1. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей
Имеет ли игра седловую точку?
Решение:
Найдем по каждой строчке платежной матрицы минимальное число αi = min (αi1, αi2, αi3) – это гарантированный выигрыш игрока А, при выборе им соответствующей стратегии. Чтобы получить максимально возможный гарантированный выигрыш, игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой αij имеет максимальное значение – α = max(α1, α2, α3) – это нижняя цена игры.
Для игрока В выберем по каждому столбцу максимальное число βj = max(α1j, α2j, α3j) – это гарантированный проигрыш игрока В при выборе им стратегии Вj. Найдем минимальное из этих чисел β = min (β 1, β 2, β 3) – это верхняя цена игры. Занесем полученные данные в таблицу 1.
Нижняя цена игры α = 8 равна верхней цене игры β = 8. Значит, игра имеет седловую точку. Для игрока А оптимальная стратегия – А1, для игрока В оптимальная стратегия – В1.
Ответ: α = β = 8, игра имеет седловую точку, оптимальные стратегии (А1, В1).
Таблица 1 – Определение цены игры платежной матрицы
В1 | В2 | В3 | ||
А1 | 8 | 9 | 9 | α1 = min (8, 9, 9) = 8 |
А2 | 6 | 5 | 8 | α2 = min (6, 5, 8) = 5 |
А3 | 3 | 4 | 5 | α3 = min (3, 4, 5) = 3 |
β1 = max(8, 6, 3) β1= 8 |
β2 = max(9, 5, 4) β2= 9 |
β3 = max(9, 8, 5) β3= 9 |
α = max(8, 5, 3) = 8 β = min (8, 9, 9) = 8 |
2. Решить графически игру, заданную платежной матрицей
Решение:
Дана игра 4 х 2 , то есть у игрока А имеется 4 стратегии, а у игрока В – 2. Поэтому, будем решать игру для игрока В. Построим оси: ОХ – на ней будем отмечать вероятности, с которыми игрок использует ту или иную стратегии, и ОУ – на ней будем откладывать цену игры. На расстоянии единица от оси ОУ проведем еще ось параллельную ей, как показано на рисунке 1.
Если игрок А выбирает стратегию А1, то игрок В, используя свои стратегии с вероятностями (q1, q2), будет проигрывать, в среднем, q1∙α11+q2∙α12 = q1∙(-3) +q2∙(-4). Отметим на оси ОУ α11 = -3, а на оси ей параллельной α12 = -4 и соединим эти точки прямой линией – она показывает, сколько, в среднем, получает игрок В, если А использует стратегию А1, а В чередует стратегии В1 и В2 с некоторыми вероятностями (q1, q2). Аналогично отмечаем на оси ОУ точку -1, а на параллельной ей оси – точку 2 и соединяем отрезком. Получаем линию, показывающую, сколько, в среднем, получает игрок В, если А выбрал стратегию А2. Точно также для А3 и А4.
Для игрока В надо выбрать верхнюю границу, так как он должен рассчитывать, что А выберет ту стратегию, которая соответствует наибольшему проигрышу для игрока В. На рисунке 1 это ломанная А3КА2, выделенная толстой линией. Игроку В следует выбрать ту смешанную стратегию, которая соответствует наименьшему проигрышу для В – точка К. Это точка пересечения прямых, соответствующих стратегиям А3 и А2. Выпишем уравнения этих прямых.
Прямая (А3 А3) проходит через точки с координатами (0;2) и (1;-4). Уравнение этой прямой запишется в следующем виде:
Уравнение прямой (А2 А2), проходящей через точки (0;-1) и (1;2), запишется в следующем виде:
Рисунок 1 –Графическое решение
Точка К – точка пересечения этих прямых, имеет координаты, удовлетворяющие системе:
Решение
системы:
Следовательно, цена игры ν = 0, оптимальная стратегия для игрока В:
Для игрока А, стратегии А1 и А4 будут не активными, игроку А не выгодно их использовать. Максимально возможный выигрыш, равный цене игры ν = 0, игрок А будет получать, используя стратегии А2 и А3. Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока А из следующей системы, учитывая, что А1 и А4 не активные стратегии, то есть р1 = р4 = 0:
Ответ:
Цена игры ν
= 0, оптимальные
стратегии
игроков
3. Решить геометрически следующую задачу линейного программирования:
при
ограничениях:
Решение:
Построим
область ограничений.
Строим прямую
(1): x1
– 4x2
- 4 = 0 по двум
точкам, координаты
которых удовлетворяют
уравнению: (8;
1), (4; 0), как показано
на рисунке 2.
Проверяем,
какая полуплоскость
удовлетворяет
неравенству
,
для этого подставим
значение произвольной
точки (0; 0) в это
неравенство,
получим
-
выполняется.
Аналогичным
способом строим
прямые (2):
и (3):
,
выделяем «бородой»
области значений
x1,
x2,
удовлетворяющие
условиям
и
.
На рисунке 2
изображена
область, удовлетворяющая
представленной
в условиях
задачи системе.
Заметим, что
и одно из неравенств
системы -
,
тогда, очевидно,
функция F
принимает
значения интервала
,
но
,
тогда Fmax
=
.
Ответ:
Fmax
=
.
Рисунок 2 – Графическое решение
4. Для выпуска двух видов продукции А и В предприятие использует 4 вида ресурсов, все данные представлены в следующей таблице:
Вид ресурса | Расход ресурсов для выпуска одного изделия | Наличие ресурса | |
А | В | ||
Рабочая сила | 1 | 3 | 3 |
Сырье | 6 | 3 | 24 |
Оборудование | 2 | 5 | 20 |
Производственные ресурсы | 2 | 2 | 10 |
Прибыль от реализации единицы продукции А и В составляет 50 и 70 ДЕ, соответственно. Предприятие может нанять людей на работу, а увольнять людей не разрешается. Составить план выпуска продукции, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Сколько человек придется нанять?
Решение:
Обозначим x1, x2 – число единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. По условию для их изготовления потребуется (1∙ x1 + 3∙ x2) единиц ресурса «Рабочая сила», (6∙ x1 + 3∙ x2) единиц ресурса «Сырье», (2∙ x1 + 5∙ x2) единиц ресурса «Оборудование», (2∙ x1 + 2∙ x2) единиц ресурса «Производственные ресурсы». Так как потребление всех этих видов ресурсов не должно превышать наличие ресурсов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
где а ≥ 3 и а – целое число (количество работников).
Суммарная прибыль стремиться к максимальному значению:
Все значения
x1
и x2
лежат в I
четверти, а
функция F
– луч, исходящий
из точки (0; 0) под
углом α
к оси ОX1,
где
т.е.
- функция прибыли
F.
Строим графическое
решение для
неравенств
(2):
,
(3):
,
(4):
,
как это показано
на рисунке 3.
Максимально
возможная
прибыль из
графического
решения в точке
К, координаты
которой находим
из системы:
С учетом, x1,
x2
– целые числа
(только конечный
продукт можно
продать и получить
прибыль), находим:
при х1
= х2 = 2
возможно получение
максимальной
прибыли
Подставив
х1 = х2
= 2 в неравенство
(1):
,
получим
,т.е.
а = 8. Необходимо
дополнительно
нанять 8 – 3 = 5 человек.
Ответ: Максимально возможная прибыль 240 ДЕ возможна при производстве изделий А – 2шт. и изделий В – 2 шт., при этом придется дополнительно нанять 5 работников.
Рисунок 3 – Графическое решение
5. Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух аппаратов по продаже билетов, каждый из которых в случайный момент времени может быть либо занятым, либо свободным.
Решение:
Система может находиться в четырех состояниях, так как у каждого аппарата по продаже билетов есть два состояния (быть занятым или свободным). Пусть S0 – оба аппарата заняты; S1 – 1-ый занят, 2-ой свободен; S2 – 1-ый свободен, 2-ой занят; S3 – оба аппарата свободны. Построим граф состояний, отметив на нем все возможные состояния кругами, а возможные переходы из состояния в состояние обозначим стрелками. Получаем, что переход из S0 в S3 возможен либо через S1, либо через S2, либо напрямик, как показано на рисунке 4.
Рисунок 4 – Граф состояний аппаратов по продаже билетов
6. Найти предельные вероятности для системы S, граф которой изображен на рисунке.
Решение:
В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют. Их можно найти из уравнений Колмогорова, составив систему по данному размеченному графу состояний, по следующему правилу:
Слева в уравнении стоит предельная вероятность данного состояния pi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в данное состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти состояния выходят.
Кроме этого
надо учитывать,
что сумма всех
вероятностей
данной конечной
системы равна
единице. Составим
уравнения для
состояний S1
и S2
(уравнение для
состояния S0
– «лишнее»):
Ответ: Система примерно 66,67% времени пребывает в состоянии S0, 25% - в состоянии S1 и 8,33% времени находится в состоянии S2.
7. Найти валовой выпуск для сбалансированной многоотраслевой экономики в модели Леонтьева, если дана матрица прямых затрат А и вектор конечного потребления У:
Решение:
Для сбалансированной многоотраслевой экономики выполняется следующее соотношение:
где | Х | - | вектор валового выпуска; |
У | - | вектор конечного потребления; | |
А | - | матрица прямых затрат. |
Выразим валовой выпуск через конечное потребление и матрицу затрат:
Находим матрицу, обратную к (Е – А):
Найдем валовой выпуск:
Х =
Ответ: Валовой выпуск равен (811,3; 660,4).
*При решении задач использовался источник:
Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу "Экономико-математические методы и модели". - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002. - 153 с.
12