ЗАДАЧА 1
По исходным данным вычислить основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и базисной схемам):
средний уровень ряда динамики;
абсолютный прирост;
темп роста;
темп прироста;
абсолютное значение 1% прироста;
средний темп роста и средний темп прироста.
Средний уровень интервального ряда определим по формуле:
где Yi – значение грузооборота;
n – число значений в динамическом ряду.
Абсолютный прирост относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:
ΔYi=Yi-Y0
Абсолютный прирост грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:
ΔYi=Yi-Yi-1
Темп роста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:
Темп роста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:
Темп прироста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:
Темп прироста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:
Средний темп роста грузооборота определим по формуле:
Средний темп прироста грузооборота определим по формуле:
Абсолютное значение одного процента прироста определим по формуле:
Результаты расчёта аналитических показателей ряда динамики представим в таблице 1.1
Таблица 1 – Основные аналитические показатели ряда динамики
Показатель | Схема счета | Периоды | |||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||
Уровень ряда | 1199 | 1253 | 1573 | 1385 | 1276 | 1385 | 1266 | 1358 | |
Средний уровень ряда | 1336,875 | ||||||||
Абсолютный прирост | Базисная | 100 | 54,0 | 374,0 | 186,0 | 77,0 | 186 | 67 | 159 |
Цепная | 100 | 54,0 | 320,0 | -188,0 | -109,0 | 109,0 | -119,0 | 92,0 | |
Темп роста | Базисная | 100 | 104,5 | 131,2 | 115,5 | 106,4 | 115,5 | 105,6 | 113,3 |
Цепная | 100 | 104,5 | 125,5 | 88,0 | 92,1 | 108,5 | 91,4 | 107,3 | |
Темп прироста | Базисная | 100 | 4,5 | 31,2 | 15,5 | 6,4 | 15,5 | 5,6 | 13,3 |
Цепная | 100 | 4,5 | 25,5 | -12,0 | -7,9 | 8,5 | -8,6 | 7,3 | |
Абсолютное значение 1% прироста | 11,99 | 12,53 | 15,73 | 13,85 | 12,76 | 13,85 | 12,66 | ||
Средний темп роста | 101,79 | ||||||||
Средний темп прироста | 1,79 |
Произведем сглаживание данных за три года при помощи двенадцатимесячной скользящей средней, централизованной на седьмой месяц. Рассчитаем коэффициент сезонности по данным трех лет, и построим график сезонной волны.
Сглаживание рядов динамики производится с помощью простых средних, скользящей средней, методами аналитического выравнивания. Скользящие средние рассчитываются по формулам:
;
и т.д. - нецентрализованная
- централизованная
Коэффициент сезонности определяется как отношение уровней ряда к их среднему уровню по формуле:
Средний коэффициент сезонности за рассматриваемый период находим по формуле:
где n – количество рассчитанных коэффициентов сезонности по одноименным месяцам.
Расчет скользящей средней и коэффициента сезонности приведем в таблице 1.2.
Простроим график сезонной волны по средним коэффициентам сезонности. График приведен на рисунке 1.
Рисунок 1 – График сезонной волны
Таблица 2 – Расчет коэффициента сезонности
Год | Месяц | Уровень ряда | Скользящая средняя | Коэффициент сезонности | Средний коэффициент сезонности | |
нецентрированная | центрированная | |||||
1994 | 1 | 21,1 | ||||
2 | 22,8 | |||||
3 | 23,9 | |||||
4 | 23,8 | |||||
5 | 24,5 | |||||
6 | 24,6 | 23,550 | ||||
7 | 25,9 | 23,492 | 23,521 | 104,016 | ||
8 | 25,7 | 23,617 | 23,554 | 103,213 | ||
9 | 24,2 | 23,783 | 23,700 | 97,189 | ||
10 | 25,5 | 23,942 | 23,863 | 102,410 | ||
11 | 22,3 | 24,067 | 24,004 | 89,558 | ||
12 | 18,3 | 24,217 | 24,142 | 73,494 | ||
1995 | 1 | 20,4 | 24,308 | 24,263 | 81,928 | 81,53 |
2 | 24,3 | 24,408 | 24,358 | 97,590 | 97,39 | |
3 | 25,9 | 24,500 | 24,454 | 104,016 | 107,23 | |
4 | 25,7 | 24,592 | 24,546 | 103,213 | 107,03 | |
5 | 26 | 24,608 | 24,600 | 104,418 | 107,83 | |
6 | 26,4 | 24,750 | 24,679 | 106,024 | 110,84 | |
7 | 27 | 24,733 | 24,742 | 108,434 | 106,22 | |
8 | 26,9 | 24,725 | 24,729 | 108,032 | 105,62 | |
9 | 25,3 | 24,858 | 24,792 | 101,606 | 99,40 | |
10 | 26,6 | 25,017 | 24,938 | 106,827 | 104,62 | |
11 | 22,5 | 25,158 | 25,088 | 90,361 | 89,96 | |
12 | 20 | 25,358 | 25,258 | 80,321 | 76,91 | |
1996 | 1 | 20,2 | 25,517 | 25,438 | 81,124 | |
2 | 24,2 | 25,942 | 25,729 | 97,189 | ||
3 | 27,5 | 26,325 | 26,133 | 110,442 | ||
4 | 27,6 | 26,367 | 26,346 | 110,843 | ||
5 | 27,7 | 26,467 | 26,417 | 111,245 | ||
6 | 28,8 | 26,400 | 26,433 | 115,663 | ||
7 | 28,9 | |||||
8 | 32 | |||||
9 | 29,9 | |||||
10 | 27,1 | |||||
11 | 23,7 | |||||
12 | 19,2 | |||||
Итого: | 896,4 | |||||
Средняя: | 24,90 |
Из графика видно, что коэффициент сезонности в начале года увеличивается, а в конце - уменьшается. Наибольшее отклонение наблюдается в начале года 2-ой и 10 -ой месяц.
ЗАДАЧА 2
Произвести аналитическое выравнивание рядов динамики по данным задачи 1 о размерах грузооборота по родам грузов:
при равномерном развитии y = a0 + a1t ;
при развитии с переменным ускорением (замедлением) yt = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 ;
при изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов yt = a0 + (ak cosRt + bk sinRt) .
Результаты расчётов представить в виде таблиц и графиков.
1. Способ отсчета времени от условного начала, когда ∑t=0, дает возможность определить параметры математической функции по формулам:
Результаты вычислений приведем в таблице 3:
Таблица 3 – Вычисление параметров функции y=a0+a1t и y=a0+a1t+a2t2+a3t3
Год | t | y | tІ | ty | t4 | t6 | tІy | tіy | Yti* | Yt | (Yti*-y)І | (Yt-y)І |
1 | -4 | 1199 | 16 | 256 | 4096 | -4796 | 19184 | -76736 | 1324,2 | 1175,2 | 15677,13 | 566,75 |
2 | -3 | 1253 | 9 | 81 | 729 | -3759 | 11277 | -33831 | 1327,4 | 1354,3 | 5531,64 | 10254,93 |
3 | -2 | 1573 | 4 | 16 | 64 | -3146 | 6292 | -12584 | 1330,5 | 1432,5 | 58786,04 | 19730,33 |
4 | -1 | 1385 | 1 | 1 | 1 | -1385 | 1385 | -1385 | 1333,7 | 1438,1 | 2630,84 | 2817,52 |
5 | 1 | 1276 | 1 | 1 | 1 | 1276 | 1276 | 1276 | 1340,0 | 1343,3 | 4101,34 | 4532,35 |
6 | 2 | 1385 | 4 | 16 | 64 | 2770 | 5540 | 11080 | 1343,2 | 1299,2 | 1746,54 | 7364,77 |
7 | 3 | 1266 | 9 | 81 | 729 | 3798 | 11394 | 34182 | 1346,4 | 1294,6 | 6460,14 | 820,27 |
8 | 4 | 1358 | 16 | 256 | 4096 | 5432 | 21728 | 86912 | 1349,5 | 1357,8 | 71,54 | 0,05 |
итого | 0 | 10695 | 60 | 708 | 9780 | 190 | 78076 | 8914 | 10695,0 | 10695,0 | 95005,21 | 46086,98 |
Тогда:
Уравнение при равномерном развитии:
y = 1336,88 - 3,17 ∙ t
2. Для вычисления параметров функции y=a0+a1t+a2t2+a3t3 :
Тогда:
Уравнение при развитии с переменным ускорением (замедлением):
yt= 1398,98 - 52,06 t - 8,28 t2 + 4,68 t3;
3. По рассмотренным моделям определим теоретические уровни тренда. Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 2.
Рисунок 2 – График фактических и теоретических уровней ряда
Рассчитаем стандартизированную ошибку аппроксимации –
4. При изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов необходимо рассчитать параметры:
Результаты расчётов сведём в таблицу 4
Таблица 4 – Выравнивание ряда динамики y=a0+(aкcosRt+ bкsinRt), 1998 год
Месяц | ti | yi | cos ti | sin ti | yi∙cos ti | yi∙sin ti | yti |
1 | 0 | 21,10 | 1 | 0 | 21,1 | 0 | 21,21 |
2 | (1:6)π | 22,80 | 0,86616 | 0,5 | 19,748 | 11,4 | 21,66 |
3 | (1:3) π | 23,90 | 0,5 | 0,866 | 11,95 | 20,6974 | 22,62 |
4 | (1:2) π | 23,80 | 0 | 1 | 0 | 23,8 | 23,82 |
5 | (2:3) π | 24,50 | -0,5 | 0,866 | -12,25 | 21,217 | 24,96 |
6 | (5:6) π | 24,60 | -0,866 | 0,5 | -21,3 | 12,3 | 25,71 |
7 | π | 25,90 | -1 | 0 | -25,9 | 0 | 25,89 |
8 | (7:6) π | 25,70 | -0,866 | -0,5 | -22,26 | -12,85 | 25,44 |
9 | (4:3) π | 24,20 | -0,5 | -0,866 | -12,1 | -20,9572 | 24,48 |
10 | (3:2) π | 25,50 | 0 | -1 | 0 | -25,5 | 23,28 |
11 | (5:3) π | 22,30 | 0,5 | -0,866 | 11,15 | -19,3118 | 22,14 |
12 | (11:6) π | 18,30 | 0,866 | -0,5 | 15,848 | -9,15 | 21,39 |
- | 282,6 | -14,01 | 1,6454 | 282,60 |
Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 3.
Рисунок 3 – График фактических и теоретических уровней ряда выравнивания
Фактические и теоретические уровни ряда близки по значению, а кривая ряда (рисунок 3) похожа на гармоническую функцию.
Поэтому функцию можно использовать для выравнивания ряда динамики.
ЗАДАЧА 3
По данным таблицы определить:
1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороге в целом;
2) сводный индекс расхода топлива на дороге;
3) изменение среднего удельного расхода топлива на дороге за счет изменения удельного расхода топлива на 10000 т/км брутто на отделениях и за счет изменения структуры грузооборота по отделениям, а также за счет того и другого фактора одновременно;
4) абсолютный размер экономии (перерасхода) топлива за счет изменения грузооборота на отделениях, за счет изменения удельного расхода топлива на отделениях.
Таблица 10 – Грузооборот и удельный расход топлива по отделениям железной дороги
Отделение | Удельный расход топлива, кг/10000 т·км брутто. | Грузооборот брутто, млн. т·км | Выполнение норм удельного расхода топлива, % | Расход топлива, тонн | |||||
Норма | Факти-чески | Норма | Факти-чески | % выпол-нения | План | Факт | Отчетного по удельному расходу базисного | ||
1 | 50 | 47 | 200 | 113 | 56,5 | 94,0 | 10000 | 5311 | 5650 |
2 | 55 | 57 | 320 | 102 | 31,9 | 103,6 | 17600 | 5814 | 5610 |
3 | 48 | 45 | 400 | 101 | 25,3 | 93,8 | 19200 | 4545 | 4848 |
920 | 316 | 113,6 | 46800 | 15670 | 16108 |
1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороги в целом
Iи=∑и1q1 / ∑и0q1 =15670 / 16108 = 0,973
2) Сводный индекс расхода топлива
Iиq=∑и1q1 / ∑и0q0 =15670 / 46800 = 0,335
3) Индекс удельного расхода топлива переменного состава
Iи = ∑и1q1/∑q1 : ∑и0q0/∑q0 = ∑и1q1/∑и0q1= 15670/316 : 46800/920 = 0,975
Индекс удельного расхода топлива постоянного состава
Iи=∑и1q1/∑q1 : ∑и0q1/∑q1= ∑и1q1/∑и0q1 = 15670 / 16108 = 0,973
Индекс структурных сдвигов
Iстр= ∑и0q1/∑q1 : ∑и0q0/∑q0 = 16108/316 : 46800/920 = 1,002
4) Экономия топлива за счет изменения удельного расхода
Δиq=∑и1q1-∑и0q1= 15670 - 16108 = -438 кг за счет изменения грузооборота
Δиqq=∑и0q1-∑и0q0= 16108 - 46800 = -30692 кг
ЗАДАЧА 4
№ 1. Для изучения производительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено 10%-ное выборочное обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих:
Часовая выработка, шт. | 18-20 | 20-22 | 22-24 | 24-26 | 26-28 | 28-30 |
Число рабочих | 2 | 8 | 24 | 50 | 12 | 4 |
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее время обработки одной детали токарями завода.
Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле:
Дисперсия
где хi - часовая выработка
- средняя часовая выработка по всем рабочим выборки;
fi - сумма всех частот
Часовая выработка, шт. | 18-20 | 20-22 | 22-24 | 24-26 | 26-28 | 28-30 | |
Число рабочих | 2 | 8 | 24 | 50 | 12 | 4 | 100 |
40 | 176 | 576 | 1300 | 288 | 120 | 2500 | |
(xi - )2 |
-10 | -24 | -24 | 50 | 36 | 20 | 48 |
∆х = ± t · μx ∆х = ± 3 · 0,66 = 2 шт.
Ответ: с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля лиц, которая одобрит составит 54% - 66%.
Литература
Быченко О.Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 1 с методическими указаниями. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 30 с.
Быченко О.Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 2 с методическими указаниями. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 31 с.
Общая теория статистики: Учебник/Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова, Н.И. Яковлева. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 279 с., ил.