МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. А.Н. Туполева

ФИЛИАЛ «ВОСТОК»

Расчетно-графическая работа

по дисциплине

«Разработка производственных и управленческих решений»

Вариант 17

Выполнил: ст. гр. 21404

Овчинникова О.В.

Проверил: Гашева М.В.

Чистополь 2009

Решение задачи симплексным методом

Симплекс метод- это метод упорядочивания перебора опорных планов, упорядочивание в данном случае обеспечение последовательным перебором опорных планов с монотонным изменением значения целевой функции в сторону возрастания(убывания).

Исходные данные:

Предприятие занимается производством 2 видов продукции 1 и 2, для их производства требуется 3 вида сырья. На изготовление единицы изделия 1 требуется сырья каждого вида кг, а для изделия 2- кг. Стоимость единицы изделия 1 -, а для 2- т.р. Необходимо составить такой план производства изделий, при котором прибыль от производства и реализации данной продукции будет максимальной. На предприятии имеется сырья в количестве .

606	802	840	9	15	15	27	15	3	5	6

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи. Для этого обозначим - количество изделий А. - количество изделий В. Эта задача является задачей оптимального использования сырья, поэтому система организации имеет вид:

+≤606

9+27≤606

15+15≤802 (1)

15+3≤840

Где справа стоит количество каждого вида сырья, которые не может быть превышено в процессе производства изделий.

≥0, ≥0 (2)

Целевая функция представляет собой общую стоимость произведенной продукции.

С=5+6х2 => макс. (3)

Для решения задач симплекс методом приводят ее к каноническому виду, введя дополнительные балансовые переменные х3,х4,х5, которые означают остатки сырья соответственно 1,2, 3 типов, при этом неравенство преобразуется в уравнение, т.е. левая часть сбалансирована с правой.

9+27+ х3 ≤606

15+15+ х4 ≤802 (4)

15+3+х5 ≤840

х3, х4, х5- остатки 1,2,3 вида сырья.

х1,х2,х3,х4,х5 ≥ 0 (5)

С=5+6х2 +0х3+0х4+0х5 => макс. (6)

Систему (4) можно записать в другом виде:

р1х1+р2х2+р3х3+р4х4+р5х5=р0

р1 р2 р3 р4 р5 р0

Здесь векторы р3р4р5 имеют предпочтительный вид, т.е являются единичными в одном из компонентов и нулевыми во всех остальных компонентах. Р0- называется столбцом свободных членов системы ограничений, для решения системы (4)-(6) симплекс методом необходимо иметь опорный план, т.е. допускаются решения системы (4), для этого надо разделить на 2 группы- базисные и свободные. Сначала выбираем базисные, в качестве их выбирают векторы, имеющие предпочтительный вид, т.е в данном случае р3р4р5.им соответствуют базисные переменные х3, х4, х5системы (4). Остальные переменные х1,х2- будут свободными, при получении базисного решения все свободные переменные =0. Подставив в (4) х1=х2=0, получаем остальные компоненты опорного плана х3=606, х4=802,х5=840. В векторном виде этот опорный план выглядит так: х0=(0,0,606,802,840). Подставив компоненты х0 в целевую функцию (6) получаем значение целевой функции=0. С (х0)=0.

1 симплексная таблица( опорный план в виде симплекс таблицы)

Оценка базисных переменных	Базисные переменные	Свободные члены	5	6	0	0	0
С	Х	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
0	Х3	606	9	27	1	0	0
0	Х4	802	15	15	0	1	0
0	Х5	840	15	3	0	0	1
С		0	-5	-6	0	0	0

Переход к новому опорному плану, выбор разрешающего столбца:

СК=мин{Сj(cj|<0)}=мин {-5; -6 }=-6=С2=К=2

Выбор разрешающей строки:

bl/ alk=min {bi/ai2(ai2>0)} min{606/27;802/15;840/3}={22;53;280} =22=b1/a12=l=1

Генеральный элемент: alk=а12=27

Переход к новой симплексной таблице:

B1= b1/ а12=606/27=22

c=C-ckbс=c-c2b1=0-(-6)*22=132

alj=alj/alk

9/27=1/3

27/27=1

=1/27

=0/27=0

0/27=0

-5-(-6)*1/3=-3

-6-(-6)*1=0

0-(-6)*1/27=2/9

0-(-6)*0=0

0-(-6)*0=0

=802-15*22=472

=840-3*22=774

15-15*1/3=10

15-15*1=0

0-0*1/27=0

1-1*0=1

0-0*0=0

15-15*1/3=10

3-3*1=0

0-0*1/27=0

0-0*0=0

1-1*0=1

Вторая симплексная таблица

Оценка базисных переменных	Базисные переменные	Свободные члены	5	6	0	0	0
С	Х	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
6	Х2	22	1/3	1	1/27	0	0
0	Х4	472	10	0	0	1	0
0	Х5	774	10	0	0	0	1
С		132	-3	0	-2/9	0	0

Переход к новому опорному плану, выбор разрешающего столбца:

СК=мин{Сj(cj|<0)}=мин {-3; 0}=--3=С1=К=1

Выбор разрешающей строки:

bl/ alk=min {bi/ai1(ai1>0)}min{22/1/3;472/10;774/10}={66;47;77}=47=b2/a21=l=2

Генеральный элемент: alk=а21=10

Переход к новой симплексной таблице:

B2= b1/ а21=472/10=47

c=C-ckbс=c-c2b1=0-(-3)*47=148

alj=alj/alk

10/10=1

0/10=0

=0/10=0

=1/10

0/10=0

-3-(-3)*1=0

0-(-3)*0=0

2/9-(-3)*0=2/9

0-(-3)*1/10=0+3/10=3/10

0-(-3)*0=0

=6

=774-10*47=304

1/3-1/3=0

1-1*0=1

1/27-1/27*0=1/27

0-0*1/10=0

0-0*0=0

10-10*1=0

0-0*0=0

0-0*0=0

0-0*1/10=0

1-1*0=1

Третья симплексная таблица

Оценка базисных переменных	Базисные переменные	Свободные члены	5	6	0	0	0
С	Х	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
6	Х2	6	0	1	1/27	0	0
5	Х1	47	1	0	0	1/10	0
0	Х5	304	0	0	0	0	1
С		148	0	0	2/9	3/10	0

Проверка опорного плана на оптимальность:

СК=min{Сj(cj|<0)}=min (0;0;2/9;3/10;0)=0

Полученный план оптимален.

В векторном виде опорный план выглядит:

=(47;6;0;0;304)

С()=148

Экономическая интерпретация задачи:

Объём производства будет оптимальным при достижении максимальной прибыли-148 д.ед., и при объёме производства товара-6 шт. и 47 шт.