МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Кафедра прикладной математики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информатика»

2007

Задания к контрольной работе

Задача №1 Выполнить расчеты с использованием финансовых функций. Оформить таблицу и построить диаграмму, отражающую динамику роста вклада по годам. Описать используемые формулы, представить распечатку со значениями и с формулами:

15.1 Вклад размером 500 тыс. грн. положен под 12% годовых. Рассчитайте, какая сумма будет на сберегательном счете через шесть лет, если проценты начисляются каждые полгода

15.2 Определить текущую стоимость обычных ежегодных платежей размером 20 тыс. грн. в течение трех лет при начислении 16% годовых.

Задача №2 Произвести экономический анализ для заданных статистических данных и сделать вывод.

Таблица 1 – Статистические данные

X	1,01	1,51	2,02	2,51	3,01	3,49	3,98	4,48	4,99	5,49
Y	5,02	5,92	7,14	8,32	9,02	9,58	11,06	11,96	12,78	13,98

Задача №3 Связь между тремя отраслями представлена матрицей прямых затрат А. Спрос (конечный продукт) задан вектором . Найти валовой выпуск продукции отраслей . Описать используемые формулы, представить распечатку со значениями и с формулами.

Задача №4 Решить задачу линейного программирования.

Вариант 15 Коммерческий магазин хочет закупить овощи А и В. Количество овощей, закупочные цены и цены, по которым магазин продает овощи, приведены в таблице 8.

Таблица 8

Овощи	Цены		Количество овощей
	Закупка	Реализация
А	1,6	2,4	60
В	1,7	2,2	70

Как выгоднее вложить деньги, если общая сумма, которой располагается магазин в данное время, составляет 180 д.е., причем овощей А нужно приобрести не менее 10 тонн.

Задача №1

15.1 Вклад размером 500 тыс.грн. положен под 12% годовых. Рассчитайте, какая сумма будет на сберегательном счете через шесть лет, если проценты начисляются каждые полгода

Решение

Для расчета текущей стоимости вклада будем использовать функцию

БЗ (норма; число_периодов; выплата; нз; тип),

где норма – процентная ставка за один период. В нашем случае

величина нормы составляет 13% годовых.

число периодов – общее число периодов выплат. В нашем случае

данная величина составляет 6 лет.

выплата – выплата, производимая в каждый период. В нашем

случае данная величина полагается равной -100000.

нз – текущая стоимость вклада. Равна 0.

тип – данный аргумент можно опустить (равен 0).

Получим следующее выражение БЗ (12/2; 12; 0; – 500; 0) = 1006.10 тыс. грн.

Расчет будущей стоимости вклада по годам приведен в таблице 3.

Таблица 3 – Расчет будущего вклада

РАСЧЕТ ТЕКУЩЕГО ВКЛАДА
ГОД	СТАВКА	ЧИСЛО	ВЫПЛАТА	ВКЛАД, тыс. грн	ТИП	ВЕЛИЧИНА
	(ГОД)	ПЕРИОДОВ				ВКЛАДА, тыс. грн
1	12%	2	0	-500	0	561.80
2	12%	4	0	-500	0	631.24
3	12%	6	0	-500	0	709.26
4	12%	8	0	-500	0	796.92
5	12%	10	0	-500	0	895.42
6	12%	12	0	-500	0	1006.10

Гистограмма, отражающая динамику роста вклада по годам представлена ниже.

Рисунок 1 – Динамика роста вклада по годам

Вывод: Расчеты показывают, что на счете через шесть лет будет 1006.10 тыс. грн.

15.2 Определить текущую стоимость обычных ежегодных платежей размером 20 тыс. грн. в течение трех лет при начислении 16% годовых.

Решение

Для расчета используем функцию

ПЗ (норма; Кпер; выплата; бс; тип),

где норма = 16% – процентная ставка за один период;

Кпер = 3 – общее число периодов выплат;

выплата = 20 тыс. грн. – Ежегодные платежи;

При этом:

ПЗ (16%; 3; 20) = – 44,92 тыс. грн.

Результат получился отрицательный, поскольку это сумма, которую необходимо вложить.

Вывод: Таким образом при заданных условиях текущая стоимость вклада составляет 44,92 тыс. грн.

Задача №2

1.2. Произвести экономический анализ для заданных статистических данных и сделать вывод.

Таблица 4 – Заданные статистические данные

X	1,01	1,51	2,02	2,51	3,01	3,49	3,98	4,48	4,99	5,49
Y	5,02	5,92	7,14	8,32	9,02	9,58	11,06	11,96	12,78	13,98

Решение

Вводим значения X и Y, оформляя таблицу;

По данным таблицы строим точечную диаграмму (см. рисунок 2);

Выполнив пункты меню Диаграмма – Добавить линию тренда, получаем линию тренда (см. рисунок 2);

Из возможных вариантов типа диаграммы (линейная, логарифмическая, полиномиальная, степенная, экспоненциальная), выбираем линейную зависимость, т. к. она обеспечивает наименьшее отклонение от заданных значений параметра Y.

y = 1.9733x + 3.0667 – уравнение зависимости;

R2 = 0.9962 – величина достоверности аппроксимации;

Для обоснования сделанного выбора оформим таблицу 5 – сравнительный анализ принятых и заданных значений параметра Y.

В этой таблице:

Y1 – значение параметра Y, согласно принятой гипотезе;

Y – значение параметра Y, согласно заданным данным.

ε – величина арифметического отклонения ε = Y - Y1;

Рисунок 2 – график зависимости у=f(x)

Таблица 5 – Сравнительный анализ заданных и принятых значений Y

X	1.01	1.51	2.02	2.51	3.01	3.49	3.98	4.48	4.99	5.49
Y	5.02	5.92	7.14	8.32	9.02	9.58	11.06	11.96	12.78	13.98
Y1	5.06	6.05	7.05	8.02	9.01	9.95	10.92	11.91	12.91	13.90
E	-0.04	-0.13	0.09	0.30	0.01	-0.37	0.14	0.05	-0.13	0.08

Вывод: На основе собранных статистических данных, представленных в таблице находим экономическую модель – принятая гипотеза имеет степенную зависимость и выражается уравнением

y = 1.9733x + 3.0667

Экономическое прогнозирование на основе уравнения данной зависимости отличается достоверностью в области начальных значений параметра X – величина ε принимает малые значения и неточностью в долгосрочном периоде – в области конечных значений параметра X.

Задача №3

7. Связь между тремя отраслями представлена матрицей прямых затрат А. Спрос (конечный продукт) задан вектором X. Найти валовой выпуск продукции отраслей Х. Описать используемые формулы, представить распечатку со значениями и с формулами.

Решение

Данная задача связана с определением объема производства каждой из N отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли. При этом каждая отрасль выступает и как производитель некоторой продукции и как потребитель своей и произведенной другими отраслями продукции. Задача межотраслевого баланса – отыскание такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Матричное решение данной задачи:

X = (E-A)-1Y. [2]

Из существующих в пакете Excel функций для работы с матрицами при решении данной задачи будем использовать следующие:

МОБР – нахождение обратной матрицы;

МУМНОЖ – умножение матриц;

МОПРЕД – нахождение определителя матрицы;

Также при решении данной задачи использовали сочетание клавиш:

F2 CTRL + SHIFT + ENTER – для получения на экране всех значений результата.

Расчетные формулы для решения данной задачи показаны в таблице 7.

Результат решения показан в таблице 6.

Таблица 6 – Расчетные формулы

Затраты	Выпуск (потребление)		Конечный		Валовый
(отрасли)	отрасль А	отрасль B	отрасль C	продукт	выпуск
отрасль А	0.05	0.1	0.4	47	=МУМНОЖ (F12:H14; E3:E5)
отрасль B	0.1	0.1	0.3	58	=МУМНОЖ (F12:H14; E3:E5)
отрасль C	0.3	0.15	0.2	81	=МУМНОЖ (F12:H14; E3:E5)
Решение
Е =	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1
Е-А =	=B8 B3	=C8 C3	=D8 D3	(Е-А)-1 =	=МОБР (B12:D14)	=МОБР (B12:D14)	=МОБР (B12:D14)
	=B9 B4	=C9 C4	=D9 D4		=МОБР (B12:D14)	=МОБР (B12:D14)	=МОБР (B12:D14)
	=B10 B5	=C10 C5	=D10 D5		=МОБР (B12:D14)	=МОБР (B12:D14)	=МОБР (B12:D14)
Det (E-A)=	=МОПРЕД (B12:D14)

Таблица 7 – Результат решения

Затраты	Выпуск (потребление)			Конечный	Валовый
(отрасли)	отрасль А	отрасль B	отрасль C	продукт	выпуск
отрасль А	0.1	0.1	0.4	47	140
отрасль B	0.1	0.1	0.3	58	140
отрасль C	0.3	0.15	0.2	81	180
Решение
Е =	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1
Е-А =	1	-0.1	-0.4	(Е-А)-1 =	1.322880941	0.27438	0.76433
	-0.1	0.9	-0.3		0.333170015	1.25429	0.63694
	-0.3	-0.2	0.8		0.558549731	0.33807	1.65605
Det (E-A)=	0.51025

Вывод: Для удовлетворения спроса на продукцию отрасли А величиной 47 д.е., отрасли В – 58 д.е. и отрасли С – 81 д.е. необходимо произвести продукции отрасли А на сумму 140 д.е., отрасли В на сумму 140 д.е., отрасли С – на сумму 180 д.е.

Задача №4

Вариант 15 Коммерческий магазин хочет закупить овощи А и В. Количество овощей, закупочные цены и цены, по которым магазин продает овощи, приведены в таблице 8.

Таблица 8

Овощи	Цены		Количество овощей
	Закупка	Реализация
А	1,6	2,4	60
В	1,7	2,2	70

Как выгоднее вложить деньги, если общая сумма, которой располагается магазин в данное время, составляет 180 д.е., причем овощей А нужно приобрести не менее 10 тонн.

Решение

Решение данной задачи состоит из трех основных этапов:

составление математической модели (формализация задачи);

Обозначим величину прибыли от овоща А как А, а величину прибыли от обоща В как В, тогда получим, что прибыль от продажи овоща А составляет (2,4–1,6) А, соответственно овоща В – (2,2–1,7) В. Суммарная прибыль магазина от продажи овощей составит (2,4–1,6) А+(2,2–1,7) В=0,8А+0,5В.

Тогда целевая функция имеет вид Z=0,8А – 0,5В

суммарная прибыль должна быть наибольшей (максимальной).

Данная задача содержит две неизвестных переменных, т.е. ее можно назвать плоской и она может быть решена графически.

Составим систему ограничений, исходя из условия задачи:

ограничение на покупку овощей по деньгам:

На покупку овоща А расходуется 1,6 д.е на 1 тонн. На все количество овоща А расходуется 1,6 А д.е. На овощ В расходуется 1,7 д.е. на 1 тонну на закупку овоща В тратят 1,7 В. Значит, исходя из условия задачи, суммарная сумма на которую закупаются овоща не должна превышать 180 д.е. Получим первое неравенство системы:

1,6 А + 1,7 В ≤ 180;

– дополнительные условия:

В условии задачи содержится дополнительное условие – закупка овоща А не менее 10 тонн и не более 60 тонн. т.е. имеем дополнительные неравенства для овоща А:

А ≥ 10;

А ≤ 60;

Для овоща В наложено верхнее ограничение не более 70 тонн, из условия задачи понятно что нижним ограничение является 0. Получаем дополнительные неравенства для овоща В:

В ≥ 0;

В ≤ 70;

Получили математическую модель задачи:

1,6А + 1,7В ≤ 180;

А ≥ 10; А ≤ 60;

В ≥ 0; В ≤ 70;

решение формализованной задачи;

Решив задачу графически и с использованием пакета Excel, получим одинаковое решение:

А = 60 тонн.

В = 49,412 тонн.

Ход решения – см. таблица 9 и рисунок 3

Вывод: Для получения максимальной прибыли в размере 72,7 ден. ед. необходимо следующим образом потратить существующие деньги:

овощ А закупить в количестве 60 тонн.

овощ В закупить в количестве 49,412 м.

При этом необходимо потратит все деньги: 180 д.е.

Графическое решение задачи 4

Необходимо найти значения (А, В), при которых функция Z=0,8 А – 0,5 В достигает максимума. При этом А и В должны удовлетворять системе ограничений, приведенной ранее:

1,6А + 1,7В ≤ 180;

А ≥ 10; А ≤ 60;

В ≥ 0; В ≤ 70;

Решение

Строим область, являющуюся пересечением всех полуплоскостей, уравнения которых приведены в системе ограничений. Например, полуплоскость 1,6А + 1,7В ≤ 180; представляет собой совокупность точек, лежащих ниже прямой, соединяющей точки с координатами (65; 44,705) и (32,813; 75). Аналогично – остальные. Построение – рисунок 3.

Находим градиент функции Z.

grad z = {0,8; 0,5}

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концом в точке (0,8; 0,5).

Построение – рисунок 3.

Строим прямую, перпендикулярную вектору градиента. Так как по условию мы ищем максимум функции Z, то передвигаем прямую в направлении указанном вектором. Точка максимума – последняя точка области, которую пересечет эта прямая. В нашем случае, искомая точка лежит на пересечении прямых А=60 и 1,6 А + 1,7 В = 180;

Построение – рисунок 3

Решаем систему уравнений

А=60;

1,6А + 1,7В = 180; В = 49,412;

Т.е графическое построение дало результат (60; 49,412).

Максимальное значение функции Z = 0,8*60+0,5*49,412=72,7.

Рисунок 3 – Графическое решение задачи 4

Решение задачи 4 с использованием пакета Excel

В пакете Excel решение задачи линейного программирования осуществляется с помощью пункта меню Сервис – Поиск решения.

Распечатка решения задачи в Excel приведена в таблице 9.

Формулы, по которым был произведен расчет, приведены в таб. 10.

Таблица 9 – Решение задачи в Excel

	Переменные
	A	B
Значения	60	49.412
Нижняя граница	10	0
Верхняя граница	60	70
Z=(2.4–1.6) A+(2.2–1.7) B	0.8	0.5	72.706	max
Коэффициенты целевой функции
	Коэффициенты		Значение		Фактические ресурсы	Неиспользованные ресурсы
Система ограничений	1.6	1.7	180	<=	180	0

Таблица 10 – Формулы для расчета в Excel

Переменные

	A	B
Значения	60	49.412
Нижняя граница	10	0
Верхняя граница	60	70
Z=(2.4–1.6) A+(2.2–1.7) B	0.8	0.5	=СУММПРОИЗВ (B3:C3; B6:C6)	max
Коэффициенты целевой функции
	Коэффициенты		Значение		Фактические ресурсы	Неиспользо- ванные ресурсы
Система ограничений	1.6	1.7	=СУММПРОИЗВ (B3:C3; B10:C10)	<=	180	=F10 D10

Список используемой литературы

Финансово-экономические расчеты в Excel. – 2-е изд., доп. – М: Информационно-издательский дом «Филинъ», 2005. – 184 с.

Методический указания и контрольные задания по дисциплине «Информатика» для студентов заочного факультета экономического направления обучения. Ч. 3/ Сост. В.Н. Черномаз, Т.В. Шевцова, О.А. Медведева. – ДГМА, 2006 – 40 стр.