Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Дифференциальные уравнения

);;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;Министерство образования РФ

Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Филиал "Восход"

Кафедра МиПОИС


Курсовая работа

по курсу: Дифференциальные уравнения


Студент гр. ДА 2-40

Воронцов О. В.


Байконур 2005 г.

1. Теоретическая часть


Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Дифференциальные уравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:


Дифференциальные уравнения


Возможны три случая:

Когда C1=C2 =0


Дифференциальные уравнения


Когда


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Когда


Дифференциальные уравнения


Вводятся новые переменные u и υ так, чтобы правая часть исходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевого порядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравнения после подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя и знаменателя, то есть записываются два равенства:


Дифференциальные уравнения


Определитель данной системы линейных алгебраических уравнений: Дифференциальные уравнения, не равен нулю по условию, поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственная пара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+k правая часть исходного уравнения принимает вид Дифференциальные уравнения, а само уравнение: Дифференциальные уравнения. Полученное уравнение является однородным


2. Практическая часть


Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:


Дифференциальные уравнения


– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Проинтегрируем выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Следовательно, исходное уравнение является однородным.

Пусть


Дифференциальные уравнения


Произведём замену в исходном уравнении:


Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:


Дифференциальные уравнения

Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Но Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения

Задача 3. Найти общий интеграл: Дифференциальные уравнения

Решение:

Дифференциальные уравнения - дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному


Дифференциальные уравнения


Введём новые элементы:


Дифференциальные уравнения ,


где h и k должны удовлетворять уравнениям:


Дифференциальные уравнения откуда Дифференциальные уравнения

Таким образом:


Дифференциальные уравнения откуда Дифференциальные уравнения


Подставляя это в исходное уравнение, получим


Дифференциальные уравнения


Или


Дифференциальные уравнения


Сделаем подстановку:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения -


дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными


Дифференциальные уравнения


Упростим левую часть выражения


Дифференциальные уравнения

1+z=A(z-1)+Bz

Z1: 1=A+B A=-1

z0: 1=-A B=2


Проинтегрируем уравнение (**)


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C

Дифференциальные уравнения


Пропотенцируем и подставим значение z в выражение


Дифференциальные уравнения


Упрощая данное выражение, получим:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 4. Найти решение задачи Коши:Дифференциальные уравненияДифференциальные уравнения

Решение:

Дифференциальные уравнения– линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

a) Дифференциальные уравнения


Разделим переменные:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Проинтегрируем а затем пропотенцируем данное выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

б) Дифференциальные уравнения


Разделяя переменные, подставляя значение υ и интегрируя выражение получим:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Следовательно:


Дифференциальные уравнения


Найдём значение С2

y|п/4=1/2

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 5. Решить задачу Коши: Дифференциальные уравнения

Решение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения - линейное уравнение

Воспользуемся методом интегрирующего множителя:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 6. Найти решение задачи Коши: Дифференциальные уравнения, y(0)=1

Решение:

Дифференциальные уравнения - уравнение Бернулли

Подёлим данное уравнение на (:y2):


Дифференциальные уравнения


Произведём замену и подставим её в исходное уравнение:


z=y-1 Дифференциальные уравнения


Следовательно:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения - линейное уравнение


Воспользуемся методом Бернулли:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Откуда:


Дифференциальные уравнения


Найдём значение С2


Дифференциальные уравнения


Следовательно:Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:


Дифференциальные уравнения


- дифференциальное уравнение в полных дифференциалах


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения (*)


Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этом считаем, что С является функцией от y:


Дифференциальные уравнения


Дифференцируя полученное, имеем:


Дифференциальные уравнения

Но Дифференциальные уравнения


Откуда:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Следовательно:


Дифференциальные уравнения


Ответ:


Дифференциальные уравнения


Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М.


Дифференциальные уравнения


Решение:

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать на них угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом, чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:


Дифференциальные уравнения


Откуда Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения


В результате получим следующий график:


Дифференциальные уравнения


Задача 9. Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор Дифференциальные уравнения с концом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительным направлением оси ординат. М0(6;4), a=10

Решение:


Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Подставляя значения функции в точке M найдём значение С:

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:

Дифференциальные уравнения - дифференциальное уравнение третьего порядка

Пусть Дифференциальные уравнения

Подставив в исходное уравнение, получим:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Проинтегрируем и поделим на х данное выражение:


Дифференциальные уравнения


Следовательно: Дифференциальные уравнения

Разделяя переменные и вновь интегрируя, получим:


Дифференциальные уравнения


Повторяем процедуру в третий раз и получаем искомое выражение для y


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:

Данное уравнение не содержит х в явном виде

Предположим, что Дифференциальные уравнения откуда Дифференциальные уравнения

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так:


Дифференциальные уравнения


Разделим переменные и проинтегрируем выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

НоДифференциальные уравнения. Тогда Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Однако: Дифференциальные уравнения. Поэтому разделим переменные и проинтегрируем выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Выясним значение С2:


Дифференциальные уравнения


Следовательно: Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:

Дифференциальные уравнения - НЛДУ четвёртого порядка

Решение будет записано в виде:


Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения


Запишем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ):


Дифференциальные уравнения


Составим и решим для ОЛДУ характеристическое уравнение:


k4-3k3+3k2-k=0

k1=0

k3-3k2+3k-1=0

k2=1


по методу Горнера:


1 -3 3 -1

1 1 -2 1 0

k3-2k2+1=0

k3,4=1


Общее решение будет равно:


Дифференциальные уравнения


Найдём частное решение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

6A-2Ax-B=2x

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Откуда: Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:

Дифференциальные уравнения - НЛДУ с постоянными коэффициентами

Составим ОЛДУ и решим соответствующее характеристическое уравнение


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Решение НЛДУ запишется в виде:Дифференциальные уравнения

Общее решение:Дифференциальные уравнения

Найдём частное решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим коэффициенты


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения => Дифференциальные уравнения


Частное решение: Дифференциальные уравнения

Решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения


Дифференциальные уравнения


Решение:

Дифференциальные уравнения - НЛДУ с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения


Общее решение


Дифференциальные уравнения


Найдём частное решение: Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим неизвестные коэффициенты:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Частное решение уравнения:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения=Дифференциальные уравненияДифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения=Дифференциальные уравненияДифференциальные уравнения


Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения: Дифференциальные уравнения

Решение:

По определению гиперболического синуса:


Дифференциальные уравнения


Найдём общее решение


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Найдём частное решение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Подставив в исходные уравнения, найдём значения коэффициентов:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 16. Решить задачу Коши:


Дифференциальные уравнения, Дифференциальные уравнения, Дифференциальные уравнения


Решение:


Дифференциальные уравнения - НЛДУ


Общее решение запишем в видеДифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения


Запишем ОЛДУ и найдём корни его характеристического уравнения:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Общее решение имеет вид: Дифференциальные уравнения

Найдём решение частное:


Дифференциальные уравнения,


где С1 и С2– решения системы дифференциальных уравнений


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


По теореме Крамера:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Интегрируя выражения, получим:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Следовательно, решение будет выглядеть так:


Дифференциальные уравнения


Найдём значения С1 и С2


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 17. Решить систему дифференциальных уравнений


Дифференциальные уравнения


Решение:

Составим матрицу системы:


Дифференциальные уравнения


Составим характеристическое уравнение det(A-λE)=0, то есть:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Найдём собственные векторы


1) Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

2) Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Запишем общее решение системы уравнений


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Отсюда получаем:


Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения

Задача 18. Найти кривые, у которых точка пересечения любых касательных с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.

Решение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Но Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения => Дифференциальные уравнения


Разделим переменные:


Дифференциальные уравнения


Проинтегрируем и пропотенцируем выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения

Похожие работы:

  1. • Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
  2. •  ... 98 для решения дифференциального уравнения n-го ...
  3. • Дифференциальные уравнения I и II порядка
  4. • Роль теории дифференциальных уравнений в современной ...
  5. • Дифференциальные уравнения
  6. • Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
  7. • ЭВМ с использованием математического пакета ...
  8. •  ... компьютерного решения дифференциальных уравнений
  9. •  ... обучения во время изложения дифференциальных уравнений
  10. •  ... исчисления при решении дифференциальных уравнений
  11. • Интегралы. Дифференциальные уравнения
  12. •  ... системы дифференциальных уравнений двумя методами: ...
  13. • Решение дифференциального уравнения с последующей ...
  14. • Анализ дифференциальных уравнений
  15. • Билеты по математическому анализу
  16. • Решение систем дифференциальных уравнений при помощи ...
  17. • Решение дифференциальных уравнений. Обзор
  18. • Основные понятия математического анализа
  19. • Решение систем линейных дифференциальных уравнений ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com