Найпоширенішою задачею в теорії звичайних рівнянь є задача Коші. Додаткові умови цієї задачі за своєю суттю є початковими: в них фігурують значення невідомої функції та її похідних( якщо порядок рівняння перевищує одиницю) при фіксованому значенні незалежної змінної. Зрозуміло, що це не єдиний спосіб виділення того, чи іншого частинного розв’язку з множини всіх функцій, які задовольняють диференціальне рівняння. Часто виникає потреба у знаходженні такого розв’язку, для якого виконувалися б так звані крайові умови: значення шуканої функції та її похідних мають задовольняти певні співвідношення в кількох фіксованих точках проміжку, який пробігає незалежна змінна. Причому, задачу відшукання такого розв’язку називають крайовою задачею. Такі крайові задачі мають прикладне значення і частіше виникають у практиці. Наприклад,задача про форму провислого каната із закріпленими кінцями зводиться до відшукання такого розв’язку диференціального рівняння другого порядку, графік якого проходив би через дві наперед задані точки, або, щоб знайти Т-періодичний розв'язок лінійного Т-періодичного рівняння , потрібно з усіх розв’язків вибрати той, який задовольняє умову . Для розв’язання крайових задач використовують так звану функцію Гріна, спробуємо зрозуміти, як вона будується у загальному випадку.

Розглянемо випадок,коли однорідна крайова задача

(1)

(2),

має хоча б один нетривіальний розв’язок. При цьому, нехай функція неперервно диференційована на , а дійсні функції - неперервні на ,та - задані числа, причому,

Позначимо цей розв’язок через .

Твердження 1.

Однорідна крайова задача (1),(2) має нетривіальний розв'язок тоді і лише тоді, коли розв’язки та лінійно залежні.

Доведення.

Нехай неоднорідна крайова задача має нетривіальний розв'язок . Оскільки як , так і задовольняють першу крайову умову (2), а , то вронскіан цих розв’язків дорівнює нулю, а отже, вони лінійно залежні. Так само можна довести лінійну залежність розв’язків та . Звідси випливає, що та також лінійно залежні.

Навпаки,нехай зазначені розв’язки лінійно залежні. Тоді для деякої сталої маємо . Тепер зрозуміло,що, наприклад, функція := є розв’язком однорідної крайової задачі. Твердження доведено.

Звідси можна зробити висновок, що множина всіх розв’язків задачі – це сім’я функцій вигляду, , де - довільна стала. Тому, не обмежуючи загальності викладу, вважатимемо, що вибрано так, щоб справджувалась умова нормування

Необхідну умову існування розв’язку неоднорідної крайової задачі встановлює таке твердження.

Твердження 2.

Якщо задача

(3)

(2)

Має розв’язок , то функція ортогональна до нетривіального розв’язку відповідної крайової задачі (1),(2), тобто

(4)

Доведення.

Застосуємо формулу Гріна до пари функцій та . Оскільки вони задовольняють крайові умови то згідно з властивістю симетричності оператора маємо:

Урахувавши, що і , дістанемо (4). Зауважимо, що при довільному функція теж є розв’язком задачі (3),(2). Аби уникнути такої неоднозначності, умови (2) слід доповнити ще однією. Найприроднішою додатковою умовою є вимога ортогональності

(5)

Твердження 3.

Якщо задача (3),(2),(5) має розв’язок ,то він єдиний.

Доведення.

Справді, різниця двох розв’язків задачі (3),(2),(5) є розв’язком вигляду відповідної однорідної задачі. З умови (5) та нормованості функції одразу випливає, що

Розв’яжемо вироджену крайову задачу за допомогою методу варіації довільних сталих, вважаючи, що умова ортогональності (4) справджується. Виберемо лінійно незалежний з розв’язок однорідного рівняння (1) так, щоб виконувалася рівність

Цим ми дещо спростимо формули, які буде одержано нижче. Шукаємо розв’язок (3) методом варіації сталих у вигляді

(6)

отримаємо таку систему:

Розв’яжемо її відносно та за правилом Крамера.

Маємо рівняння

, (7)

При цьому

Тому, аби розв’язок задовольняв крайову умову в точці ,необхідно вимагати виконання рівності . Звідси і з урахуванням (4) . Остання рівність забезпечить справдження крайової умови в правому кінці проміжку .

Загальний розв’язок першого з рівнянь (7) візьмемо у вигляді , де - довільна стала. Підставивши знайдені функції , в (6), дістанемо одно параметричну сім’ю функцій

, (8)

Кожна з яких є розв’язком крайової задачі (3),(2). Умову ортогональності (5) завжди можна задовольнити, відповідним чином обравши довільну сталу с1.

Підсумком наведених міркувань є така теорема:

Теорема1

Розв’язок крайової задачі (3) (2) існує тоді і лише тоді, коли функція ортогональна до кожного розв'язку відповідної однорідної крайової задачі.

Тепер покажемо, що розв’язок(8) можна подати у вигляді інтегрального перетворення

,

Де функція задовольняє крайові умови й при кожному

є ортогональною до .

Насамперед, запровадивши функцію

за аналогією з не виродженим випадком, перепишемо (8) у вигляді

(9)

Оскільки ,,

, ,

То задовольняє умову лише в лівому кінці проміжку , адже розв’язок не задовольняє жодної умови (2). Отже, функцію доведеться відповідним чином виправити. Для цього звернемо увагу на такий факт:якщо у формулі(9) зробити заміну -, де довільні функції, то вона й надалі визначатиме розв’язок рівняння (3):адже ортогональна до . Неважко зрозуміти, що перетворена функція задовольнятиме обидві крайові умови, якщо функцію вибрати так, щоб при деякому виконувалися рівності

,,, (10)

Найзручнішим буде такий вибір:

Легко перевірити, що ця функція не лише задовольняє умови (10), а й є розв’язком неоднорідного рівняння = . При цьому, якщо додатково вимагати, аби розв'язок був ортогональним до на ,то .

Тепер залишилось покласти

І вибрати функцію так, щоб була ортогональною до . Для цього домножимо праву частину останньої нерівності на , одержаний добуток зінтегруємо за змінною і результат прирівняємо до нуля. З одержаного рівняння легко знайдемо

.

Остаточно маємо

(11)

З урахуванням властивостей цієї функції дамо таке означення.

Означення.

Функцію називатимемо узагальненою функцією Гріна крайової задачі (2)-(3), якщо вона задовольняє такі умови:

Функція неперервна в квадраті К=,має неперервні частинні похідні , у кожному з трикутників ,;

Для кожного фіксованого функція задовольняє рівняння Lx(t)= - при всіх ,, а також крайовій умові (2).

На діагоналі квадрата К похідна має розрив першого роду зі стрибком 1/p(s): -.

Для кожного фіксованого функція ортогональна до функції : .

Сформулюємо алгоритм відшукання узагальненої функції Гріна.

Знаходимо таку фундаментальну систему , лінійного однорідного рівняння (1), щоб розв'язок задовольняв умови(2).

Знаходимо будь-який розв'язок g(t,s) неоднорідного рівняння Lx(t)= -.

Узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді

Функції обираємо так, щоб останній доданок задовольняв пунктам 1 і 3 означення узагальненої функції Гріна;функцію - так, щоб задовольняла крайові умови задачі;нарешті, вибором функції забезпечуємо виконання умови ортогональності 4.

Проаналізувавши вигляд правої частини формули (11), можна зробити висновок, що з потрібними властивостями існують.

Розглянемо приклад.

Розв’яжемо крайову задачу

, << ;

Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння , застосувавши метод Ейлера. Тобто розв'язок шукаємо у вигляді= . Знайшовши

=,=, підставивши ці значення в рівняння та скоротивши на маємо так зване характеристичне рівняння:,з якого знайдемо корені :

З цього маємо фундаментальну систему розв’язків рівняння:

За теоремою про загальний розв'язок однорідного рівняння, маємо:

де

Тому можемо сказати, що відповідна однорідна задача має однопараметричну сім’ю розв’язків , де – довільна стала, для якої умова теореми 1 виконано, бо . Методом невизначених коефіцієнтів знайдемо частинний розв’язок диференціального рівняння задачі: . Загальний розв’язок цього рівняння має вигляд:

Для того, щоб задовольнити крайовій умові, достатньо покласти . Сталу виберемо так, щоб справджувалась умова ортогональності шуканого розв’язку й функції :

Звідси =. Остаточно маємо:

Знайдемо функцію Гріна для цієї крайової задачі

За функцію візьмемо (коефіцієнт вибирається з умови нормованості ) Розв'язком однорідного рівняння, який не задовольняє крайові умови, є, наприклад .

Далі рівняння

Має частинний розв'язок вигляду , отже, узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді

(коефіцієнт вбирають у себе функції і ).

Оскільки в нашому випадку , то умови неперервності і стрибка похідної функції при мають вигляд

,.

Звідси ,;

Наслідком крайової умови в точці є рівність . Тоді в точці маємо: .Отже, функція

задовольняє пунктам 1-3 означення узагальненої функції Гріна.

Нарешті, функцію визначимо з умови ортогональності

. Обчисливши відповідні інтеграли, знаходимо

Остаточно маємо