Контрольная работа: Высшая математика в экономике
Задание 1
Мебельной фабрике для изготовления комплектов корпусной мебели необходимо изготовить их составные части - книжный шкаф, шифоньер, тумба для аппаратуры. Эти данные представлены в таблице:
| Наименование составных частей | Виды комплектов корпусной мебели | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| Книжный шкаф | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Шифоньер | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Пенал | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Тумба | 0 | 1 | 0 | 1 |
В свою очередь, для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в кв. м), ДСП (в кв. м), ДВП (в кв. м), потребности в котором отражены в следующей таблице:
| Вид сырья | Составные элементы | |||
| Кн. шкаф | Шифоньер | Пенал | Тумба | |
| Стекло | 0,9 | 0 | 0,2 | 1,2 |
| ДСП | 6 | 6,5 | 6 | 2,5 |
| ДВП | 2,9 | 1,7 | 1,4 | 0,6 |
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению стенок первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1, x2, x3 и x4 штук;
2) провести подсчеты для значений x1 = 50, x2 = 30, x3 = 120 и x4=80.
Решение: составим условия для определения числа составных частей в зависимости от числа и вида комплектов мебели. Пусть n1, n2, n3 и n4 - число шкафов, шифоньеров, пеналов и тумб, соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n1 = x1 + x2
n2 = x1 + x2 + x4
n3 = x1 + x2 + x3
n4 = x1 + x2 + x3 + x4
Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1, y2 и y3 - потребности в стекле, ДВП и ДСП, соответственно:
y1 = 0,9n1 + 0,2n3 + 1,2n4
y2 = 6n1 + 6,5n2 + 6n3 + 2,5n4
y3 = 2,9n1 + 1,7n2 + 1,4n3 + 0,6n4
Теперь подставим вместо ni - полученные ранее равенства.
y1 = 0,9· (x1 + x2) + 0,2· (x1 + x2 + x3) + 1,2· (x1 + x2 + x3 + x4)
y2 = 6· (x1 + x2) + 6,5· (x1 + x2 + x4) + 6· (x1 + x2 + x3) + 2,5· (x1 + x2 + x3 + x4)
y3 = 2,9· (x1 + x2) + 1,7· (x1 + x2 + x4) + 1,4· (x1 + x2 + x3) + 0,6· (x1 + x2 + x3 + x4)
Приведем подобные
y1 = 2,3x1 + 2,3x2 + 1,4x3 + 1,2x4, y2 = 21x1 + 21x2 + 8,5x3 + 9x4
y3 = 6,6x1 + 6,6x2 + 2x3 + 2,3x4
Проведем подсчеты для значений
x1 = 50, x2 = 30, x3 = 120 и x4 = 80
y1 = 2,3 * 50 + 2,3 * 30 + 1,4 * 120 + 1,2 * 80 = 448 кв. м.
y2 = 21 * 50 + 21 * 30 + 8,5 * 120 + 9 * 80 = 3420 кв. м.
y3 = 6,6 * 50 + 6,6 * 30 + 2 * 120 + 2,3 * 80 = 952 кв. м.
Задание 2
Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
,
Решение:
Составим систему уравнений:
Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1
A-1 · A · X = A-1 · B;
E · X = A-1 · B;
X = A-1 · B
Найдем обратную матрицу A-1
Δ = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374
;
X
=
·
=
=
Решим систему методом Крамера
Δ = 374
Δ1
=
=
97 * 12 * 4 + 129 * 7 * 13 + 14 * 7 * 109 - 109 * 12 * 7 - 129 * 14 *
4 - 97 * 7 * 13 = 1870
Δ2
=
=
4 * 129 * 4 + 12 * 7 * 109 + 97 * 7 * 9 - 9 * 129 * 7 - 12 * 97 * 4 -
4 * 7 * 109 = 1496
Δ3
=
=
4 * 12 * 109 + 12 * 97 * 13 + 14 * 129 * 9 - 9 * 12 * 97 - 12 * 14 *
109 - 4 * 129 * 13 = 1122
x1 = Δ1/Δ = 1870/374 = 5, x2 = Δ2/Δ = 1496/374 = 4
x3 = Δ3/Δ = 1122/374 = 3
Решим систему методом Гаусса
=>
=>
=>
=>
=>
Задание 3
Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:
Решение:
Задание 4
Задана
функция спроса
,
где p1, p2
- цены на первый
и второй товары
соответственно.
Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров.
В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.
Решение:
Эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:
эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.
эластичность отрицательная.
Товары являются товарами дополнителями, т.к рост цен на второй товар, как и рост цен на первый товар приводит к снижению спроса.
Задание 5
В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов. Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую. Проанализировав чертеж, сделайте выводы.
| Месяц | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Товарооборот, (тыс. р) | 22 | 4,4 | 37 | 57,4 | 55,4 | 72 | 91,6 | 78,4 | 58 | 59 | 42 | 37,6 |
Решение:
Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.
Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):
По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх2, Sу2.
| t | y | x | yx | x2 | y2 |
|
| 1 | 22,0 | 1 | 22,0 | 1 | 484,00 | 36,688 |
| 2 | 4,4 | 2 | 8,8 | 4 | 19,36 | 39,332 |
| 3 | 37,0 | 3 | 111,0 | 9 | 1369,00 | 41,976 |
| 4 | 57,4 | 4 | 229,6 | 16 | 3294,76 | 44,62 |
| 5 | 55,4 | 5 | 277,0 | 25 | 3069,16 | 47,264 |
| 6 | 72,0 | 6 | 432,0 | 36 | 5184,00 | 49,908 |
| 7 | 91,6 | 7 | 641,2 | 49 | 8390,56 | 52,552 |
| 8 | 78,4 | 8 | 627,2 | 64 | 6146,56 | 55, 196 |
| 9 | 58,0 | 9 | 522,0 | 81 | 3364,00 | 57,84 |
| 10 | 59,0 | 10 | 590,0 | 100 | 3481,00 | 60,484 |
| 11 | 42,0 | 11 | 462,0 | 121 | 1764,00 | 63,128 |
| 12 | 37,6 | 12 | 451,2 | 144 | 1413,76 | 65,772 |
| Итого | 614,8 | 78 | 4374 | 650 | 37980,16 | 614,76 |
;
;
;
;
Уравнение
регрессии:
=
34,06 + 2,642 · х
Рассчитаем
по данному
уравнению
значения для
и запишем их
в дополнительный
столбец исходных
данных. Найдем
прогноз на
полгода вперед:
=
34,06 + 2,642 * 18 = 81,636 тыс. руб.
Найдем прогноз на год вперед:
=
34,06 + 2,642 * 24 = 97,5 тыс. руб.
Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.
Задание 6
Исследовать на экстремум следующую функцию:
;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов (там где производные равны нулю).
=
2x + y - 4;
=
4y + x - 2;
;
;
;
;
Найдем вторые производные и их значения в точке (2; 0)
=
2 = А,
=
1 = B
=
4 = C, Δ
= AC - B2
= 2 * 4 - 1 = 7
Т.е. в точке (2; 0) имеется экстремум.
Т.к. А > 0, то точка (2; 0) минимум функции.
Задача 7
Пусть функция полезности задана как
где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 11, В = 17.
Решение:
Полезность максимальна при равенстве первых производных:
=
;
=
;
=
;
=
Ограничение стоимости задается неравенством 11x + 17y ≤ 140
Составим систему.
;
;
;
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 4,46 ед. А и 5,35 ед.в.
Задание 8
Заданы
функции спроса
и предложения
в зависимости
от количества
товара Q:
и
.
Под функциями
спроса и предложения
будем понимать
функциональную
зависимость
цены от количества
товара на рынке.
Определить
излишки потребителя
и излишки
производителя
при равновесном
состоянии
спроса и предложения.
и
,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q)
= S (Q);
=
;
;
-
t2
- 10t + 200 = 0
t1 = - 34,685 и t2 = 12,685, t1 - не удовлетворяет условию
=12,685;
Q = 160,9 ед.
При этом цена составит: Р = 10 * 12,685 = 126,85 ден. ед.
Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:
Sпотр
=
-
126,85 · 160,9 =
-
20410,165 =
= 200 * 160,9 - 5/22 * 160,9 - 20410,165 = 11733,27 ден. ед.
Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:
Sпроизв
= 126,85 · 160,9 -
= 20410,165 -
=
= 20410,165 - 5 * 12,6853 = 10204,5 ден. ед.
Литература
Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
И.А. Зайцев. Высшая математика. -М.: Высшая школа, 1998.
Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.