Введение
Числа много тысячелетий назад вошли в жизнь и быт людей. Человек их использует не только при счёте и вычислениях, он придумал различные игры с числами и шарады. Некоторые числа наделил сверхъестественными свойствами, например, такие как 13, 666. Среди бесконечного множества действительных чисел существуют ещё особенные, и не только для математиков, числа и е. Эти числа имеют свои собственные обозначения, так как их нельзя записать точно с помощью цифр. Числа 3,14 и 2,7 лишь одни из приближённых значений чисел π и е. Эти числа являются иррациональными и трансцендентными, для их точного определения не хватило бы и триллиона десятичных знаков.
"Математиками изучены последовательности цифр е и , и выяснено, что все цифры в этом числе встречаются с одинаковой частотой". Эти числа могут заворожить своей непокорностью, в особенности . "Этому числу удавалось в течении тысячелетий держать в плену мысли и чувства не только математиков и астрономов, но и философов и художников". Тратились годы для вычисления нескольких десятичных знаков числа .
История числа
"Письменная
история числа
начинается
с египетского
папируса, датируемого
примерно 2000 годом
до нашей эры,
но оно было
известно еще
древним людям.
Число
обратило на
себя внимание
людей ещё в те
времена, когда
они не умели
письменно
излагать ни
своих знаний,
ни своих переживаний,
ни своих воспоминаний.
С тех пор как
первые натуральные
числа 1,2,3,4,… стали
неразлучными
спутниками
человеческой
мысли, помогая
оценивать
количества
предметов либо
их длины, площади
или объёмы,
люди познакомились
с числом .
Тогда оно ещё
не обозначалось
одной из букв
греческого
алфавита и его
роль играло
число 3. Нетрудно
понять, почему
числу
уделяли так
много внимания.
Выражая величину
отношения между
длиной окружности
и её диаметром,
оно появилось
во всех расчётах
связанных с
площадью круга
или длиной
окружности".
Но уже в глубокой
древности
математики
довольно быстро
и не без удивления
обнаружили,
что число 3 не
совсем точно
выражает то,
что теперь
известно как
число пи. Безусловно,
к такому выводу
могли прийти
только после
того, как к ряду
натуральных
чисел добавились
дробные или
рациональные
числа. Так египтяне
получили результат:
В дальнейшем
Архимед, используя
метод верхних
и нижних приближений,
получает следующие
границы числа
пи. Индусы в
V-VI веках пользовались
числом
,
китайцы - числом
"Обозначение
числа
происходит
от греческого
слова
("окружность").
Впервые это
обозначение
использовал
в 1706 году английский
математик У.
Джонс, но общепринятым
оно стало после
того, как его
(начиная с 1736 года)
стал систематически
употреблять
Леонард Эйлер".
В конце 18 века
И. Ламберт и А.
Лежандр установили,
что
иррациональное
число, а в 1882 году
Ф. Лидерман
доказал, что
оно трансцендентное,
т.е. не может
удовлетворять
никакому
алгебраическому
уравнению с
целыми коэффициентами.
На протяжении всего существования числа , вплоть до наших дней, велась своеобразная "погоня" за десятичными знаками числа p. Леонардо Фибоначи около 1220 года определил три первых точных десятичных знаков числа . В 16 веке Андриан Антонис определил 6 таких знаков. Франсуа Виет (подобно Архимеду), вычисляя периметры вписанного и описанного 322216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков. Андриан Ван Ромен таким же способом получил 15 десятичных знаков, вычисляя периметры 1073741824-угольников. Лудольф Ван Кёлен, вычисляя периметры 32512254720-угольников, получил 20 точных десятичных знаков. Авраам Шарп получил 72 точных десятичных знаков числа . В 1844 году З. Дазе вычисляет 200 знаков после запятой числа , в 1847 году Т. Клаузен получает 248 знаков, в1853 Рихтер вычисляет 330 знаков, в том же 1853 году 440 знаков получает З. Дазе и в этом же году У. Шенкс получает 513 знаков. "С появлением ЭВМ количество верных знаков десятичных знаков резко возрастает:
1949 год - 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, ENIAC), 1958 год - 10000 десятичных знаков (Ф. Женюи, IBM-704), 1961 год - 100000 десятичных знаков (Д. Шенкс, IBM-7090), 1973 год - 10000000 десятичных знаков (Ж. Гийу, М. Буйе, CDC-7600), 1986 год - 29360000 десятичных знаков (Д. Бейли, Cray-2), 1987 год - 134217000 десятичных знаков (Я. Канада, NEC SX2), 1989 год - 1011196691 десятичных знаков (Д. Гудновски и Г. Гудновски, Cray-2+IBM-3040)"
При вычислении верных десятичных знаков числа пользовались различными способами, некоторые, как и Архимед вычисляли периметры вписанных и описанных n-угольников, но позднее стали прибегать к помощи рядов.
Так Лейбниц вычислял с помощью ряда:
Шарп применил ряд:
Л. Эйлер с помощью ряда:
З. Дазе использовал ряд.
Джон Валлис (1616-1703) нашёл бесконечное произведение, с помощью которого можно вычислить число пи:
Определение числа
Теорема: Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей.
Доказательство.
Обозначим
через L - длину
окружности,
через d - её
диаметр, то
формулировка
теоремы запишется
следующим
образом:
Рассмотрим
правильный
n-угольник,
вписанный в
окружность
радиуса r со
стороной аn
и периметром
Рn, то
Докажем, что
отношение
одинаково для
всех окружностей.
Рассмотрим
две произвольные
окружности
с вписанными
в них правильными
n-угольниками.
Из подобия
треугольников
АОВ и А1О1В1
следует, что
т.к. окружности
брали произвольные,
то это равенство
будет справедливо
для всех окружностей.
Итак,
для всех окружностей,
следовательно
Это отношение
длины окружности
к её диаметру
принято обозначать
греческой
буквой "".
Определение: Числом называется отношение длины окружности к её диаметру.
История числа е
Число
появилось
сравнительно
недавно. Его
иногда называют
"неперовым
числом" в честь
изобретателя
логарифмов
шотландского
математика
Джона Непера
(1550-1617), однако
необоснованно,
так как нет
твёрдых оснований
для утверждения,
что Непер имел
о числе е чёткое
представление"
[10]. Впервые обозначение
"е" ввёл Леонард
Эйлер (1707-1783). Он также
вычислил точные
23 десятичные
знака этого
числа, использовав
представление
числа е в виде
бесконечного
числового ряда:
полученное
Даниилом Бернули
(1700-1782). "В 1873 году Эрмит
доказал трансцендентность
числа е.Л. Эйлер
получил замечательный
результат,
связывающий
числа е, ,
и
:
.
Ему принадлежит
и заслуга определения
функции
для
комплексных
значений z,
что положило
начало математическому
анализу в комплексной
области - теории
функций комплексного
переменного"
[10]. Эйлером были
получены следующие
формулы:
Рассматривают
логарифмы по
основанию е,
называемые
натуральными
и обозначаются
Lnx.
Способы определения
Число e может быть определено несколькими способами.
Через предел:
(второй замечательный
предел) .
Как сумма ряда:
или
.
Как единственное число a, для которого выполняется
Как единственное положительное число a, для которого верно
Свойства
Данное свойство
играет важную
роль в решении
дифференциальных
уравнений. Так,
например,
единственным
решением
дифференциального
уравнения
является
функция
,
где c - произвольная
константа.
Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e - нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
,
см. формула
Эйлера, в частности
Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. "интеграл Пуассона" или "интеграл Гаусса"
Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:
,
то есть
Представление Каталана:
История
Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы "Описание удивительной таблицы логарифмов" (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен
.
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).
Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы.
Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа "Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически" 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential ("показательный", "экспоненциальный"). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой "свободной" буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler) [источник не указан 334 дня] .
Мнемоника
Приблизительное значение зашифровано в: "Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли" (нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака)
Запомнить как 2,7 и повторяющиеся 18, 28, 18, 28.
Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: "Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой"
Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как "год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он"
Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 - столько раз избирался, 7 - он был седьмым президентом США, 1828 - год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем - опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.
С точностью до трёх знаков после запятой через "число дьявола": нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 − 1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки):
.
Запоминание
e как
.
Грубое (с
точностью
до 0,001), но красивое
приближение
полагает e
равным
.
Совсем грубое
(с точностью
0,01) приближение
даётся выражением
.
"Правило
Боинга":
даёт
неплохую точность
0,0005.
Стишки:
Два и семь, восемнадцать,
Двадцать восемь, восемнадцать,
Двадцать восемь, сорок пять,
Девяносто, сорок пять.
Доказательство иррациональности
Предположим,
что
рационально.
Тогда
,
где
- целое, а
- натуральное
и больше 1, т.к.
- не целое. Следовательно
Умножая
обе части уравнения
на
,
получаем
Переносим
в
левую часть:
Все слагаемые правой части целые, следовательно:
- целое
Но с другой стороны
Получаем противоречие.
Интересные факты
В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
В языках программирования символу e в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания.
Ссылки:
История числа e (англ.)
e for 2.71828… (англ.) (история и правило Джексона)
Горобец, Борис Соломонович. Мировые константы в основных законах физики и физиологии // Наука и жизнь. - 2004. - № 2. - статья с примерами физического смысла констант π и e.
Числа с собственными именами
Если мы вспомним, что число е = 2,718281828., то увидим, что основание логарифмов Бюрги отличается от числа е только начиная с четвертого десятичного знака. Иоганн Кеплер, понимавший огромное значение таблиц Бюрги для вычислений, настойчиво рекомендовал ему опубликовать свой метод ко всеобщему сведению, но Бюрги медлил, и получилось так, что в печати раньше появились таблицы логарифмов другого автора. Таблицы Бюрги были изданы в 1620 г., а на 6 лет раньше (в 1614 г.) Джон Непер опубликовал составленные им таблицы под названием "Описание удивительной таблицы логарифмов". Шотландский барон Джон Непер (1550-1617) тоже не был специалистом-математиком. Он делил свои интересы между многими отраслями знания, причем главным образом занимался вопросами, имевшими непосредственное приложение к жизни. Так, он изобрел несколько сельскохозяйственных машин, а также некоторые военные приборы. В области математики Непер интересовался главным образом вопросами вычислительного характера, отыскивая способы для облегчения счета. Так, в сочинении "Рабдология", изданном в год его смерти, он описывает свой прибор, который в наше время носит название "неперовы палочки" и служит хорошим методическим пособием в школе. Этот прибор состоит из десяти основных палочек, на которых помещена таблица умножения. Левая палочка неподвижна, а все остальные могут менять свои места. В каждом квадратике таблицы проведены диагонали, причем в нижней части квадратика помещаются единицы частных произведений таблицы умножения, а в верхней - десятки. При помощи прибора Непера можно производить умножение и деление чисел, причем умножение заменяется сложением, а деление вычитанием. Если, например, нужно умножить число 684 на 4, то для этого ставим рядом палочки, имеющие сверху числа 6, 8 и 4, и обращаем внимание на клетки этих палочек, стоящие в одной строке с 4.
Список литературы
1. Бохан К.А. и др. Курс математического анализа т. II. - М.: Просвещение 1972.
2. Кымпан Ф. История числа . - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
3. Райк А.Е. Очерки по истории математики в древности. - Саранск, 1987.
4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа т. I, II. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
5. Болтянский В. Экспонента. // Квант, 1984 №3.
6. Звонкин А. Что такое // Квант, 1978 №11.
7. Кузьмин Е., Ширшов А. О числе е. // Квант, 1979 №8.
8. Калейдоскоп Число . // Квант, 1996 №6.