Рефетека.ру / Эк.-мат. моделирование

Реферат: Конечные разности. Погрешности

Реферат


«Конечные разности. Погрешности»


1. Погрешности


1.1 Действительные и конечно-разрядные числа


Представление действительных чисел в вычислительных машинах с фиксированной разрядной сеткой влечет появление инструментальной погрешности в обрабатываемых числах и результатах арифметических действий.

Принятое при вводе преобразование исходных действительных чисел в нормализованную экспоненциальную форму и размещение их в ограниченной разрядной сетке ЭВМ с порядком и дробной частью (мантиссой) в общем случае вносит в этот операнд относительную инструментальную погрешность, величина которой не превышает


Конечные разности. Погрешности


где n – число значащих дробных двоичных разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Приближенное конечно-разрядное число a – это действительное число, занимающее заданное количество разрядов и округленное до числа с ближайшим значением достоверного младшего разряда. Приближенные действительные числа имеют абсолютную Конечные разности. Погрешности и относительную Конечные разности. Погрешности погрешности. Эти погрешности при анализе распространения ошибки при вычислениях приписываются к приближенному числу результата и связываются между собой следующим образом:


Конечные разности. Погрешности


Если число a = 5,3812 имеет все разряды достоверные, то его абсолютная погрешность принимается равной половине единицы младшего разряда, т.е. Конечные разности. Погрешности=0.00005, а относительная погрешность, округляемая обычно до одного-двух значащих достоверных разрядов, будет Конечные разности. Погрешности

Всякие арифметические операции с операндами, представленными в системе с плавающей точкой, в общем случае вносят в результат аналогичную относительную инструментальную погрешность:


Конечные разности. Погрешности


где fl(•) – указание на арифметику с плавающей точкой,

Конечные разности. Погрешности – арифметическая операция из множества Конечные разности. Погрешности.

Значение результата, равное нулю принудительно устанавливается в машинах при операциях умножения с двумя операндами, приводящее к исчезновению порядка (отрицательный порядок по модулю не умещается на отведенном для него количестве разрядов).

Несколько иначе обстоит дело при вычитании чисел с плавающей точкой и одинаковым порядком:


Конечные разности. Погрешности,


Конечные разности. Погрешности.


Из последнего можно заключить, что для операции вычитания относительная погрешность численно определяется количеством значащих разрядов в результате, которое из-за выполнения нормализации не может быть меньше Конечные разности. Погрешности. Т.е. погрешность приближается к 100% последовательно. Это предупреждение адресуется составителям вычислительных алгоритмов, которым необходимо выискивать эквивалентные формулы с контролем величины операндов, в определенных ситуациях можно использовать программный переход к вычислениям с удвоенной точностью.

При выполнении аддитивных операций с приближенными операндами погрешность результата равна сумме абсолютных погрешностей всех чисел, участвовавших в операции. Выполнение мультипликативных операций вносит в результат относительную погрешность, равную сумме относительных погрешностей каждого из операндов.


1.2 Погрешность алгоритмов


Инструментальные погрешности арифметических машинных команд из-за различия и непредсказуемости величины ошибки результата нарушают дистрибутивный, ассоциативный и коммутативный законы арифметики. Каждый же программист, составляя программу, уже на уровне интуиции пользуется ими, как незыблемыми. Отсюда различие в точности тех или иных вычислительных алгоритмов и трудно уловимые ошибки.

Проследить накопление вычислительной погрешности алгоритма для операндов, которые имеют производные, удобно, если результат r каждой двуместной арифметической операции умножать на множитель Конечные разности. Погрешности с последующим разложением результирующей функции алгоритма по степеням этого множителя или этих множителей, если Конечные разности. Погрешности в группах операторов отличаются по величине. Например, для алгоритма вычисления значения полинома Конечные разности. Погрешности третьей степени по схеме Горнера с псевдокодом:

P:=0; j:=3;

repeat

S:=a[j]*x+a [j-1];

P:=P+S*x;

j:=j-1;

until j=1;

функция алгоритма будет:


Конечные разности. Погрешности


Учитывая, что Конечные разности. Погрешности, последнее выражение дает возможность после раскрытия скобок выделить из суммы и оценить сначала абсолютную погрешность, а по абсолютной погрешности – относительную:


Конечные разности. Погрешности


Условные арифметические операторы с проверкой равенства операндов необходимо заменять проверкой вида: Конечные разности. Погрешности.


2. Конечные разности


2.1 Определение конечных разностей


Конечная разность «вперед» для таблично заданной функции в i-той точке определяется выражением: Конечные разности. Погрешности, где функция Конечные разности. Погрешности задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.

Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции Конечные разности. Погрешности определяющее соотношение имеет вид:


Конечные разности. Погрешности.


Преобразование таблицы функции Конечные разности. Погрешности в функцию целочисленного аргумента Конечные разности. Погрешности осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i: Конечные разности. Погрешности.

Коэффициенты a и b находят из системы уравнений, получаемой в результате подстановки в пределах заданной таблицы вместо x и i сначала начальных значений аргументов Конечные разности. Погрешности, а затем конечных Конечные разности. Погрешности. При этом начало таблицы удобно совместить с началом координат функции с целочисленным аргументомКонечные разности. Погрешности(Конечные разности. Погрешности). Тогда для таблицы с (n+1) – й строками:


Конечные разности. Погрешности,


Конечные разности. Погрешности


Повторные конечные разности n-го порядка в i-той точке для табличной функции Конечные разности. Погрешности определяются соотношением

Конечные разности. Погрешности.


2.2Конечно-разностные операторы


Линейность конечно-разностного оператора Конечные разности. Погрешности позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига Конечные разности. Погрешности и многочлены от оператора Конечные разности. Погрешности с целыми коэффициентами, такие, как Конечные разности. Погрешности, где Конечные разности. Погрешности должно рассматриваться как оператор повторной разности k-того порядка.

Действие любого многочлена Конечные разности. Погрешности на функцию g(i) определяется как


Конечные разности. Погрешности.


Применение оператора сдвига к g(i) преобразует последнее в g (i+1):


g (i+1) = E g(i) = (1+Конечные разности. Погрешности) g(i)= g(i) + Конечные разности. Погрешностиg(i).


Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить (i+n) – е значение ординаты функции g через конечные разности различных порядков:


Конечные разности. Погрешности


где Конечные разности. Погрешности – число сочетаний из n элементов по k;

Конечные разности. Погрешности – многочлен степени k от целой переменной n (Конечные разности. Погрешности), имеющий k сомножителей. При k=n Конечные разности. Погрешности.

В силу линейности оператора сдвига можно конечно-разностный оператор выразить, как Конечные разности. Погрешности, и определить повторные конечные разности через многочлены от операторов сдвига так Конечные разности. Погрешности.

Последнее позволяет формульно выражать n-ную повторную разность через (n+1) ординату табличной функции, начиная с i-той строки:


Конечные разности. Погрешности


Если в выражении для g (i+n) положить i=0 и вместо Конечные разности. Погрешности подставить их факториальные представления, то после несложных преобразований получится разложение функции целочисленного аргумента по многочленам Конечные разности. Погрешности, которые в литературе называют факториальными:


Конечные разности. Погрешности.


Можно поставить задачу разложения и функции действительной переменной f(x) по многочленам Конечные разности. Погрешности относительно начала координат (аналогично ряду Маклорена), т.е. Конечные разности. Погрешности. Если последовательно находить конечные разности от левой и правой частей, то, зная, что Конечные разности. Погрешности и Конечные разности. Погрешности, после подстановки x=0 будем получать выражения для коэффициентов разложения Конечные разности. Погрешности. У многочленов k-той степени, Конечные разности. Погрешности, поэтому


Конечные разности. Погрешности.

Такое разложение табличной функции f(x) в литературе называют интерполяционным многочленом Ньютона для равных интервалов.


2.3Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования


Значение функции на удалении h от некоторой точки Конечные разности. Погрешности можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тейлора:


Конечные разности. Погрешности


где Конечные разности. Погрешности – оператор дифференцирования,

Конечные разности. Погрешности – оператор сдвига, выраженный через оператор p.

h – шаг по оси действительной переменной

Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и Конечные разности. Погрешности, можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:


Конечные разности. Погрешности,


Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, удаленную от текущей, например, на 2 шага вперед представляется так:


Конечные разности. Погрешности.


Выполнив алгебраическое перемножение многочленов с конечно-разностными операторами и ограничившись операторами со степенью не выше n, получим одну из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Действуя таким сложным конечно-разностным оператором на ординату f(x), получаем формулу для вычисления n-й производной в точке Конечные разности. Погрешности по значениям ее конечных разностей. Например, для n=2, отбрасывая все повторные разности выше третьего порядка, получим:


Конечные разности. Погрешности.


Если f(x) является многочленом степени n, то повторные разности (n+1) – го порядка тождественно равны нулю. Приравнивая нулю повторные разности порядков выше n мы фактически аппроксимируем f(x) многочленом степени n.

В предыдущем выражении, выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим еще один вид формулы для вычисления значения производной:


Конечные разности. Погрешности.


Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, если положить h=1 и Конечные разности. Погрешности


Конечные разности. Погрешности


2.4Исчисление конечных разностей


Разложение функций в ряд по факториальным многочленам (интерполяционным многочленам Ньютона в частности) дает возможность получать формулы суммирования функциональных рядов в виде аналитических выражений, зависящих от пределов. Эта возможность открывается в связи с тем, что суммировать конечные разности не представляет большой сложности, а выразить конечную разность от факториального многочлена через факториальный же многочлен можно, воспользовавшись соотношением:


Конечные разности. Погрешности


Факториальные многочлены по отношению к исчислению разностей ведут себя так же, как степенные функции в исчислении производных: дифференцирование тоже понижает степень многочлена на единицу. Это свойство позволяет в факториальном разложении заменить факториальные многочлены своими конечными разностями следующего вида:


Конечные разности. Погрешности


Замена хороша тем, что суммирование конечных разностей в заданных пределах мнемонически весьма напоминает вычисление определенного интеграла от функции по ее первообразной:


Конечные разности. Погрешности


Если Конечные разности. Погрешности, то


Конечные разности. Погрешности.


Процедуру суммирования функционального ряда продемонстрируем на примере получения суммы квадратов натурального ряда чисел в пределах от a=1 до b=5 (Для проверки: Конечные разности. Погрешности):


Конечные разности. Погрешности


Вторая сумма по переменной n представляет разложение Конечные разности. Погрешности по факториальным многочленам, в которое входят значения конечных разностей 0, 1 и 2-го порядков, вычисленные в начале координат целочисленной переменной, т.е. при x=0. Они соответственно равны:


Конечные разности. Погрешности,


Конечные разности. Погрешности,


Конечные разности. Погрешности.


После подстановки значений разностей во второй сумме останутся два факториальных полинома: первой и второй степеней:


Конечные разности. Погрешности


Если распределить вычисление сумм по слагаемым, то мы перейдем к суммированию конечных разностей от факториальных многочленов:


Конечные разности. Погрешности


Литература


Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 600 с.

Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. – М.: Наука, 1966. – 248 с.

Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с.

Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.

Калашников В.И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2002. – 196 с.

Вержбицкий, В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с.

Волков, Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с.

Мудров, А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «РАСКО», 1991. 272 с.

Шуп, Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. 255 с.

Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.

Похожие работы:

  1. • Нелінійна взаємодія електромагнітного випромінювання з ...
  2. • Автоматизированный анализ проектирования на ...
  3. • Комплекс геофизических исследований скважин ...
  4. • Численные методы
  5. • Метод конечных разностей
  6. • Решение уравнений в конечных разностях
  7. • Классификация погрешностей измерений, возникающих при ...
  8. • Погрешности вычислений на ЭВМ
  9. • Погрешности при измерениях
  10. •  ... ЕСТД). Погрешности, классификация погрешностей
  11. • Интерполирование функций
  12. • Процесс моделирования работы коммутационного узла
  13. • Основные задачи вычислительной математики
  14. • Погрешности электронных ...
  15. • Основы метрологии
  16. • Влияние погрешности трансформаторов тока и напряжения на ...
  17. • Метод конечных разностей или метод сеток
  18. • Метрология и метрологическое обеспечение
  19. • Применение УВМ при автоматизации сортовых прокатов
Рефетека ру refoteka@gmail.com