ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА

кафедра экономики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико – математические методы в управлении»

вариант №30

КАЛИНИНГРАД

2008

Задание

Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов Сj (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij. Цена единицы j-го продукта равна сj. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

	C1	C2	C3	bi
cj	9	6	7
a1j	7	5	8	70
a2j	8	2	3	40
a3j	9	6	7	50

Задание 2.2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x1 – 0.2x12 + 0.8x2 – 0.2x22

2x1 + x2 ≥ 10

x12 -10x1 + x2 ≤ 75

x2 ≥ 0

Задание 3.1.

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

требуется профилактический ремонт;

требуется замена отдельных деталей и узлов;

требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

	П1	П2	П3
a	13	9	15
b	20	12	11
c	18	10	14
q	0.3	0.45	0.25

λ = 0.7

Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов Сj (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij. Цена единицы j-го продукта равна сj. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

	C1	C2	C3	bi
cj	9	6	7
a1j	7	5	8	70
a2j	8	2	3	40
a3j	9	6	7	50

Смесь, минимальная по стоимости:

7x1 + 5x2 + 8x3 ≥ 70

8x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 40

9x1 + 6x2 + 7x3 ≥ 50

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0

F = 9x1 + 6x2 + 7x3 → min

После транспонирования матрицы элементов aij, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:

S(y1,y2,y3) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max , при ограничениях:

7y1 + 8y2 + 9y3 ≥ 9

5y1 + 2y2 + 6y3 ≥ 6

8y1 + 3y2 + 7y3 ≥ 7

y1 ≥ 0; y2 ≥ 0; y3 ≥ 0

Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:

7y1 + 8y2 + 9y3 + y4 ≥ 9

5y1 + 2y2 + 6y3 + y5 ≥ 6

8y1 + 3y2 + 7y3 + y6 ≥ 7

y1≥0;y2≥0;y3≥0;y1≥0;y2≥0;y3≥0

S(y1,y2,y3) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max

По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:

x1 x2 x3 x4 x5 x6

y1 y2 y3 y4 y5 y6

Первая симплексная таблица:

Базис	Сб	А0	y1 70	y2 40	y3 50	y4 0	y5 0	y6 0
y4	0	9	7	8	9	1	0	0
y5	0	6	5	2	6	0	1	0
y6	0	7	8	3	7	0	0	1
		0	-70	-40	-50	0	0	0

Вторая симплексная таблица:

Базис	Сб	А0	y1 70	y2 40	y3 50	y4 0	y5 0	y6 0
y4	0	23/8	0	43/8	23/8	1	0	-7/8
y5	0	13/8	0	1/8	13/8	0	1	-5/8
y1	70	7/8	1	3/8	7/8	0	0	1/8
		245/4	0	-55/4	45/4	0	0	35/4

Третья симплексная таблица:

Базис	Сб	А0	y1 70	y2 40	y3 50	y4 0	y5 0	y6 0
Y2	40	23/43	0	1	23/43	8/43	0	-7/43
y5	0	67/43	0	0	67/43	-1/43	1	-26/43
y1	70	29/43	1	0	29/43	-3/43	0	8/43
		2950/43	0	0	800/43	110/43	0	280/43

В последней таблице в строке Δ нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума Smax = 2950/43 достигнута при значениях: y1 = 29/43; y2 = 23/43; y3 = 0.

По теореме двойственности: Fmin = Smax = 2950/43.

На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:

y4 x1 = 110/43 y5 x2 = 0 y6 x3 = 280/43

Ответ: В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C1, 280/43 единиц продукта C3, а продукт C2 не включать.

Задание 2.2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x1 – 0.2x12 + 0.8x2 – 0.2x22

2x1 + x2 ≥ 10

x12 -10x1 + x2 ≤ 75

x2 ≥ 0

В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.

Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x1 и x2, разделив левую и правую части формулы на -0.2:

-5Z = x12 -18x1 + x22 – 4x2

Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:

92 и 22 в сумме составляют 85:

85 – 5Z = (x1 – 9)2 + (x2 – 2)2

В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X1OX2. Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.

Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:

Z”x1x1 Z”x1x2 = -0.4 0

Z”x2x1 Z”x2x2 0 -0.4

Определим знаки главных миноров данной матрицы.

Главный минор первого порядка -0.4 < 0.

Главный минор второго порядка 0.16 > 0.

Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z - строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max, следовательно в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.

Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:

x12 – 10x1 + x2 ≤ 75

x12 – 10x1 + 25 + x2 ≤ 100

(x1 – 5)2 + x2 ≤ 100

(x1 – 5)2 ≤ 100 – x2

Уравнение (x1 – 5)2 = 100 – x2 выразим через переменные x1* и x2*:

x1* = x1 – 5

x2* = 100 – x2

Уравнение примет вид: x1*2 = x2*.

В системе координат X1*O*X2* данное уравнение является каноническим уравнением параболы.

На рисунке область допустимых значений – ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:

max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17

Задание 3.1

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1) требуется профилактический ремонт;

2) требуется замена отдельных деталей и узлов;

3) требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

	П1	П2	П3
a	13	9	15
b	20	12	11
c	18	10	14
q	0.3	0.45	0.25

λ = 0.7

Составим платёжную матрицу, в которой Пj – состояния оборудования, Аi – альтернативы принятия решений:

	П1	П2	П3
А1	-13	-9	-15
А2	-20	-12	-11
А3	-18	-10	-14

Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

а). на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q1 = 0.3; q2 = 0.45; q3 = 0.25

Критерий Байеса.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `ai = ∑aijЧqj

`a1 = -11.7 `a2 = -14.15 `a3 = -13.4

	П1	П2	П3	`ai
А1	-13	-9	-15	-11.7
А2	-20	-12	-11	-14.15
А3	-18	-10	-14	-13.4
qj	0.3	0.45	0.25

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max ai = `a1 = -11.7 – первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.

б). имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

Критерий Лапласа.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `ai = 1/3∑aij

`a1 = -12.3 `a2 = -14.3 `a3 = -14

	П1	П2	П3	`ai
А1	-13	-9	-15	-12.3
А2	-20	-12	-11	-14.3
А3	-18	-10	-14	-14

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max ai = `a1 = -12.3 – первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.

в). о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

Критерий Вальда.

Для каждой альтернативы определим наихудший исход. di – минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный di.

	П1	П2	П3	di
А1	-13	-9	-15	-15
А2	-20	-12	-11	-20
А3	-18	-10	-14	-18

max di = d1 = -15 – первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.

Критерий Сэвиджа.

Для каждого столбца находим максимальный элемент βj.

	П1	П2	П3
А1	-13	-9	-15
А2	-20	-12	-11
А3	-18	-10	-14
βj	-13	-9	-11

Построим матрицу рисков, элементы которой: rij = βj - aij

			max ri
0	0	4	4
7	3	0	7
5	1	3	5

В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: min r = r1 = 4 – первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.

Критерий Гурвица.

Для каждой строки находим минимальный di и максимальный βj.

	П1	П2	П3	di	βj	χi
А1	-13	-9	-15	-15	-9	-13.2
А2	-20	-12	-11	-20	-11	-17.3
А3	-18	-10	-14	-18	-10	-15.6

χi = λ Ч di + (1 – λ) Ч βj λ = 0.7

Максимальный из элементов последнего столбца: max χi = χ1 = -13.2 – первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.