |
10 | h= | 1,42431 | |||||||
9 | 1 |
Разобьем
исходные данные
по интервалам.
Количество
интервалов
вычислим по
формуле
, где n
– объем выборки.
Объем
выборки определим
с помощью функции
СЧЕТ
.
Для этого установим
курсор в ячейку
В7,
щелкнем мышкой
над кнопкой
,
которая находится
на панели
инструментов.
Появится окно
«Мастер
функций – шаг
1 из 2»,
в котором в
категории
«Статистические»
выбираем функцию
СЧЕТ.
Затем
мышкой выполним
команду ОК.
В появившемся
окне «Аргументы
функции» поставим
курсор в строку
ввода «Значение
1» и
мышкой выделим
массив В2:К5,
щелкнем
мышкой ОК.
В
ячейке В7
появится
значение объема
данных, число
40.
Введем в ячейку Е7 формулу: =1+3,32*Log(В7),в ячейке Е7 появится число 6,31884.
Далее
вычислим шаг
интервалов,
используя
формулу
,
где
- максимальное
значение варианты
из массива
данных;
– минимальное
значение варианты;
k
– количество
интервалов.
Выделим пустую ячейку В8 и вызовем окно «Мастер функций – шаг 1 из 2», в котором инициируем функцию «МАКС», введем в строку ввода блок ячеек В2:К5. В ячейке В8 появится максимальное значение данных, число 10.Выделим пустую ячейку В9 и вызовем окно «Мастер функций – шаг 1 из 2», в котором инициируем функцию «МИН», введем в строку ввода блок ячеек В2:К5. В ячейке В9 появится максимальное значение данных, число 1.
Теперь введем в ячейку Е8 формулу: =(В8-В9)/Е7. Получим значение шага h=1,42431. Округлим его, получаем h=1,5.
Таким
образом, имеем
шаг h=1,5,
количество
интервалов
округлим до
7, k=7.
Вычислим
теоретические
частоты по
интервалам
. Для этого построим
новую расчетную
таблицу 1.2. Значения
частот определяем
с использованием
функции ЧАСТОТА(
).
Введем
в ячейку В11
заголовок для
левого конца
интервала
,
в ячейку С11
– заголовок
правого конца
интервала
.
Далее вводим
значения в
столбцы В12:В18
и С12:С18.
Таблица
A | B | C | D | E | F | G | H | I | |
10 | |||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 | 1 | 2,5 | 3 | 1,75 | 5,25 | 59,7417 |
|
-1,4232 | |
13 | 2,5 | 4 | 5 | 3,25 | 16,25 | 43,882 | -1,4232 | -0,8482 | |
14 | 4 | 5,5 | 10 | 4,75 | 47,5 | 21,3891 | -0,8482 | -0,2731 | |
15 | 5,5 | 7 | 7 | 6,25 | 43,75 | 0,00984 | -0,2731 | 0,30188 | |
16 | 7 | 8,5 | 7 | 7,75 | 54,25 | 16,5473 | 0,30188 | 0,8769 | |
17 | 8,5 | 10 | 3 | 9,25 | 27,75 | 27,6792 | 0,8769 | 1,45192 | |
18 | 10 | 11,5 | 5 | 10,75 | 53,75 | 102,945 | 1,45192 |
|
|
19 | сумма | 40 | 248,5 | 272,194 | |||||
20 |
|
6,2125 | 6,80484 | ||||||
21 |
|
2,60861 |
1) Выделим
мышкой пустой
столбец D12:D18.
Щелкнем
мышкой над
кнопкой
функцию ЧАСТОТА.
Появится окно
«Аргументы
и функции».
Вводим в строку
массив данных
блок В2:К5.
Затем
переводим
курсор в строку
массив интервалов.
Т.е. выделяем
столбец В12:В18
и
нажимаем
последовательно
на клавиатуре
три кнопки
Ctrl+Shift+Enter.
2) Столбец
Е12:Е18 заполним
средними значениями
каждого интервала.
В столбце
F12:F18
вычислим
средние значения
для всего массива
данных . Для
этого в ячейку
F12
вводим
формулу
=D12*E12
и
протягиваем
мышкой значение
этой ячейки
до конца таблицы.
В ячейке F19
вычисляем
сумму, а в ячейке
F20
–
среднее
значение по
формуле =F19/D19.
=6,2125
3) Вычисляем среднее квадратическое отклонение по формуле
.
Вводим
с клавиатуры
в ячейку G12
формулу =(E12-59,875)^2*D12
и
протягиваем
ячейку до ячейки
G18.
Далее
вычисляем в
G19
сумму,
в ячейке G20
–
среднее значение,
разделив сумму
на 40 и в ячейке
G21
извлекаем
корень квадратный
по формуле
=корень(G20).
2,60861.
Вычислим
безразмерные
аргументы
для левых концов
интервала и
для
правых концов
интервала по
формуле
.
В ячейку
H12
вводим формулу
=(В12-6,2125)/
2,60861
и протягиваем
ее до конца
столбца, т.е.
заполняем
нижние значения
соответствующими
вычислениями.
Аналогично
вычисляем
величины
формулой:
=(C12-6,2125)/
2,60861.
Далее
вычисляем
значения функций
Лапласа F(
и
F(
по
таблице
и результаты
помещаем в
новую расчетную
таблицу 1.3 в ячейки
В24:В30
и С24:С30.
Таблица 1.3
A | B | C | D | E | F | |
22 | ||||||
23 |
F( |
F( |
|
|
|
|
24 | -0,5 | -0,4222 | 1,75 | 3,112 | 0,00403 | |
25 | -0,4222 | -0,2968 | 3,25 | 5,016 | 5,1E-05 | |
26 | -0,2968 | -0,1064 | 4,75 | 7,616 | 0,74625 | |
27 | -0,1064 | 0,1179 | 6,25 | 8,972 | 0,43344 | |
28 | 0,1179 | 0,315 | 7,75 | 7,884 | 0,09912 | |
29 | 0,315 | 0,4265 | 9,25 | 4,46 | 0,47794 | |
30 | 0,4265 | 0,5 | 10,75 | 2,94 | 1,4434 | |
31 | сумма | 40 | 3,20423 |
Вычисляем
теоретические
частоты по
формуле
F(
F(
.
Вводим в ячейку
E24
формулу
=(С24-В24)*60
и
протягиваем
формулу до
конца столбца.
Вычисляем критерий Пирсона Хи-квадрат. В ячейку F24 вводим формулу: =(D12-E24)^2/E24.
В
итоге, как видно
из таблицы 1.3
получено
3,20423.
Сравним
найденное
значение с
табличным по
уровню значимости
α=0,05
и
степени свободы
s=k-2=7-2=5.
=11,1
Т.о., наблюдаемый критерий меньше табличного, следовательно, исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
Критерий согласия Колмогорова - Смирнова
Вычислим
критерий D
по формуле
,
где
– экспериментальные
и теоретические
накопленные
частоты соответственно.
Накопленные
частоты получаются
путем последовательного
сложения частот
по всем интервалам,
начиная с первого.
Для удобства
вычислений
составим расчетную
таблицу 2.1.
Таблица 2.1
A | B | C | D | E | F | G | H | I | |
32 | |||||||||
33 |
|
3 | 5 | 10 | 7 | 7 | 3 | 5 | |
34 |
|
3 | 8 | 18 | 25 | 32 | 35 | 40 | |
35 |
|
3,112 | 5,016 | 7,616 | 8,972 | 7,884 | 4,46 | 2,94 | |
36 |
|
3,112 | 8,128 | 15,744 | 24,716 | 32,6 | 37,06 | 40 | |
37 |
|
0,112 | 0,128 | 2,256 | 0,284 | 0,6 | 2,06 | ||
38 | Dmax = | 2,256 |
Максимальное
значение абсолютной
разности накопленных
частот равно
2,256.
По формуле
делим его на
n=40
и получим D=0,0564.
Найдем табличное
значение критерия
с уровнем
значимости
α=0,05
и
степенью свободы
n=40.
.
Следовательно,
исходные данные
соответствуют
нормальному
распределению,
т.к.
.
Т.о., второй метод подтверждает наличие нормального распределения выборки.
Построение графика распределения частот
Для
построения
графика распределения
частот используем
данные таблицы
1.3. В качестве
абсциссы берем
координаты
массив D24:D30.
В качестве
ординат – блок
E24:E30.
Выполним команду ВСТАВКА из верхнего меню. Выберем пиктограмму Точечная и в появившемся окне вид плавной кривой с точками.
В верхней ленте выбрать команду Выбрать данные. Появится окно Выбор исходных данных. После чего выделяем столбец D24:D30 нажимаем клавишу Ctrl на клавиатуре и, опуская ее, выделяем столбец E24:E30. Щелкнем по команде ОК. Появится изображение графика.
7