Контрольная работа
по экономико-математическим методам
Задача №1
Условие задачи:
Администрация штата объявила торги на n строительных подрядов для n фирм. Ни с одной фирмой не заключается более одного контракта. По политическим соображениям чиновники администрации стремятся не заключать более N крупных контрактов с фирмами, расположенными за пределами штата. Обозначим через 1,2, …, s крупные контракты, а через 1,2,…,t - фирмы, расположенные за пределами штата. Целью является минимизация общих затрат при указанном условии. Постройте соответствующую данным условиям модель.
Решение:
Пусть х - затраты на строительство, тогда цель задачи "минимизация общих затрат" будет выражена через функцию
F = x → min
Пусть х1 - затраты на строительство при подряде местных строительных фирм, х2-затраты на строительство при подряде строительных фирм, расположенных за пределами штата.
F = n*х1+n*х2 → min
S*t ≤N
nn ≤1
х1, х2≥ 0
Задачу минимизации общих затрат на строительство можно записать как задачу математического программирования
n n t s
F =∑ ∑ Cij *Хij+∑ ∑ Cij*Yij → min
i=1 j=1 i=1 j=1
При ограничениях
Хij ≤ 1; I, j= 1, n
Yij ≤ 1; I, j= 1, n
∑ij≤ N; i=1, t; j=1s
Хij, Yij ≥0
Через Хij обозначен факт заключения администрацией штата с i - той фирмой, расположенной на территории штата, j - того контракта (подряда)
1, i - ая фирма заключила - контракт
Хij = 0, i - ая фирма не заключила - котракт
Через Yij обозначен факт заключения администрацией штата i - oй фирмой, расположенной за пределами штата, j - того контракта.
Через Cij обозначены затраты на строительство по j - тому контракту с i - ой фирмы.
Целевая функция представляет собой суммарные затраты. Первые два условия ограничивают количество заключаемых с одной строительной фирмой контрактов в количестве ≤ 1, третье условие ограничивает количество заключаемых контрактов с фирмами расположенными за пределами штата, в количестве не более N, четвертое условие очевидно исходя из условия данной задачи.
Задача № 2
Условие задачи:
На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов.
Количество корма каждого вида, которые должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице.
В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
| Вид корма | Кол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать лисицы | Кол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать песцы |
Общее кол-во корма |
| 1 | 2 | 3 | 180 |
| 2 | 4 | 1 | 240 |
| 3 | 6 | 7 | 426 |
| Прибыль от реализации 1 шкурки | 16 | 12 |
Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации была максимальной.
Решение:
Введем переменные.
Пусть х - это количество лисиц и песцов, которое следует выращивать на ферме.
Х1 - это количество лисиц, которое следует выращивать на ферме.
Х2 - это количество песцов, которое следует выращивать на ферме.
Цель задачи: максимизация прибыли от реализации шкурок песцов и лисиц. Целевая функция:
F =16х1 + 12х2→ max
Посмотрим как будут выглядеть данные в задаче ограничения:
2х1+3х2≤180 - ограничения корма 1
4х1+х2 ≤ 240 - ограничения корма 2
6х1+7х2 ≤ 426 - ограничения корма 3
х1, х2≥ 0, € Z
После решения задачи в программе XL получены результаты:
57 лисиц и 12 песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль была максимальной.
Задача № 3
Условие задачи:
Найти оптимальное сочетание посевов трех продовольственных культур: озимой ржи, пшеницы, картофеля под посевы отведено 1000га пашни, которая должна использоваться полностью. При этом общие ресурсы труда составляют 30000 человек. Производство культур характеризуется показателями таблицы:
| показатели | Озимая рожь | Озимая пшеница | картофель |
| Урожайность с 1га, ц | 32 | 40 | 250 |
| Затраты труда на 1га, человек | 16 | 20 | 80 |
| Материально-денежные затраты на 1га, руб | 214 | 226 | 782 |
По плану требуется произвести 32000ц зерна, 40000ц картофеля. Критерий оптимизации - минимизация денежно-материальных затрат на производство продукции. Решить прямую и двойственную задачи. Провести послеоптимизационный анализ.
Прямая задача:
Пусть х - это количество га занятых под продовольственные культуры, тогда Х1 - кол-во га, занятых под озимой рожью, Х2 - кол-во га, занятых под озимой пшеницей, Х3 - кол-во га, занятых под картофелем.
Целью задачи является - минимизация денежно-материальных затрат на производство продукции, т.е.
F = 214x1+226x2+782x3 → min
Выделим ограничения, определенные условиями задачи:
x1+x2+x3=1000,16x1+20x2+80x3≤ 30000,32x1+40x2 ≥ 32000,250x3 ≥ 40000,x1, x2, x3 ≥ 0.
Решаем задачу в программе XL и получаем результат:
Х1, т. е количество га, занятых под озимой рожью=125га.
Х2, т. е количество занятых га под озимую пшеницу =700га.
Х3, т. е количество занятых га под картофель=175га.
Это будет оптимальное сочетание посевов трех продовольственных культур. Затраты на производство продукции составили 825руб.
Двойственная задача:
На первом этапе приведем прямую задачу к двойственной задачи.
х1+x2+x3 ≥1000
х1+x2+x3 ≤ 1000
16x1+20x2+80x3 ≤ 30000
32x1+40x2 ≥ 32000
250x3 ≥ 40000
x1 x2 x3 ≥ 0
матрица ограничений. Умножаем на - 1.
x1-x2-x3 ≤-1000
x1+x2+x3 ≤ 1000
16x1+20x2+80x3 ≤ 30000
32x1-40x2 ≤ - 32000
250x3 ≤ - 40000
x1, x2,x3 ≥ 0
транспонированная матрица коэффициентов ограничения
х1 х2 х3
у1 - 1 - 1 - 1 - 1000
у2 1 1 1 1000
у3 16 20 80 30000
у4 - 32 - 40 0 - 32000
у5 0 0 - 250 – 40000
Целевая функция двойственной задачи будет выглядеть следующим образом:
Z = - 1000y1 +1000y2 + 30000y3 - 32000y4 - 40000y5 → max
y1+y2+16y3-32y4 ≤ 214
y1+y2+20y3-40y4 ≤ 226
y1+y2+80y3-250y5 ≤ 782
решаем ограничения в программе XL