Задание №1.

Инвестиционный проект предполагает затраты для развития производства: I0, I1,…, In, где Ik – инвестиций в К-й год, что в будущем принесет доходы У1, …, Уn (Уk – доход в К-й год.). Провести расчеты с использованием электронных таблиц для определения характеристик проекта в зависимости от ставки дисконтирования r (r – процентная ставка):

Чистой приведенной стоимости NPV(r)

Срока окупаемости Т(r)

Рентабельности h(r)

По результатам расчетов приближенно найти внутреннюю норму доходности проекта IRR и заполнить таблицу.

При решении задачи используются следующие формулы:

Для расчета дисконтированных затрат за год:

Для расчета дисконтированной прибыли за год:

Для расчета дисконтированных доходов за год:

Для расчета чистой приведенной стоимости:

Для расчета рентабельности (прибыли, принесенной проектом в расчете на единицу вложенных средств):

Для расчета суммы дисконтированных затрат:

Для расчета суммы дисконтированных доходов:

Для расчета дисконтированной прибыли:

Срок окупаемости проекта определяется как период, за который сумма приведенных доходов достигнет (или превысит) сумму приведенных (дисконтированных к начальному моменту времени) затрат.

Решение:

Инвестиционный проект характеризуется следующими величинами:

Год	0	1	2	3	4	5
Инвестиции (I)	10000	0				1000
Доходы (Y)		1000	3000	5000	5000	5000

Процентная ставка r=5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	783,526
Дисконтированная прибыль		952,381	2721,09	4319,19	4113,51	3134,1
Дисконтированные доходы		952,381	2721,09	4319,19	4113,51	3917,63
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10783,5
Сумма дисконтированных доходов	0	952,381	3673,47	7992,66	12106,2	16023,8

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
5240,27442	0,485951844	4 года

Процентная ставка r=5,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	765,134
Дисконтированная прибыль		947,867	2695,36	4258,07	4036,08	3060,54
Дисконтированные доходы		947,867	2695,36	4258,07	4036,08	3825,67
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10765,1
Сумма дисконтированных доходов	0	947,867	3643,22	7901,29	11937,4	15763

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
4997,913999	0,464268613	4 года

Процентная ставка r=6%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	747,258
Дисконтированная прибыль		943,396	2669,99	4198,1	3960,47	2989,03
Дисконтированные доходы		943,396	2669,99	4198,1	3960,47	3736,29
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10747,3
Сумма дисконтированных доходов	0	943,396	3613,39	7811,48	11772	15508,2

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
4760,982969	0,442995124	4 года

Процентная ставка r=6,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	729,881
Дисконтированная прибыль		938,967	2644,98	4139,25	3886,62	2919,52
Дисконтированные доходы		938,967	2644,98	4139,25	3886,62	3649,4
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10729,9
Сумма дисконтированных доходов	0	938,967	3583,94	7723,19	11609,8	15259,2

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
4529,329244	0,422122977	4 года

Процентная ставка r=7%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	712,986
Дисконтированная прибыль		934,579	2620,32	4081,49	3814,48	2851,94
Дисконтированные доходы		934,579	2620,32	4081,49	3814,48	3564,93
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10713
Сумма дисконтированных доходов	0	934,579	3554,9	7636,39	11450,9	15015,8

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
4302,805787	0,401643922	4 года

Процентная ставка r=7,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	696,559
Дисконтированная прибыль		930,233	2596	4024,8	3744	2786,23
Дисконтированные доходы		930,233	2596	4024,8	3744	3482,79
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10696,6
Сумма дисконтированных доходов	0	930,233	3526,23	7551,03	11295	14777,8

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
4081,270421	0,381549857	4 года

Процентная ставка r=8%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	680,583
Дисконтированная прибыль		925,926	2572,02	3969,16	3675,15	2722,33
Дисконтированные доходы		925,926	2572,02	3969,16	3675,15	3402,92
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10680,6
Сумма дисконтированных доходов	0	925,926	3497,94	7467,1	11142,3	14545,2

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
3864,585644	0,36183283	4 года

Процентная ставка r=8,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	665,045
Дисконтированная прибыль		921,659	2548,37	3914,54	3607,87	2660,18
Дисконтированные доходы		921,659	2548,37	3914,54	3607,87	3325,23
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10665
Сумма дисконтированных доходов	0	921,659	3470,02	7384,57	10992,4	14317,7

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
3652,618453	0,342485035	4 года

Процентная ставка r=9%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	649,931
Дисконтированная прибыль		917,431	2525,04	3860,92	3542,13	2599,73
Дисконтированные доходы		917,431	2525,04	3860,92	3542,13	3249,66
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10649,9
Сумма дисконтированных доходов	0	917,431	3442,47	7303,39	10845,5	14095,2

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
3445,240173	0,323498814	4 года

Процентная ставка r=9,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	635,228
Дисконтированная прибыль		913,242	2502,03	3808,27	3477,87	2540,91
Дисконтированные доходы		913,242	2502,03	3808,27	3477,87	3176,14
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10635,2
Сумма дисконтированных доходов	0	913,242	3415,27	7223,54	10701,4	13877,6

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
3242,326296	0,304866656	4 года

Процентная ставка r=10%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	620,921
Дисконтированная прибыль		909,091	2479,34	3756,57	3415,07	2483,69
Дисконтированные доходы		909,091	2479,34	3756,57	3415,07	3104,61
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10620,9
Сумма дисконтированных доходов	0	909,091	3388,43	7145	10560,1	13664,7

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
3043,756326	0,286581195	4 года

Процентная ставка r=10,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	607
Дисконтированная прибыль		904,977	2456,95	3705,81	3353,67	2428
Дисконтированные доходы		904,977	2456,95	3705,81	3353,67	3035
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10607
Сумма дисконтированных доходов	0	904,977	3361,93	7067,74	10421,4	13456,4

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
2849,413628	0,268635209	4 года

Процентная ставка r=11%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	593,451
Дисконтированная прибыль		900,901	2434,87	3655,96	3293,65	2373,81
Дисконтированные доходы		900,901	2434,87	3655,96	3293,65	2967,26
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10593,5
Сумма дисконтированных доходов	0	900,901	3335,77	6991,73	10285,4	13252,6

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
2659,18529	0,251021618	4 года

Процентная ставка r=11,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	580,264
Дисконтированная прибыль		896,861	2413,08	3606,99	3234,97	2321,06
Дисконтированные доходы		896,861	2413,08	3606,99	3234,97	2901,32
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10580,3
Сумма дисконтированных доходов	0	896,861	3309,94	6916,93	10151,9	13053,2

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
2472,961983	0,233733484	4 года

Процентная ставка r=12%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	567,427
Дисконтированная прибыль		892,857	2391,58	3558,9	3177,59	2269,71
Дисконтированные доходы		892,857	2391,58	3558,9	3177,59	2837,13
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10567,4
Сумма дисконтированных доходов	0	892,857	3284,44	6843,34	10020,9	12858,1

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
2290,637829	0,216764011	4 года

Процентная ставка r=12,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	554,929
Дисконтированная прибыль		888,889	2370,37	3511,66	3121,48	2219,72
Дисконтированные доходы		888,889	2370,37	3511,66	3121,48	2774,64
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10554,9
Сумма дисконтированных доходов	0	888,889	3259,26	6770,92	9892,39	12667

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
2112,110281	0,200106537	5 лет

Процентная ставка r=13%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	542,76
Дисконтированная прибыль		884,956	2349,44	3465,25	3066,59	2171,04
Дисконтированные доходы		884,956	2349,44	3465,25	3066,59	2713,8
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10542,8
Сумма дисконтированных доходов	0	884,956	3234,4	6699,65	9766,24	12480

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
1937,279996	0,183754539	5 лет

Процентная ставка r=13,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	530,91
Дисконтированная прибыль		881,057	2328,79	3419,66	3012,91	2123,64
Дисконтированные доходы		881,057	2328,79	3419,66	3012,91	2654,55
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10530,9
Сумма дисконтированных доходов	0	881,057	3209,84	6629,5	9642,41	12297

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
1766,050723	0,167701629	5 лет

Процентная ставка r=14%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	519,369
Дисконтированная прибыль		877,193	2308,4	3374,86	2960,4	2077,47
Дисконтированные доходы		877,193	2308,4	3374,86	2960,4	2596,84
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10519,4
Сумма дисконтированных доходов	0	877,193	3185,6	6560,45	9520,85	12117,7

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
1598,329193	0,151941551	5 лет

Процентная ставка r=14,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	508,127
Дисконтированная прибыль		873,362	2288,29	3330,84	2909,03	2032,51
Дисконтированные доходы		873,362	2288,29	3330,84	2909,03	2540,64
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10508,1
Сумма дисконтированных доходов	0	873,362	3161,65	6492,49	9401,52	11942,2

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
1434,02501	0,13646818	5 лет

Процентная ставка r=15%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	497,177
Дисконтированная прибыль		869,565	2268,43	3287,58	2858,77	1988,71
Дисконтированные доходы		869,565	2268,43	3287,58	2858,77	2485,88
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10497,2
Сумма дисконтированных доходов	0	869,565	3138	6425,58	9284,34	11770,2

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
1273,050551	0,121275518	5 лет

Процентная ставка r=15,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	486,508
Дисконтированная прибыль		865,801	2248,83	3245,07	2809,58	1946,03
Дисконтированные доходы		865,801	2248,83	3245,07	2809,58	2432,54
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10486,5
Сумма дисконтированных доходов	0	865,801	3114,63	6359,7	9169,29	11601,8

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
1115,320866	0,106357698	5 лет

Процентная ставка r=16%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	476,113
Дисконтированная прибыль		862,069	2229,49	3203,29	2761,46	1904,45
Дисконтированные доходы		862,069	2229,49	3203,29	2761,46	2380,57
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10476,1
Сумма дисконтированных доходов	0	862,069	3091,56	6294,85	9056,3	11436,9

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
960,7535882	0,091708975	5 лет

Процентная ставка r=16,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	465,983
Дисконтированная прибыль		858,369	2210,39	3162,22	2714,35	1863,93
Дисконтированные доходы		858,369	2210,39	3162,22	2714,35	2329,92
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10466
Сумма дисконтированных доходов	0	858,369	3068,76	6230,98	8945,34	11275,3

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
809,2688381	0,077323727	5 лет

Процентная ставка r=17%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	456,111
Дисконтированная прибыль		854,701	2191,54	3121,85	2668,25	1824,44
Дисконтированные доходы		854,701	2191,54	3121,85	2668,25	2280,56
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10456,1
Сумма дисконтированных доходов	0	854,701	3046,24	6168,09	8836,34	11116,9

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
660,7891405	0,063196453	5 лет

Процентная ставка r=17,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	446,489
Дисконтированная прибыль		851,064	2172,93	3082,17	2623,12	1785,96
Дисконтированные доходы		851,064	2172,93	3082,17	2623,12	2232,44
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10446,5
Сумма дисконтированных доходов	0	851,064	3023,99	6106,16	8729,28	10961,7

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
515,2393398	0,049321772	5 лет

Процентная ставка r=18%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	437,109
Дисконтированная прибыль		847,458	2154,55	3043,15	2578,94	1748,44
Дисконтированные доходы		847,458	2154,55	3043,15	2578,94	2185,55
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10437,1
Сумма дисконтированных доходов	0	847,458	3002,01	6045,17	8624,11	10809,7

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
372,5465205	0,035694416	5 лет

Процентная ставка r=18,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	427,965
Дисконтированная прибыль		843,882	2136,41	3004,8	2535,69	1711,86
Дисконтированные доходы		843,882	2136,41	3004,8	2535,69	2139,82
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10428
Сумма дисконтированных доходов	0	843,882	2980,29	5985,09	8520,78	10660,6

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
232,6399295	0,022309236	5 лет

Процентная ставка r=19%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	419,049
Дисконтированная прибыль		840,336	2118,49	2967,08	2493,34	1676,2
Дисконтированные доходы		840,336	2118,49	2967,08	2493,34	2095,25
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10419
Сумма дисконтированных доходов	0	840,336	2958,83	5925,91	8419,25	10514,5

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
95,4509027	0,009161191	5 лет

Процентная ставка r=19,5%

Год	0	1	2	3	4	5
Дисконтированные затраты	10000	0	0	0	0	410,356
Дисконтированная прибыль		836,82	2100,8	2929,99	2451,88	1641,42
Дисконтированные доходы		836,82	2100,8	2929,99	2451,88	2051,78
Сумма дисконтированных затрат	10000	10000	10000	10000	10000	10410,4
Сумма дисконтированных доходов	0	836,82	2937,62	5867,61	8319,49	10371,3

Чистая приведённая стоимость (NPV)	Рентабельность (h)	Срок окупаемости (T)
-39,08720629	-0,003754647	не окупится

По результатом расчётов составим следующую таблицу:

Процентная ставка (r), %	Чистая приведённая стоимость (NPV)	Срок окупаемости (T)	Рентабельность (h)
5	5240,27	4	0,48595
5,5	4997,91	4	0,46427
6	4760,98	4	0,443
6,5	4529,33	4	0,42212
7	4302,81	4	0,40164
7,5	4081,27	4	0,38155
8	3864,59	4	0,36183
8,5	3652,62	4	0,34249
9	3445,24	4	0,3235
9,5	3242,33	4	0,30487
10	3043,76	4	0,28658
10,5	2849,41	4	0,26864
11	2659,19	4	0,25102
11,5	2472,96	4	0,23373
12	2290,64	4	0,21676
12,5	2112,11	5	0,20011
13	1937,28	5	0,18375
13,5	1766,05	5	0,1677
14	1598,33	5	0,15194
14,5	1434,03	5	0,13647
15	1273,05	5	0,12128
15,5	1115,32	5	0,10636
16	960,754	5	0,09171
16,5	809,269	5	0,07732
17	660,789	5	0,0632
17,5	515,239	5	0,04932
18	372,547	5	0,03569
18,5	232,64	5	0,02231
19	95,4509	5	0,00916
19,5	-39,087	не окупится	-0,0038

Расчеты показывают, что рентабельность проекта снижается с ростом ставки дисконтирования. При процентной ставке=19,5% проект не окупится

Найдем внутреннюю норму доходности проекта IRR, т.е. при которой выполняется равенство NPV=0

Год	0	1	2	3	4	5
Инвестиции (I)	10000	0				1000
Доходы (Y)		1000	3000	5000	5000	5000
Прибыль (Y - I)	-10000	1000	3000	5000	5000	4000

IRR

19%

IRR=19%, поэтому если процентная ставка превысит или будет равна 19%, то проект будет убыточным. Внутренняя норма дохода IRR=19% определяет "границу рентабельности" проекта.

Задание №2. Кредитные расчеты

Выдан кредит в размере M рублей на n лет под r % годовых. Произвести расчет выплат по кредиту по всем четырем схемам. Разработать простейшую информационную систему на базе MS Excel для решения задачи. M = 100000 руб., n = 10 лет, r = 7,5% Произведем расчеты ежегодных выплат по всем формам кредитных расчетов.

Схема 1

Погашение кредита одним платежом в конце срока

Если кредит выдан в сумме M под r процентов годовых на n лет, то к концу n-го года выплачивается сумма:

Подставим данные в формулу: Кредитор вернет кредит разовым платежом в конце периода в размере 206103,15 рублей.

Схема №2

Ежегодные выплаты текущих процентов и погашение основного долга одним платежом в конце. При таком способе расчетов платежи производятся по следующей схеме:

Год	1	2	...	n
Выплачиваемая суммав конце года	rM	rM	rM	rM+M

Год	Выплачиваемая сумма в конце года
1	7500
2	7500
3	7500
4	7500
5	7500
6	7500
7	7500
8	7500
9	7500
10	107500
Итого	175000

Кредитор выплачивает ежегодные проценты в размере 7500 рублей, а в последний год выплачивает проценты и основную сумму кредита, т.е. 107500 рублей. Всего в сумме 175000 рублей

Схема 3

Погашение основного долга равными годовыми выплатами и ежегодные выплаты текущих процентов. При данном способе расчетов предусмотрена следующая схема выплат. В конце каждого года выплачивается n-я доля основного долга: M/n. Кроме того, в конце i-го года выплачиваются проценты в размере:

Таким образом, общая сумма платежа в i-й год составит

Год	Проценты (Ri)	Общая сумма платежа (Ki)
1	7500	17500
2	6750	16750
3	6000	16000
4	5250	15250
5	4500	14500
6	3750	13750
7	3000	13000
8	2250	12250
9	1500	11500
10	750	10750
Итого		141250

Всего кредитор выплатит 141250 рублей

Схема 4

Погашение кредита равными годовыми выплатами

При данной форме расчетов в конце каждого года выплачивается одинаковая сумма R.

,

где a(n,r) – коэффициент приведения ренты.

Эти платежи можно рассматривать как ежегодную ренту заемщика (кредитора). В этом случае, сумма M представляет собой современную выплату ренты, а R - ежегодный рентный платеж.

a(10;7,5) = 6,864

14568,59 (руб)

Ежегодные выплаты – 14568,59 рублей.

Итого за 10 лет: 145685,93 рублей.

Задание №3. Балансовые модели. Модель Леонтьева

Для системы трех отраслей задана матрица прямых затрат А и вектор конечной продукции Y в стоимостном выражении.

Определить:

Величину валовой продукции для каждой отрасли и заполнить балансовую таблицу.

За счет роста экспорта производство конечной продукции третьей отрасли возросло на λ процентов. На сколько процентов увеличилось производство валовой продукции в каждой из отраслей?

За счет снижения спроса производство конечной продукции первой отрасли сократилось вдвое. На сколько процентов сократится производство валовой продукции в каждой из отраслей?

Конечный продукт, уi	Коэффициент прямых затрат, аij			α
1000	0,17	0,22	0,09	25,00%
1200	0,00	0,39	0,18
600	0,09	0,17	0,09

Решение:

Определить величину валовой продукции для каждой отрасли и заполнить балансовую таблицу.

Составим матрицу прямых затрат (технологическую матрицу)

,

где аij - коэффициенты прямых затрат

и вектор конечной продукции

,

где yi -конечный продукт i-ой отрасли, i = 1,2…..n

Для расчета величины валовой продукции каждой отрасли составим систему уравнений Леонтьева:

,

где Xi - валовая продукция i-ой отрасли, i= 1,2….n

Введем вектор X = (X1,X2,X3) и Y = (Y1,Y2,Y3)

Из системы уравнений Леонтьева

получаем уравнение Леонтьева в матричной форме

решением которого является

Для нахождения Xi нам потребуется единичная матрица:

Составим матрицу (E- A)

Для того, чтобы проверить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), вычислим ее определитель

det(E-A) = 0,4268

Так как определитель матрицы (E-A) не равен 0, значит, она имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы составим алгебраические дополнения.

Теперь составим матрицу B, обратную матрице (E - A)

- матрица полных затрат, где bij - коэффициенты полных затрат.

Чтобы определить, верны ли вычисления, необходимо проверить следующее равенство:

Равенство выполняется, значит, расчеты верны.

Составим систему линейных равенств

Найдем вектор X = (X1,X2,X3)

По формуле (где aij - количество продукции i - ой отрасли, необходимой для производства ед. валовой продукции j - ой отрасли) определим Xij- количество продукции i-ой отрасли, которое используется в j-ой отрасли в качестве материальных затрат.

X11 =	334,480	X21 =	516,706	X31 =	116,342
X12 =	0,000	X22 =	915,979	X32 =	232,685
X13 =	177,078	X23 =	399,273	X33 =	116,342

Составляем балансовую таблицу

Отрасль	1	2	3	Итого	КП	ВП
1	334,480	516,706	116,342	967,528	1000,000	1967,528
2	0,000	915,979	232,685	1148,663	1200,000	2348,663
3	177,078	399,273	116,342	692,693	600,000	1292,693
Итого	511,557	1831,957	465,369	2808,884	2800,000	5608,884
УЧП	1455,971	516,706	827,323	2800,000
ВП1	1967,528	2348,663	1292,693	5608,884

где КП - конечный продукт,

ВП - валовая продукция,

УЧП - условно чистая продукция

За счет роста экспорта производство конечной продукции третьей отрасли возросло на λ = 25%. На сколько процентов увеличилось производство валовой продукции в каждой из отраслей?

Произведем необходимые расчеты с учетом изменений в объеме производства конечной продукции в третьей отрасли.

Конечный продукт, уi	Коэффициент прямых затрат, аij			α
1000	0,17	0,22	0,09	25,00%
1200	0,00	0,39	0,18
750	0,09	0,17	0,09

Поскольку нам известны элементы матрицы и значения вектора Y = (1000; 1200; 750), то мы можем найти вектор X = (X1, X2, X3)

По формуле (где aij - количество продукции i - ой отрасли, необходимой для производства ед. валовой продукции j - ой отрасли) определим Xij- количество продукции i-ой отрасли, которое используется в j-ой отрасли в качестве материальных затрат.

X11 =	340,125	X21 =	528,257	X31 =	132,356
X12 =	0,000	X22 =	936,455	X32 =	264,712
X13 =	180,066	X23 =	408,198	X33 =	132,356

Составляем балансовую таблицу

	1	2	3	Итого	КП	ВП
1	340,125	528,257	132,356	1000,738	1000,000	2000,738
2	0,000	936,455	264,712	1201,167	1200,000	2401,167
3	180,066	408,198	132,356	720,621	750,000	1470,621
Итого	520,192	1872,910	529,423	2922,525	2950,000	5872,525
УЧП	1480,546	528,257	941,197	2950,000
ВП1	2000,738	2401,167	1470,621	5872,525

где КП - конечный продукт,

ВП - валовая продукция,

УЧП - условно чистая продукция

После завершения всех необходимых расчетов нам нужно ответить на поставленный вопрос: на сколько процентов увеличилось производство валовой продукции в каждой из отраслей в связи с тем, что производство конечной продукции в третьей отрасли возросло на 25% (с 600 до 750). Для этого сравним первоначальные значения с полученными выше:

Отрасль	ВП		Процент роста
	до	после
1	1967,528	2000,738	1,688
2	2348,663	2401,167	2,235
3	1292,693	1470,621	13,764
В целом	5608,884	5872,525	4,700

Из таблицы видно, что наибольший рост производства валовой продукции отмечается в третьей отрасли (13,764%), затем во второй (2,235%), и в первой (1,688%). В целом по трем отраслям рост производства валовой продукции составило 4,7%.

За счет снижения спроса производство конечной продукции первой отрасли сократилось вдвое. На сколько процентов сократится производство валовой продукции в каждой из отраслей?

Произведем необходимые расчеты с учетом изменений в объеме производства конечной продукции в первой отрасли.

Конечный продукт, уi	Коэффициент прямых затрат, аij
500	0,17	0,22	0,09
1200	0,00	0,39	0,18
600	0,09	0,17	0,09

Поскольку нам известны элементы матрицы и значения вектора Y = (500; 1200; 600), то мы можем найти вектор X = (X1, X2, X3)

По формуле (где aij - количество продукции i - ой отрасли, необходимой для производства ед. валовой продукции j - ой отрасли) определим Xij- количество продукции i-ой отрасли, которое используется в j-ой отрасли в качестве материальных затрат.

X11 =	230,030	X21 =	512,531	X31 =	110,554
X12 =	0,000	X22 =	908,578	X32 =	221,109
X13 =	121,780	X23 =	396,047	X33 =	110,554

Составляем балансовую таблицу

	1	2	3	Итого	КП	ВП
1	230,030	512,531	110,554	853,115	500,000	1353,115
2	0,000	908,578	221,109	1129,686	1200,000	2329,686
3	121,780	396,047	110,554	628,381	600,000	1228,381
Итого	351,810	1817,155	442,217	2611,182	2300,000	4911,182
УЧП	1001,305	512,531	786,164	2300,000
ВП(1)	1353,115	2329,686	1228,381	4911,182

где КП - конечный продукт,

ВП - валовая продукция,

УЧП - условно чистая продукция

После завершения всех необходимых расчетов нам нужно ответить на поставленный вопрос: на сколько процентов снизилось производство валовой продукции в каждой из отраслей в связи с тем, что производство конечной продукции в первой отрасли уменьшилось вдвое (с 1000 до 500).

Для этого сравним первоначальные значения с полученными выше:

Отрасль	ВП		Процент роста
	до	после
1	1967,528	1353,115	-31,228
2	2348,663	2329,686	-0,808
3	1292,693	1228,381	-4,975
В целом	5608,884	4911,182	-12,439

Из таблицы видно, что наибольший спад производства валовой продукции отмечается в первой отрасли (31,228%), затем в третьей (4,975%), и во второй (0,808%). В целом по трем отраслям спад производства валовой продукции составил 12,439%.