Контрольная работа: Вычисление статистических показателей с помощью пакета "Excel"
Министерство образования и науки Украины
кафедра прикладной математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине "Эконометрия"
Харьков, 2008 г.
Задание № 1.
По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу о линейной зависимости
Y = b0 + b1 * X;
определить параметры b0 и b1;
вычислить коэффициенты детерминации R2 и коэффициент корреляции r;
сделать прогноз Y в указанной точке Xр.
Решение:
1. Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1
| X | Y |
| 3.11 | 10.65 |
| 3.15 | 11.87 |
| 3.85 | 12.69 |
| 4.84 | 13.40 |
| 4.62 | 15.12 |
| 4.87 | 16.03 |
| 6.09 | 16.29 |
| 7.06 | 18.07 |
| 6.23 | 18.40 |
| 6.83 | 19.53 |
| 8.01 | 20.48 |
| 8.26 | 21.72 |
| 9.37 | 23.17 |
| 9.02 | 23.57 |
| 9.76 | 24.41 |
2. На основе данных таблицы1 строим диаграмму рассеивания.
Визуально
можно предположить,
что между данными
существует
линейная зависимость,
то есть их можно
аппроксимировать
линией.
Y = b0 + b1X
3. Найдем параметры b0 и b1.
Опишем полученный результат:
в первой строке находятся оценки параметров регрессии b1, b0;
во второй строке находятся средние квадратичные отклонения sb1, sb0.
в третьей строке в первой ячейке находится коэффициент детерминации R2, а во второй ячейке оценка среднего квадратичного отклонения показателя sе.
в четвертой строке в первой ячейке находится расчетное значение F - статистики, во второй ячейке находится k - число степеней свободы;
в пятой строке в первой ячейке находится сумма квадратов отклонений расчетных значений показателя от его среднего значения, а во второй ячейке - сумма квадратов остатков.
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
| Результаты расчетов | |
| 1,958977 | 5,277335 |
| 0,10027 | 0,671183 |
| 0,967063 | 0,836194 |
| 381,6981 | 13 |
| 266,8909 | 9,089857 |
По данным таблицы 2 можем записать модель:
Y = 5,277335 + 1,958977Х
Коэффициент детерминации R2 = 0,967063 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
4. Найдем прогноз в заданной точке Xp = 10,1. Для этого подставим Xp в модель. Получим
Yp = 5,277335 + 1,958977 * 10,1 = 25,063.
Все полученные результаты запишем в таблицу 3.
Таблица 3.
| X | Y |
| 3.11 | 10.65 |
| 3.15 | 11.87 |
| 3.85 | 12.69 |
| 4.84 | 13.40 |
| 4.62 | 15.12 |
| 4.87 | 16.03 |
| 6.09 | 16.29 |
| 7.06 | 18.07 |
| 6.23 | 18.40 |
| 6.83 | 19.53 |
| 8.01 | 20.48 |
| 8.26 | 21.72 |
| 9.37 | 23.17 |
| 9.02 | 23.57 |
| 9.76 | 24.41 |
| 10,1 | 25,063 |
5. Диаграмма примет вид:
6. Вычислим коэффициент корреляции r. В результате расчета получим коэффициент корреляции r = 0,9834.
r
=
= √0,967063 = 0.9834
Задание № 2.
По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу о криволинейной связи между Х и Y;
произвести линеаризацию;
определить параметры a и b;
сделать прогноз в указанной точке;
Решение:
Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
| X | Y |
| 1,03 | 0,44 |
| 1,63 | 0,33 |
| 2,16 | 0,25 |
| 2,71 | 0, 20 |
| 3,26 | 0,16 |
| 3,77 | 0,12 |
| 4,35 | 0,10 |
| 4,91 | 0,07 |
| 5,50 | 0,05 |
| 6,01 | 0,04 |
На основе данных таблицы 1 строим диаграмму рассеивания.
Визуально можно предположить, что зависимость не линейная. Исходная модель имеет вид Y = beax. Делаем линеаризующую подстановку: V = Y, U = lnX.
Полученные данные заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
| X | Y | V | U |
| 1,03 | 0,44 | 0,44 | 0.02956 |
| 1,63 | 0,33 | 0,33 | 0.48858 |
| 2,16 | 0,25 | 0,25 | 0.77011 |
| 2,71 | 0, 20 | 0, 20 | 0.99695 |
| 3,26 | 0,16 | 0,16 | 1.18173 |
| 3,77 | 0,12 | 0,12 | 1.32708 |
| 4,35 | 0,10 | 0,10 | 1.47018 |
| 4,91 | 0,07 | 0,07 | 1.59127 |
| 5,50 | 0,05 | 0,05 | 1.70475 |
| 6,01 | 0,04 | 0,04 | 1.79342 |
Строим корреляционное поле:
Визуально можно предположить, что между данными существует линейная зависимость, то есть их можно аппроксимировать линией
Y = b1X + b0
Диаграмма примет вид:
3. Найдем параметры b0 и b1.
Полученные результаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3.
| Результаты расчета | |
| -0,2297 | 0,436791 |
| 0,005542 | 0,006967 |
| 0,995364 | 0,009454 |
| 1717,627 | 8 |
| 0,153525 | 0,000715 |
Параметры модели b0 = 0,436791, b1 = - 0,2297. Коэффициент детерминации R2 = 0,995364 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
Находим параметры исходной нелинейной модели:
а = еb1 = e-0,2297 = 0,79477
b = eb0 = e0,436791 = 1,54773
Исходная нелинейная модель примет вид: Y = 1,54773e0,79477X
5. Вычислим прогнозируемое Yp в то Xp = 6,5:
Yp = 1,54773e 0,79477*6,5 = 271,18
Задание № 3
По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить корреляционную матрицу;
по корреляционной матрице проверить факторы X1, X2, X3 на мультиколинеарность, и, если она есть, устранить ее, исключив один из факторов;
проверить гипотезу о наличии линейной связи между показателем Y и оставшимися факторами;
определить параметры линейной связи;
вычислить коэффициент детерминации;
сделать прогноз в указанной точке.
Решение:
Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
| X1 | X2 | X3 | Y |
| 2,61 | 10,35 | 6,61 | 7,72 |
| 4,89 | 11,78 | 7,94 | 10,77 |
| 6,24 | 14,09 | 8,62 | 11,86 |
| 9,01 | 14,64 | 8,83 | 13,73 |
| 10,79 | 15,17 | 10,68 | 17,04 |
| 13,53 | 17,42 | 10,66 | 18,8 |
| 16,32 | 19,24 | 11,78 | 21,28 |
| 18,6 | 20,6 | 13,78 | 23,7 |
| 21,48 | 22,04 | 13,74 | 27,63 |
| 23,02 | 22,69 | 14,56 | 27,45 |
| 25,17 | 22,65 | 14,09 | 29,71 |
| 26,4 | 24,83 | 16,66 | 32,8 |
| 27,62 | 24,82 | 15,12 | 31,81 |
| 30, 19 | 25,17 | 15,42 | 25,22 |
| 32,25 | 26,22 | 15,77 | 37,26 |
| 33,76 | 27,72 | 17,4 | 39,2 |
| 35,97 | 29,15 | 17,77 |
2. По исходным данным строим корреляционную матрицу (таблица 2):
Таблица 2.
| X1 | X2 | X3 | Y | |
| X1 | 1 | 0,9921671 | 0,9741853 | 0,9656738 |
| X2 | 0,9921671 | 1 | 0,9864174 | 0,9700431 |
| X3 | 0,9741853 | 0,9864174 | 1 | 0,96548 |
| Y | 0,9656738 | 0,9700431 | 0,96548 | 1 |
Визуально можно предположить, что между данными X2 и X3 и X1 и X3 есть зависимость, значит, фактор X3 исключаем из модели, так как между ним и Y связь меньше, чем между Y и X2 (0,96548 < 0,9700431). Модель будет иметь вид:
Y = b0 + b1X1 + b2X2;
3. Строим график зависимости между X1, X2 и Y: визуально можно предположить, что зависимость между X1, X2 и Y линейная, коэффициент детерминации R2 = 0,9416518 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
4. Найдем параметры b0, b1 и b2. Полученные результаты заносим в таблицу 3:
Таблица 3.
| Результаты расчета | ||
| 1,344552 | 0, 1954415 | -7,0318824 |
| 0,9429349 | 0,5065553 | 9,4389862 |
| 0,9416518 | 2,4854573 | --- |
| 104,90023 | 13 | --- |
| 1296,0419 | 80,307473 | --- |
5. По данным таблицы можем записать модель:
Y = - 7,0318824 + 0, 1954415X1 + 1,344552X2;
Коэффициент детерминации R2 = 0,9416518 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
6. Найдем прогноз в заданной точке. Для этого достаточно подставить Xp в модель.
Yp = - 7,0318824 + 0, 1954415 * 35,97 + 1,344552 * 29,15 = 39, 19
Задание №4.
Предположим, что между показателем Y - объем выпущенной продукции и факторами X1 - трудовые затраты, X2 - объем основных фондов, существует зависимость типа
Y
= AX
Ч
X
(производная функция Кобба-Дугласа). По приведенным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
определить коэффициенты А, б1, б 2;
вычислить прогноз в указанной точке;
определить коэффициент эластичности по каждому из факторов в точке прогноза.
Решение:
1. Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
| X1 | X2 | Y |
| 54,2 | 33,6 | 75,4 |
| 56,8 | 39,1 | 85,4 |
| 59,7 | 40,4 | 88,5 |
| 61,4 | 42,9 | 92,7 |
| 63,5 | 44 | 95,2 |
| 64,7 | 46,8 | 99,5 |
| 64,8 | 51,9 | 106,2 |
| 67,4 | 56,3 | 113,2 |
| 69 | 56,6 | 114,5 |
| 70,7 | 58,7 | 118,1 |
| 71,3 | 59,6 | 118,7 |
| 73,7 | 62,4 | 123 |
| 75,9 | 63,9 | 127,4 |
| 77,5 | 67,2 | ? |
Так как модель не линейная, перейдем к линейной с помощью замены:
V = lnY, U1 = lnX1, U2 = lnX2, b0 = lnA, b1 = б1
получим линейную модель:
V = b0 + b1U1 + b2U2
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
| X1 | X2 | Y | V | U1 | U2 |
| 54,2 | 33,6 | 75,4 | 4,3228 | 3,9927 | 3,5145 |
| 56,8 | 39,1 | 85,4 | 4,4473 | 4,0395 | 3,6661 |
| 59,7 | 40,4 | 88,5 | 4,4830 | 4,0893 | 3,6988 |
| 61,4 | 42,9 | 92,7 | 4,5294 | 4,1174 | 3,7589 |
| 63,5 | 44 | 95,2 | 4,5560 | 4,1510 | 3,7842 |
| 64,7 | 46,8 | 99,5 | 4,6002 | 4,1698 | 3,8459 |
| 64,8 | 51,9 | 106,2 | 4,6653 | 4,1713 | 3,9493 |
| 67,4 | 56,3 | 113,2 | 4,7292 | 4,2106 | 4,0307 |
| 69 | 56,6 | 114,5 | 4,74057 | 4,2341 | 4,0360 |
| 70,7 | 58,7 | 118,1 | 4,7715 | 4,2584 | 4,0724 |
| 71,3 | 59,6 | 118,7 | 4,7766 | 4,2669 | 4,0877 |
| 73,7 | 62,4 | 123 | 4,8122 | 4,3000 | 4,1336 |
| 75,9 | 63,9 | 127,4 | 4,8473 | 4,3294 | 4,1573 |
| 77,5 | 67,2 | 4,3503 | 4, 2077 |
2. Найдем параметры b0, b1 и b2. Полученные результаты заносим в таблицу 3:
Таблица 3.
| Результаты расчета | ||
| 1,296429 | 0,5234561 | 4,655595 |
| 0,09192 | 0,1394437 | 4,694014 |
| 0,998782 | 0,6193063 | --- |
| 4101,677 | 10 | --- |
| 3146,317 | 3,8354032 | --- |
3. По данным таблицы можем записать модель:
V = 4,6556 + 0,5235U1 + 1,2964U2
4. Найдем параметры исходной модели:
А = ebo = e4.655595 = 105.1723; a1 = b1 = 0,5234561; a2 = b2 = 1,296429.
Исходная модель имеет вид:
Y = 105.1723 * X10.5235 * X21.2964
5. Найдем прогноз в заданной точке:
Y = 105.1723 * 77.50.5235 * 67.21.2964 = 239856.97;
Вычислим коэффициент эластичности, который показывает, на сколько% увеличится (если Ех > 0) или уменьшится (если Ех < 0) показатель Y, если фактор X изменится на 1%.
EX1 = (X1 * ∂y) / (y * ∂x1) = (X1/ (105.1723 * X10.5235 * X21.2964)) * ( (∂ (105.1723 * X10.5235 * X21.2964)) / ∂x1) = (X1/ (105.1723 * X10.5235 * X21.2964)) * (105.1723 * X21.2964 * (∂ (X10.5235)) / ∂x1) = (X1/X10.5) * 0.5X1-0.5 = 0.5X11-0.5-0.5 = 0.5X10 = 0.5
Вывод
Для модели Кобба-Дугласа коэффициент эластичности - это показатели степени a1 и a2, при чем a1 = 0.5235 - коэффициент эластичности по трудозатратам, а a2 = 1.2964 - коэффициент эластичности по объему основных фондов.
Литература
Лук`яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика. Підручник. - К. Товариство “Знання”. - 1998. - 494 с.
Грубер Й. Эконометрия: учебное пособие для студентов экономических специальностей. - К. 1996. - 400 с.
Методические указания и контрольные задания по дисциплине "Эконометрия" для студентов экономического направления заочного факультета. / Сост. В.Н. Черномаз, Т.В. Шевцова, - Харьков: 2006 г. - 32 с.
Конспект лекций по курсу "Эконометрия"