Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу ( в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

(1)

Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактических уровней временного ряда (yt) от выравненных, расчетных (ŷt):

(2)

При использовании кривых роста ŷt вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений et от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассматриваемых в разделе 1, например, критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.

В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики). В то же время эффективность этих оценок будет снижаться, а, следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности.

Существует несколько приемов обнаружения авто корреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, Т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле:

d = (3)

Можно показать, что величина d приближенно равна:

d≈ 2(1-r1)

где r1- коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами е1, е2, ... ,еn-1 и е2, е3,…,en).

Из последней формулы видно, что если в значениях et имеется сильная положительная авто корреляция ( r1≈1), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r1≈-1) d=4. При отсутствии автокорреляции (r≈0) d=2.

Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1; 2,5; и 5% уровней значимости. Значения критерия Дарбина- Уотсона при 5% уровне значимости приведены в таблице. В этой таблице d1 и d2 – соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина- Уотсона; k1 – число переменных в модели; n- длина ряда.

Таблица.

Значение критерия Дарбина- Уотсона d1 и d2 при 5% уровне значимости

n	K1=1		K1=2		K1=2
	d1	d2	d1	d2	d1	d2
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36	1.08 1.1 1.13 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.27 1.29 1.3 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.49 1.4 1.41	1.36 1.37 1.38 1.39 1.4 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.45 1.46 1.47 1.48 1.48 1.49 1.5 1.5 1.51 1.51 1.52 1.52	0.95 0.98 1.02 1.05 1.08 1.1 1.13 1.15 1.17 1.19 1.21 1.22 1.24 1.26 1.27 1.28 1.3 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35	1.54 1.54 1.54 1.53 1.53 1.54 1.54 1.54 1.54 1.55 1.55 1.55 1.56 1.56 1.56 1.57 1.57 1.57 1.58 1.58 1.58 1.59	0.82 0.86 0.9 093 0.97 1 1.03 1.05 1.08 1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 1.21 1.23 1.24 1.26 1.27 1.28 1.29	1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.68 1.67 1.66 1.66 1.66 1.66 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65

Применение на практике критерия Дарбина- Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле (3), с теоретическими значениями d1 и d2 , взятыми из таблицы. Отметим, что большинство программных пакетов статистической обработки данных осуществляет расчет этого критерия (например, ППП "Олимп", "Мезозавр", "Statistica" и др.).

При сравнеии величины d с d1 и d2 возможны следующие варианты:

Если d<d1, то гипотеза о независимости случайных отклонений (отсутствие автокорреляции) отвергается;

Если d>d2 , то гипотеза о независимости случайных отклонений не отвергается;

Если d1≤d≤d2, то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область "неопределенности" .

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция.

Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в et существует отрицательная автокорреляция.

Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями dj и d2 сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.

Для определения доверительных интервалов модели свойство

нормальности распределения остатков имеет важное значение. Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии и эксцесса, а также их среднеквадратические ошибки.

А= (4)

Э= (5)

σa= (7)

где А- выборочная характеристика асимметрии;

Э- выборочная характеристика экцесса;

σА- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

σЭ- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики экцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

|А|<1,5σА; | |<1,5σЭ (8)

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

|А|≥2σА; |Э+| ≥2σ (9)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.

Классификация прогнозов. Требования, предъявляемые к временным рядам, их компонентный состав

1. Изменения курса акций промышленной компании в течение месяца представлены в таблице:

курс акции (Дол.)

t Yt t Yt t Yt t Yt

1 509 6 515 11 517 16 510

2 507 7 520 12 524 17 516

3 508 8 519 13 526 18 518

4 509 9 512 14 519 19 524

5 518 10 511 15 514 20 521

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении курса акций двумя способами:

а) с помощью метода Фостера - Стюарта;

б) используя критерий серии, основанный на медиане выборки. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

2. Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении курса акций с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки.

3. Годовые данные об изменении урожайности зерновых культу; представлены в таблице. С помощью критерия "восходящих и нисходящих" серий проверить утверждение о том, что в изменении урожайности имеется тенденция.

Урожайность зерновых культур (ц/га)

t	Yt	t	Yt	t	Yt	t	Yt
1	6,7	6	8,6	11	8,4	16	9,1
2	7,3	7	7,8	12	9,1	17	9,5
3	7,6	8	7,7	13	8,3	18	10,4
4	7,9	9	7,9	14	8,7	19	10,5
5	7,4	10	8,2	15	8,9	20	10,2
						21	9,3

Доверительную вероятность принять равной 0,95.

Решение

1. Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта представлены в таблице 1.

1) Если уровень yt больше всех предшествующих уровней, то в графе mt ставим 1, если yt меньше всех предшествующих уровней, то ставим 1 в графе lt;

2) Определяем dt=mt-1t для t=2ч20;

3) D = =3;

4) Значение σd для n=20 берем из таблицы 1.2.

σd =2,279.

Значение tкp берем из таблицы t- распределения Стьюдента:

tкp (а=О,05; К=19)=2,093; tH ==1,316.

TH< Tkр нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии тренда.

С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует.

Вспомогательные вычисления представлены в таблице 1.4.

Таблица 1

Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта

t	Yt	Mt	Et	Dt	t	Yt	Mt	Et	Dt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	509 507 508 509 518 515 520 519 512 511	- 0 0 0 1 0 1 0 0 0	- 1 0 0 0 0 0 0 0 0	- -1 0 0 1 0 1 0 0 0	11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	517 524 526 519 514 510 516 518 524 521	0 1 1 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

Вспомогательные вычисления представлены в таблице 2

t	Yt	Y't		t	Yt	Y't		t	Yt	Y't
1 2 3 4 5 6	509 507 508 509 518 515	507 508 509 509 510 511	- - - - + -	7 8 9 10 11 12 13 14	520 519 512 511 517 524 526 519	512 514 515 516 517 518 518 519	+ + - - + + + +	15 16 17 18 19 20	519 520 521 524 524 526	519 520 521 524 524 526	- - - + + +

1) от исходного ряда yt переходим к ранжированному yt', расположив значения исходного ряда в порядке возрастания;

2) Т.к. n=20 (четное)

Медиана

Ме = =516,5;

3) Значение каждого уровня исходного ряда yt сравнивается со значением медианы. Если yt >Ме, то δi принимает значение «+», если меньше, то «-»;

4) v (20)=8- число серий;

max (20)=4- протяженность самой большой серии.

В соответствии делаем проверку:

max (20)<[3,3(lg20+1)]

v(20)>[(20+1-1.96)]

4<7

8>6

Оба неравенства выполняются. С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует, что согласуется с выводом, сделанным с помощью метода Фостера-Стюарта.

Таблица 3

t	Yt		t	Yt		t	Yt
1 2 3 4 5 6	6,7 7,3 7,6 7,9 7,4 8,6	+ + + - +	7 8 9 10 11 12	7,8 7,7 7,9 8,2 8,4 9,1	- - + + + +	13 14 15 16 17 18 19 20 21	8,3 8,7 8,9 9,1 9,5 10,4 10,5 10,2 9,3	- + + + + + + - -

Вспомогательные вычисления в задании

В графе δ ставим «+», если последующее значение уровня временного ряда больше предыдущего, «-» - если меньше. Определим v (21)=8 – число серий.

max (21)=6 – протяженность самой большой серии. Табличное значение

0 (21)=5. В соответствии делаем проверку:

V(21)>[ ]

max (21)≤ 0(21)

8>10

6≤5

Т.к. оба неравенства не выполняются, то делаем выводы: во временном ряду урожайности имеется тенденции.