1. Існування та стійкість рівноваги

Структура моделі рівноваги така: фірми й споживачі, діючи в егоїстичних інтересах, складають індивідуальні плани виробництва та споживання продукції. Даний процес описується моделями поведінки. Характер цих рішень залежить від технології виробництва, системи переваг і системи цін. Якщо технологія виробництва й система переваг фіксовані, то суттєвою є тільки система цін.

Припустимо відома система цін. Може виявитися, що при даній системі цін рішення споживачів і фірм несумісні: наприклад, споживачі вирішують спожити більше, ніж виробляють виробники при даній системі цін, або навпаки, споживачі вирішують спожити продукції менше, ніж можуть виробити виробники. Це означає, що попит (план споживачів) не відповідає пропозиції (плану фірми).

Перше запитання, на яке необхідно відповісти – питання існування рівноваги. Чи знайдеться взагалі для даної системи переваг і даної технології виробництва така система цін, при якій відповідні рішення споживачів і фірм будуть сумісними?

Розглянемо економіку, що складається з споживачів і фірм, які виготовляють товарів. Плани кожного з агентів економіки описуються -вимірними наборами чисел. Якщо , – план споживача , то – кількість -го продукту, який вирішив ужити споживач . Якщо , – план виробництва фірми , то – кількість -го продукту, який вирішила виробити фірма . Якщо фірма не виготовляє, а лише споживає продукт або виготовляє його в меншій кількості, ніж споживає, то компонента .

Нехай споживачі та фірми однозначно визначають свої плани за будь-якими цінами , при цьому існує функція попиту , і функція пропозиції

, .

Надлишковим попитом на товар -го виду називається різниця між попитом і пропозицією, тобто

. (1)

Надлишкові попити на всі продуктів утворює вектор-стовпець

Функція характеризується такими властивостями:

1) для будь-якого , , тобто є однорідною функцією нульового ступеня; це можливо, якщо при пропорційній зміні всіх цін попит та пропозиція не змінюються;

2) функція задовольняє закону Вальраса для кожного

;

дана властивість випливає з умови, що весь доход витрачається на покупку, тобто сумарний доход дорівнює сумарній витраті;

3) функція безперервна при кожному .

Система цін називається рівноважною, якщо , тобто

,

Таке визначення рівноваги допускає можливість від’ємного надлишкового попиту, тобто можливість надлишкової пропозиції. Якщо – система цін рівноваги, то надлишкова пропозиція можлива лише при нульовій ціні, тобто якщо для деякого функція , то . Дійсно, якщо і , тоді всі доданки суми недодатні. Якщо , то один доданок цієї суми, а саме , строго від’ємний. Виходить, від’ємна і вся сума, тобто , що суперечить закону Вальраса (властивість 2).

Сформулюємо теорему. Якщо функція задовольняє умовам 1–3, то система рівноважних цін існує.

Друга проблема полягає в досягненні стану рівноваги за умови, що він існує (стійкість рівноваги).

Класичним методом розв’язання проблеми стійкості є процес "намацування", що являє собою ітеративний розв’язок, отриманий в результаті використання закону попиту та пропозиції для певного ринку. Для кожного ринку пропонується аукціонер, який не є а ні продавцем, а ні покупцем. Аукціонер реагує на нерівновагу на ринку через упорядкування цін. Правила встановлення впорядкованих цін такі: ціни піднімаються, якщо загальний ринковий попит перевищує загальну ринкову пропозицію; ціни знижуються, якщо загального ринкового попиту не вистачає для покриття загальної ринкової пропозиції; ціни залишаються незмінними, якщо загальний ринковий попит дорівнює загальній ринковій пропозиції.

У термінах функцій надлишкового попиту процес "намацування" має підвищити (понизити, залишити незмінним) ціни, якщо надлишковий попит позитивний (негативний, дорівнює нулю), тобто

(2)

Даний метод не гарантує в широкому розумінні досягнення стійкої рівноваги, наприклад, під час процесу "намацування" система цін може нескінченно довго коливатися біля точки рівноваги. Більш досконалі методи розв’язання проблеми стійкості розглядають системи "намацування", в яких траєкторії цін задаються формулою

,

де , , , тобто швидкість зміни всіх цін у часі – зростаюча функція надлишкового попиту на ті товари, обсяг яких збігається до нуля, якщо дорівнює нулю надлишковий попит.

Рівновагу називають локально стійкою, якщо вона в остаточному підсумку досягається, починаючи з деякого набору цін, досить близького до точки рівноваги.

Нехай – вектор цін у момент часу , тоді рівновага в точці є локально стійкою, якщо при заданих , , де – початковий момент часу, а – евклідова норма в просторі цін .

Рівновага називається глобально стійкою, якщо вона в остаточному підсумку досягається незалежно від початкової точки, тобто для всіх .

Глобальна стійкість припускає локальну. Зворотне невірно.

Аналіз локальної стійкості рівноваги ґрунтується на апроксимації швидкості зміни цін

біля рівноваги. Рівноважною точкою є набір цін, що не змінюється в часі

(3)

в точці , а для процесу "намацування" рівновага вимагає нульового надлишкового попиту для кожного товару

, . (4)

Нехай розглядається лінійний процес "намацування"

із точкою рівноваги в . Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки

, (5)

де – матриця Якобі

,

оцінена в точці рівноваги. Через те, що – точка рівноваги, й, визначивши вектор різниці між реальними та рівноважними цінами як , (2.41) матиме вигляд

(6)

Система диференціальних рівнянь (6) стійка, тобто , тоді й тільки тоді, коли всі характеристичні корені матриці Якобі мають невід’ємні дійсні числа. Дана умова виконується, якщо всі товари є замінними, тобто збільшення ціни на будь-який продукт при незмінних інших цінах приводить до збільшення надлишкового попиту на будь-який інший продукт для всіх , . Отже, точка рівноваги є локально стійкою, якщо всі продукти є замінними.

2 Ітеративний процес знаходження рівноважних цін

Розглянемо ітеративний процес по Вальрасу, що імітує дію ринкового механізму з встановлення рівноважних цін на ринку.

За господарські суб'єкти, що беруть участь у процесі функціонування ринку, виберемо дві фірми, кожна з яких, володіє єдиним доступним їм обом фактором, виробляє по одному виду продукції кінцевого попиту, і одного споживача, що пропонує цей попит. Умовимося, що обмін здійснюється через єдиного посередника – аукціонника. У цьому випадку економічний цикл виглядатиме так, як показано на рис. 1.

Рисунок 1.

Проблема оптимального розподілу ресурсів для такої економіки формулюється таким чином.

Умови попиту (D-Demand) і пропозиції (S-Supply) продукції:

.

Умови попиту та пропозиції ресурсів: .

Функція корисності, що максимізується споживачем:

.

Тут

– обсяг пропозиції -го продукту -им підприємством;

– обсяг попиту з боку споживача на -й продукт;

– пропозиція ресурсу;

– обсяг попиту на ресурс з боку -го підприємства;

– виробнича функція -го підприємства;

– функція корисності споживача.

Ітеративний процес знаходження рівноважних цін складається з таких п’яти кроків на кожній ітерації.

1. Аукціонник указує -й фірмі ціну на її продукцію і ціну фактора , а також повідомляє споживачеві ціни й ціну попиту, що дорівнює граничній корисності , , де – функція корисності споживача, задана як , де , – коефіцієнти функції корисності споживача.

2. Фірма з виробничою функцією , виходячи з заданих їй цін, обирає таке сполучення витрат і результатів виробництва , , , що максимізує її прибуток

і подає це сполучення на розгляд аукціонника.

Необхідною умовою максимізації прибутку підприємства є

при .

Отже, з огляду на те, що

при одержуємо

,

де , – коефіцієнти виробничої функції -ї фірми.

3. Споживач визначає попит на -й продукт у такий спосіб. Якщо на -й продукт попиту немає або гранична корисність споживача менша за граничні витрати, то споживач залишає величину попиту без змін. У протилежному випадку він коректує обсяг попиту на -й продукт за формулою

, ,

де , , – додатні коефіцієнти.

4. Обчислюється надлишковий попит, який дорівнює

Якщо з точністю до дорівнює 0, тоді процес обчислення цін припиняється та вважається, що сформовано рівноважну систему цін, яка задовольняє і фірму й споживача.

5. Якщо з точністю до не дорівнює 0, то аукціонником за наступними формулами здійснюється регуляція цін

, ,

,

де й – додатні коефіцієнти корекції.

3. Задача визначення рівноважного випуску продукції

Складемо алгоритм, який визначає на основі міжгалузевого аналізу величину випуску за допомогою моделі Леонтьєва при відомій матриці коефіцієнтів прямих витрат і векторів кінцевого попиту .

Для розв’язання даної задачі використовуємо обчислювальну схему Гаусса-Зейделя.

Визначимо перелік змінних: – кількість секторів економіки; – матриця коефіцієнтів прямих витрат; – кінцевий попит на -й продукт; – ітераційний розв’язок -го порядку; – значення критерію збіжності; – загальна сума абсолютних відхилень; – лічильник ітерацій; – загальний кінцевий попит; – загальний випуск.

Під час використання методу Гаусса-Зейделя як основні рівняння виступають такі:

,

,

………………………………………

, (7)

………………………………………

,

Де ,

Якщо розбити матрицю коефіцієнтів прямих витрат по діагоналях на дві частини: ,

Де

,

,

то систему (7) можна записати у вигляді

.

Зауважимо, що – кількість секторів економіки, – коефіцієнти матриці коефіцієнтів прямих витрат, – коефіцієнти вектора кінцевого попиту. Вважається, що

.

Ітераційний процес триває доти, доки

.

4. Оптимізаційні задачі в моделі Леонтьєва

Сформулюємо наступну екстремальну задачу. Нехай вектор трудових ресурсів дорівнює , де – витрати трудових ресурсів -ї галузі. Суму назвемо обсягом витрат ресурсів, необхідних для виробництва валового продукту . Позначимо через загальний об’єм трудових ресурсів, . Тоді має місце нерівність . Розв’язок системи рівнянь при існує, але не при будь-якому невід’ємному векторі . Нехай вектор задає не кінцевий попит, а лише структуру кінцевого попиту, тобто можна вважати, що . Необхідно максимізувати – кіль-кість комплектів товарів, що випускають, тобто

. (8)

Суть задачі (3.13) полягає в раціональному розподілі трудових ресурсів під час виробництва номенклатури товарів.

Якщо матриця продуктивна, то задача (8) припустима й має розв’язок. Справді, якщо , то існує додатне таке, що

Значення є припустимим для задачі (8). Очевидно, що множина всіх припустимих значень є обмеженою, отже, задача (8) має розв’язок.

Розглянемо узагальнену модель Леонтьева (УМЛ), в якій передбачається, що кожна галузь має не один технологічний спосіб для виробництва свого продукту. Нехай у виробничій системі є типів товарів і технологічних процесів , кожен з яких випускає один товар.

Позначимо кількість ресурсу -го типу й об'єму роботи, необхідних для виробництва одиниці продукції виду в галузі за допомогою технології , відповідно як

тоді узагальнену матрицю коефіцієнтів прямих витрат (узагальнену матрицю Леонтьєва) і вектор коефіцієнтів трудових витрат можна визначити як

.

Матриця коефіцієнтів випуску виходить із одиничної матриці шляхом такого розширення:

.

Виразимо вектор обсягу випуску, що описує режим роботи всіх технологічних способів узагальненої моделі Леонтьєва, як

.

Вектор кінцевого попиту

.

Кожна галузь вибирає з кількості доступних їй технологій одну певну технологію. Якщо припустити, що вибір технологій здійснюється з урахуванням задоволення кінцевого попиту , який пропонують кожній з галузей, так, щоб мінімізувати об'єм витрат „живої" роботи в суспільстві в цілому, то задача технологічного вибору може бути наведена у вигляді задачі лінійного програмування

. (9)

Для сформульованої узагальненої моделі Леонтьєва існує так називана теорія заміщення: якщо в УМЛ припустити можливість виробництва додатного вектора попиту , то, як би не змінювався кінцевий попит, оптимальний базис залишатиметься незмінним. Цей базис є матрицею розміру . Оскільки будь-яка галузь має виробляти певну кількість продукції, причому це можливо за допомогою різних виробничих технологій, кожною галуззю буде обраний один технологічний процес.

В моделі (9) в явному вигляді присутній лише один з обмежених ресурсів – робота. Однак більш реалістично вважати, що рівень діяльності обмежений не тільки роботою, але в залежності від вибору тривалості періоду виробництва також й основними фондами, головними складеними елементами яких є виробничі будинки й верстати, а також землею й багатьма іншими ресурсами. Обмеження ресурсів можна виразити у вигляді системи нерівностей. Якщо позначити обсяг ресурсу , необхідний для випуску в галузі , як де а обсяг ресурсу , що насправді є в наявності, як де тоді реально досяжний обсяг випуску має відповідати такій умові:

,

де ,

.

Якщо ввести умови обмеженості ресурсів в задачу (9), то можна записати її в більш загальному вигляді:

(10)

Вектор обмежень ресурсів можна вважати невід’ємним, тому очевидно, що задача (10) аналогічна задачі лінійного програмування. Якщо вважати задачу (10) вихідною й навести її у вигляді

(11)

то двоїста їй задача записується так:

(12)

де – вектор цін на продукцію, – вектор цін на ресурси.

Розв’язок задачі (12), тобто оптимальна система цін , збігається з симплексним мультиплікатором, який відповідає оптимальному базису задачі (11). Через те, що константи системи обмежень ресурсів не додатні, елементи симплексного мультиплікатора для ресурсів є невід’ємними. Якщо матрицю діяльності, що утворює оптимальний базис, і відповідний їй вектор коефіцієнтів трудових витрат навести як

то синтез оптимальних цін можна записати так:

або інакше

. (13)

Формула (3.18) означає, що ціна продукції дорівнює сумі витрат продуктів виробництва, обмежених ресурсів і роботи. Всі витрати виражаються у вартісному вигляді. Якщо як обмежений ресурс розглядати тільки роботу, то (13) прийме такий вигляд:

. (14)

Симплексний критерій

(15)

інтерпретують як критерій прибутковості технологічного процесу . Співвідношення (15) означає, що технологія, яка не відповідає критерію прибутковості, – це застаріла технологія й її вибрано не буде. Крім того, симплексний критерій для задачі (13) означає, що ресурс , який існує в кількості, що перевищує оптимально використовуваний об’єм, став ресурсом свободним, а його ціна перетворюється на нуль.